立体几何探索性解答题

1、试卷第5页，总5页立体几何探索性解答题1 .如图是一个直三棱柱被削去一部分后的几何体的直观图与三视图中的侧视图、俯视图.在直观图中，M是BD的中点.又已知侧视图是直角梯形，俯视图是等腰直角三角形 ， 有关数据如图所示.(1)求证:EM/平面 ABC(2)试问在棱DC上是否存在点 N,使NM，平面BDE?若存在，确定点N的位置；若不存在, 请说明理由.AB/CD , AB = 2V2,2 .如图，在多面体ABCDMN中，四边形ABCD为直角梯形,BC .L DC , BC = DC = AM = DM = J2 ,四边形 BDMN 为矩形.(1)求证：平面ADM _L平面ABCD ;(2)线段M

2、N上是否存在点 H ,使得二面角 H - AD -M的大小为?若存在，确4定点H的位置并加以证明.3 .在五面体 ABCDEF 中， AB/CD/EF,CD = EF =CF =2AB = 2AD = 2 , /DCF =60： AD -LCD ,平面 CDEF _L 平面 ABCD .证明：直线CE _L平面ADF ;(2)已知P为棱BC上的点，试确定 P点位置，使二面角 P-DF A的大小为60 口4 .如图，五面体 A BCCiBi中， AB =4,底面ABC是正三角形，AB = 2 ,四 边形BCCiBi是矩形，二面角 A-BC-Ci为直二面角.(1) D在AC上运动，当D在何处时，有

3、 AB/平面BDCi ,并说明理由;(2)当AB平面BDC1时，求二面角C BC1D余弦值.5 .如图，正方形 ABCD的边长为4, E , F分别为BC , DA的中点，将正方形 ABCD沿着线段EF折起，使得/DFA=601设G为AF的中点.(1)求证：DG _ EF ；(2)求直线GA与平面BCF所成角的正弦值；(3)设P, Q分别为线段DG , CF上一点，且PQ/平面ABEF ,求线段PQ长度的最小值.A6.如图，四边形 ABEF和四边形 ABCD均是直角梯形，/FAB =N DAB = 900面角 F AB -D 是直二面角，BE /AF,BC / /AD, AF = AB = B

4、C = 2, AD = 1.(1)证明：在平面BCE上，一定存在过点 C的直线l与直线DF平行; (2)求二面角F -CD A的余弦值.7,四棱锥P -ABCD中， ABCD为矩形，平面PAD _L平面ABCD .(1)求证： AB _ PD(2)若/BPC =90°,PB = "PC =2问AB为何值时，四棱锥P-ABCD的体积最大?并求此时平面 PBC与平面DPC夹角的余弦值AB8 .如图，已知平面四边形 ABCP中，D为PA的中点，PA_LAB, CD/AB , 且PA=CD=2AB=4.将此平面四边形 ABCP沿CD折成直二面角 P - DC - B , 连接PA、

5、PB ,设PB中点为E .(1)证明：平面PBD _L平面PBC ;(2)在线段BD上是否存在一点F ,使得EF _L平面PBC ?若存在，请确定点 F的 位置；若不存在，请说明理由.(3)求直线AB与平面PBC所成角的正弦值.9 .如图，正方形ABCD中，AB=2J2, AC与BD交于O点，现将ACD沿AC 折起得到三棱锥 D - ABC , M , N分别是OD , OB的中点.(1)求证：AC _LMN ；3(2)若二棱锥D ABC的最大体积为V0,当三棱锥D - ABC的体积为工3 Vo ,且二面 2角D -AC B为锐角时，求二面角 D -NC -M的正弦值.10 .如图，在四棱锥P

6、ABCD中，底面ABCD为直角梯形，AB/CD, AB _L AD ,CD =2AB =6夜，APAB与APAD均为等边三角形，点 E为CD的中点.(1)证明：平面PAE _L平面ABCD ；(2)试问在线段PC上是否存在点F ,使二面角F -BE -C的余弦值为 B ,若存在,3请确定点F的位置；若不存在，请说明理由 .11 .如图，四棱锥 PABCD勺底面为直角梯形， = 60° ,平面 PADL底面 ABCD E为AD的中点, 点(异于端点).AD/ BCAA 2BG= 2, BC DC, / BAD PAD为正三角形,M是棱PC上的一(2)在,若M为PC的中点，求证: 是否存

7、在点M,使二面角 说明理由.PA/ 平面 BMEM-BE-D的大小为30° .若存在，求出点M的位置；若不存12 .在如图所示的几何体中,四边形ABCD是等腰梯形，ABLCD/ DAB = 60 "PC _L 平面 ABCD, AE_LBD, CB=CD=CF.fi(1)求证：BD _L平面AED .(2 )求二面角 D -BF -C的余弦值.(3)在线段AB (含端点)上，是否存在一点 P ,使得FPU平面AED ,若存在，求.AP出AP的值；若不存在，请说明理由.AB13 .在三棱锥 PABC中， AB = AC, D为BC的中点， PO _L平面ABC ,垂 足O落在

8、线段AD上，已知BC =4,PO =3,AO =2,OD =1.(1)证明： AP_L BC ;(2)在线段AP上是否存在一点 M ,使得二面角A-MC B为直二面角？若存在， 求出AM的长；若不存在，请说明理由.14 .如图，在四棱锥 PABCD 中， PA_L 平面 ABCD, / ABC =/BAD = 90，, AD=AP=4, AB=BC=2, M 为 PC 的中点.(1)求异面直线AP , BM所成角的余弦值； 4(2)点N在线段AD上，且AN =九，若直线MN与平面PBC所成角的正弦值为 一，5求九的值.本卷由系统自动生成，请仔细校对后使用，答案仅供参考参考答案1 .（1）详见解

9、析；（2）存在， CN =1【解析】试题分析：（1）要证明直线和平面平行，只需证明直线和平面内的一条直线平行即可，该题取BC中点Q,连MQ,AQ ,先证MQ/EA,则四边形AQME是平行四边形，从N ,此时面BDE而ME /AQ ,进而证明ME /面ABC ; （2）假设CD上存在满足条件的点 内必存在垂直于MN的两条直线，容易证明庆、，面BCD ,所以AQ _L MN ,又AQ/EM，所以MN _L EM ,接下来再能保证 MN _L BD即可，此时必有 ADMN sDCB ,进而根据成比例线段可求出 DN的长度，即点 N的位置确定.BM =MDBQ =QC试题解析：（I）取BC中点Q ,连

10、MQ ,AQ、八 1八= MQ/ CD二 AEMQ= EM/AQ,又因为 EM s 面 ABC1八AE/-CD2AQ u面 ABC ,所以 ME /面 ABC ；答案第7页，总20页（2）在CD上取点N使CN =1 ,连接MNDMDN.6 CD 二二_ NMD3 BDJT= /DCB = NM _L BD ,2AC = AB = AQ _L BC , BQ=CQ又 DC _LW ABC所以DC _L AQ,又因为 BC c DC = C,所以 AQ _L面BCD，所以 AQ _L MN ,又AQ/EM，所以 MN _L EM，故 MN _L面 BDE .考点：1、直线和平面平行的判定；2、三角

11、形的相似；3、线面垂直的判定和性质.2 . （1）见解析（2）点H为线段MN的中点【解析】试题分析：（1）先根据勾股定理得 BD _L AD ,再由矩形性质得 BD _L DM ,由线面垂直判定定理得 BD _L平面ADM ,最后根据面面垂直判定定理得结论（2）根据条件建立空间直角坐标系， 设立各点坐标，根据方程组解各平面法向量， 根据向量数量积两法向量夹角，最后根据二面角与向量夹角相等或互补关系求点H坐标，即得点H的位置试题解析：（1）证明：由平面几何的知识，易得 BD =2 , AD =2 ,又AB=2，2,所以在 MBD中，满足AD2+BD2=AB2,所以AABD为直角三角形，且 BD

12、_ AD .因为四边形BDMN为矩形，所以BD _ DM .由 BD _L AD , BD _L DM , DM c AD = D ,可得BD_L平面ADM.又BD匚平面ABD ,所以平面ADM _L平面ABCD .JT（2）存在点H ,使得二面角H -AD -M为大小为4 ,点H为线段AB的中点.事实上，以D为原点，DA为x轴，DB为y轴，过D作平面ABCD的垂线为z轴，建立空间直角坐标系 D -xyz ,则 D (0,0,0 ),A(2,0,0 ) B(0,2,0 ), M (1,0,1 ),设 H (x, y,z ),由即(x1,y,z1)=九(0,2,0),得 H(1,2K,1).设平

13、面ADH的一个法向量为 Ri = （x1, y1 ,z1 ）,DA =0 LUM 则3小场三t即 不妨设 yi =1 ,取 Ri =（0,1, -2九）.平面ADM的一个法向量为n2 =（0,1,0 ）.,二面角H AD M为大小为4所以当点H为线段MN的中点时，二面角 H -AD -M为大小为4 .3 .（1）证明见解析；（2） P点在靠近B点的CB的三等分点处.【解析】试题分析：（1）证明一条直线垂直一个平面，只需要证明这两个平面垂直，直线垂 直两个平面的交线即可， 先证明CE _L DF , 丁平面CDEF _L平面ABCD ,平面CDEF c平面ABCD =CD,CE 1 AD ,即可

14、得到直线 CE _L平面ADF ； （2）根据题意，取 EF的中点G ,证明DA,DC,DG两两垂直，以D为原点，DA, DC,DG的方向为x,y,z轴，建立空间直角坐标系，由二面角 P -DF A的大小为60 口，根据空间向量夹角余弦公式列方程即可确定 P在BC上的位置.试题解析：（1） ：CD/EF,CD = EF =CF =2J四边形 CDEF 为菱形，CE _L DF ,丁平面 CDEF _L平面 ABCD ,平面 CDEF c 平面 ABCD =CD,； AD_LCD二 AD _L 平面 ACDEF ,二 CE _L AD ,又；AD c DF =D直线 CE _L 平面 ADF .

15、(2) :'/DCF =600 , 二色DEF为正三角形，取EF的中点G ,连接GD ,则GD I EF ,二 GD -LCD ,平面 CDEF_L 平面 ABCD GD 平面 CDEF,平面CD E。平面 ABCD = CD，, GD 1 平面 ABCD,'： AD 1 CD，, DA, DC ,DG 两两垂直，以D为原点， DA, DC,DG的方向为x, y, z轴，建立空间直角坐标系，；CD =EF =CF =2,AB =AD =1 ,E (0, 1,V3 ), F (0,1,73 ),由(1)知CE =(0 ,-3 平面 A D F的法向量，；DF=(0,1,43 ),

16、CB = (1,-1,0 )，设Cp = aCB = (a,a,0 X 0wa W1),则 DP = DC+CP =(a,2a,0 ),设平面 PDF 的法向量为 n =(x, y,z ),；n DF=0,n 部=0;y73z=0，令 y = V3a,则ax 2 - a y = 0x = /3(a-2),z = -a ,二 n =(如(a 2), V3a,a ), 丁 二面角 P DFA 为 60,!n CE _4a . 3innCE 痘叔a -2 j +3a2 +a21-2=一,斛得 a =一 ,23二P在靠近B点的三等分处.【方法点晴】本题主要考查线面垂直的判定定理以及用空间向量求二面角，

17、属于难题.空间向量解答立体几何问题的一般步骤是：（1）观察图形，建立恰当的空间直角坐标系；（2）写出相应点的坐标，求出相应直线的方向向量；（3）设出相应平面的法向量，利用两直线垂直数量积为零列出方程组求出法向量；（4）将空间位置关系转化为向量关系；（5）根据定理结论求出相应的角和距离.一.一 3 134. (1)见斛析(2)13【解析】试题分析：（1）可先猜想，再证明.假设D为AC中点时，有AB, /平面BDC1 .连 结BC交BG于O ,连结DO ,可证得O为BC中点，又D为AC中点，从而DO/AR ,根据线面平行的判定定理即可证得AB平面BDC1 ； （2）以B为坐标原点，建立空间直角坐标

18、系B-xyz,求出平面BDG与平面BCG的法向量，根据向量的夹角公式即可求得二面角C BC1 D余弦值.试题解析：（1）当D为AC中点时，有 AB1/平面BDC1.证明：连结B1c交BG于O ,连结DO ,四边形BCGB是矩形，O为BC中点，又D为AC中点，从而DO/AB,AB值平面BDC1 , DO u平面BDC1 , AB /平面 BDCi .(2)建立空间直角坐标系 Bxyz,如图所示,则 B(0,0,0 ,A(T3,1,0 ), C(0,2,0 ),73 3'DI -Ci(0,2,2>/3),所以BD二停，3，。BCl =(0,2,2 舟,3X 3y”设口 =(x, y,

19、 z )为平面BDCi的法向量，则有22即2y 2、,3z = 0,x = 3z,y = - 3z,令z =1 ,可得平面BDC1的一个法向量为陶口底D而平面BCG的一个法向量为 电=(1,0,0 ),7 一所以 cos - n1, n233.1311313故二面角c -BC1 -D的余弦值为3.1313考点：空间中直线与平面平行、垂直关系，二面角5. (1)证明见解析;(2):DG _L EF ； =cos I, GA 【解析】试题分析：(1)先证明线面垂直：EF，平面DFA ,再得到线线垂直 (2)建立空间直角坐标系，求出GA坐标和平面BCF的法向量，再用公式sin« 求出结果；

20、(3)假设P,Q两点的坐标，求出二次函数最小值即可.试题解析：(1)证明：因为正方形 ABCD中，E , F分别为BC , DA的中点,所以 EF _L FD , EF .L FA ,将正方形ABCD沿着线段EF折起后，仍有EF _L FD , EF _L FA ,而 FD c FA = F ,所以EF _L平面DFA ,又因为DG u平面DFA ,所以DG _ EF .(2)因为/DFA =60", DF = FA ,所以iDFA为等边三角形，又 AG =GF，所以 DG _L FA ,由(1), DG EF ，又 EF c FA = F，所以 DG _L 平面 ABEF .设BE

21、的中点为H ,连接GH ,则GA, GH , GD两两垂直，故以 GA , GH , GD 分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，如图.则 G(0,0,0) A (1,0,0 ) B(1,4,0 ), C(0,4j3), F (-1,0,0),所以 GA =(1,0,0), BC =(-1,0,73 ), BF =(-2,-4,0),设平面BCF的一个法向量为 m = （x, y,z）,由 m BC=0, m BF=0,得-x+&=0,-2x -4y = 0,令 z=2,得 m=(2%/3, -73,2 ),设直线GA与平面BCF所成角为a2： 5719即直线GA与平面BCF所成

22、角的正弦值为 冬/豆.19（3）由题意，可设 P（0,0,k ）（ 0EkwJ3）, FQ =C（0E 九 E1）,由FC =（1,4,志），得荔=（九,4九,73九），“厂 F-'所以 Q （九一1,4九,J3Z ）, PQ =（九一1,4% J3九一k ）,上/口 ，L、 一，由（2）,得GD =（0,0, V3 ）为平面ABEF的的法向量，因为PQ/平面ABEF，所以PQ GD = 0,九-1 )2 +(4九)2 = Ji712 2人 +1 ,所以 PQ =J(-1)2+(4?J +(V3-k 2|PQ|min4、. 1717o11 2 16 1又因为17儿2 2九+1=17儿1

23、 1 +,所以当九=时,171717，1.34. 17所以当 =， k =,线段PQ长度有最小值 171717考点：1.线面垂直的判定定理；2.用空间直角坐标系求线面角等 .6. (1)见解析(2)6【解析】试题分析：(1)利用线面、面面平行的判定和性质定理即可证明；(2)可证AF _LAD, AF _LAB, AD _LAB ,则以A为坐标原点，AD,AB,AF所在的直线分别为X轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系. 利用空间向量可求二面角 F -CD -A 的余弦值试题解析：(1)证明：由已知得 BE/AF,AF u平面AFD, BES平面AFD ,所以BE/平面AFD ,同理可得BC /平面

24、AFD ,又BE c BC = B ,所以平面BCE /平面AFD ,设平面DFC c平面BCE = l ,则l过点C ,因为平面BCE/平面ADF ,平面DCF c平面BCE =1 ,平面DFC平面AFD = DF ,所以DF /1 ,即在平面BCE上一定存在过点 C的直线1 ,使得DF / /1 .(2)因为平面 ABEF _L ABCD, FAu 平面 ABEF，平面 ABCD c 平面 abef = AB,又 /FAB =900，所以 AF _L AB ,所以 AF _L平面 ABCD ,因为AD u平面ABCD，所以AF _L AD ,因为 /DAB =90°，所以 AD

25、_L AB ,以A为坐标原点，AD, AB,AF所在的直线分别为X轴,y轴，z轴建立空间直角坐标如图，由已知得 D 1,0,0 ,C 2,2,0 ,F 0,0,2 ,所以 DF1,0,2 ,DC =1,2,0 ,设平面DFC的法向量为= (x,y,z),则DF n DC二0=0 =x = 2zX x - -2y不妨设 z=1,则 n=(2,1,1本卷由系统自动生成，请仔细校对后使用，答案仅供参考不妨取平面 ACD的一个法向量为 m = (0,0,1),所以com n _ i _6m n -j66、66答案第11页，总20页由于二面角F -CD A为锐角，因此二面角 F -CD A的余弦值为 吏

26、6以及利用空间向量可求二面角是解题P-ABCD最大.平面BPC与平面 DPC夹【点睛】熟练掌握线面、面面平行的判定和性质定理、 的关键.7. (1)详见解析，(2) AB=46时，四棱锥的体积3角的余弦值为10.5【解析】试题分析：(1)先将面面垂直转化为线面垂直：ABCD为矩形，故 AB_LAD,又平面PAD_L平面 ABCD,平面 PAD-平面 ABCD=AD 所以 AB_L平面PAD,再根据线面垂直证 线线垂直：因为 PDU平面PAD,所以AB1PD(2)求四棱锥体积，关键要作出高.这可利用面面垂直性质定理：过 P作AD的垂线，垂足为O,又平面PAD_L平面 ABCD,平面PAg 平面A

27、BCD=AD,所以PO_L平面ABCD,下面用n =3表示高及底面积:设 AB = m,则 DP =曲 OG 2 =，故四棱锥P-ABCDAB=«时，四棱3的体积为V = 1 1 J6 m- m2 =48 -6m2.故当m =-时，即3333锥的体积P-ABCD最大.求二面角的余弦值， 可利用空间向量求解， 根据题意可建立空间坐标 系，分别求出平面 BPC的法向量及平面 DPC的法向量，再利用向量数量积求夹角余弦值即 可.试题解析：(1)证明：ABCD为矩形，故 AB1AD,又平面PAD_L平面ABCD平面PADC平面 ABCD=AD所以AB _L平面PAD,因为 PDU平面PAD,

28、故 AB-L PD (2)解：过P作AD的垂线，垂足为 O,过。作BC的垂线，垂足为 G,连接PG.故 PO_L 平面 ABCD, BC_L 平面 POG,BC_ PG在直角三角形BPC中,PG2、32 6= ,GC V 33,bgW3设 AB =m,则 DP = PG2-OG2= J-4-m2,故四棱锥P-ABCD的体积为因为 m，8 -6m2 =一6 1 m2 -2 1 +8 :336.6故当m ="时，即AB = ”时，四棱锥的体积 P-ABCD最大. 33建 立 如 图 所 示 的 空 间 直 角 坐 标 系,7676(厩 2 娓'2 2 捉近,O (0,0,0 ),

29、B ,-,0 C ,0 ,D 0,-,0 , P 0,0,I33/133 八 3 J I 3 )故 PC=M,/6,-逅，BC =(0，而0 ),CD = f-,0,0I 333 JV 3)耳堂设平面BPC的法向量n =(x,y,1 ,则由ni 1 PC,n11 BC得 33解得 x =1,y =0, ni - '1,0,1 ,同理可求出平面 DPC的法向量n2 = I 0 - 1 i ,从而平面BPC与平面DPC夹角日的余弦值为 .2, cos -二ni n2 ni |辰-Tc5(3)8. (1)详见解析；(2)点F存在，且为线段 BD上靠近点D的一个四等分点;【解析】试题分析：（1

30、）分别证明PD _L BC , BD _L BC即可；（2）方法一：先以 D为原点， DA, DC , DP分别为x, y, z轴，建立直角坐标系，写出各点坐标A（2, 0, 0 ,B(2,2,0),C (0,4,0 ),P(0,0,2 ), E 为 PB 中点，故 E(1,1,1),设点 F (x, y,0 ),利用EF _L平面PBC得二EF曰 TT1 TTg- 1 1PB =0, EF ,PC = 0,据此可解出 F - - 0 |2,2,作EF _L PB交DB于F ,注意到PD _L DB ,故Rti PD B RUFEB相似，因此FB EBPB DB的法向量,3 c 3 r 、，

31、，口 L，于是得FB =一，2 = BD ；（3）方法一：由于EF _L PBC ,即EF为平面PBC24AB =（0,2,0 ）,要求直线AB与平面PBC所成角的正弦值，记直线 AB与平面PBC所成角为日，根据直线与面的夹角正弦正好等于直线与面的法向量的夹角余弦的绝对值，则知sine =cosEF漏故只需计算cos EF, AB |可，利用余弦公式有 cos EF, ABEF ABEFAB机,故sine =；方法二：由于 66CD / /AB ,所以可以转而考虑 CD与平面的投影，此投影与 CD所成角即为线面夹角,PBC所成角，为此需要找到 CD在平面PBC内然后求 CD与平面PBC所成角的

32、正弦，于在RtAPBD中作DH为CD在平面PBC,L PB ,而平面PBD内的投影，_L平面PBC ,由此DH _L平面PBC , CH即/DCH就等于直线AB与平面PBC所成角，sin DCHDHDC '在 APDB 中，DHPD DBPB2 22 2.62.3故 sin r - sin DCH试题解析：（1）直二面角P - DC - B的平面角为/ PDA = 90°,又PD _L DC ,则 PD _L 平面 ABCD，所以 PD _L BC .又在平面四边形 ABCP中，由已知数据易得 BD _L BC ,而PD c BD = D , 故BC _L平面PBD ,因为B

33、CU平面PBC ,所以平面 PBD _L平面PBC （4分）（2）解法一：由（1）的分析易知， PD _L DA, PD _L DC, DC .L DA ,则以D为原点建立空间直角坐标系如图所示.本卷由系统自动生成，请仔细校对后使用，答案仅供参考6答案第13页，总20页Jr结合已知数据可得A(2,0,0 ), B(2,2,0), C(0,4,0),P(0,0,2),则 PB 中点 E (1,1,1 ).F F w 平面 ABCD ,故可设 F (x, y,0 ), 则 EF = (x1,y 1,1 5，:EF _L 平面 ABCD ,eFpb=0,eF；C=0,PB -J2,2, -2 ,PC

34、= (0,4,2),11 1由此解得x = y= ,即F i-,1,0 I,22,2,(8分)易知这样的点F存在，且为线段 BD上靠近点D的一个四等分点; 解法二：（略解）如图所示，在APBD中作EF _L PB ,交BD于F ,因为平面PBD，平面PBC ,则有EF _L平面PBC .在RtAPBD中，结合已知数据，利用三角形相似等知识可以求得故知所求点F存在，且为线段 BD上靠近点D的一个四等分点;3 3BF =爽=BD ,24.(8 分)（3）解法一 11由（2） EF =|一一，一一，一1 |是平面PBC的一个法向量, 22又7b = (0,2,0 ),则得 cos EF, ABEF

35、ABEF AB,6 -IT，所以 EF, AB 6记直线AB与平面PBC所成角为日，则知sin = cos( EF , AB本卷由系统自动生成，请仔细校对后使用，答案仅供参考故所求角的正弦值为 运.（12分）6解法二：（略解）如上图中，因为AB /CD ,所以直线AB与平面PBC所成角等于直线 CD 与平面PBC所成角，由此，在 RtAPBD中作DH _L PB于H，易证DH _L平面PBC , 连接CH ,则ZDCH为直线CD与平面PBC所成角，结合题目数据可求得考点：1、线面垂直、sinNDCH =乂& ,故所求角的正弦值为 -.（12分）66面面垂直的证法；2、线面角的求法；3、

36、空间向量的应用.9. （1）证明见解析;(2)2,1919答案第23页，总20页【解析】试题分析：（1）根据折叠前几何关系得 OM _L AC , ON _L AC ,再根据线面垂 直判定定理得 AC _L平面OMN ,即得AC _L MN ； （2）先确定三棱锥 D - ABC的取最大 体积的条件：三棱锥 D - ABC的高为DO ,再根据三棱锥体积公式得三棱锥D - ABC的体积为 20时条件：DN _L平面ABC ,最后根据等体积法求三棱锥 D -MNC的体积.2试题解析：(1)依题意易知 OM _L AC , ON _L AC , OM c ON = O ,，AC，平面 OMN , 又

37、. MN u平面 OMN，.二 AC _LMN .（2）当体积最大时三棱锥 D - ABC的高为DO ,当体积为13Vo时，高为3 DO ,LIobd 中,OB =OD ,作 DS _L OB 于 S , . DS =&D,2/ DOB =60 )OBD为等边三角形，S与N重合，即DN _L平面ABC ,勿知VD JMNC1. 3)32 二CO1WDOB- h=CO=2- SDMNSODN11Vd JMNC =VcQMN = - S DMN CO =一 3310. （1）见解析（2）点F为PC的中点【解析】试题分析：（1）连接BD ,根据题设条件可证四边形ABED为正方形，即可得BD

38、_L AE ,设BD与AE相交于点 O ,根据 PAB与 PAD均为等边三角形可证 PB =PD ,即可证BD 1 PO ,从而证明平面 PAE _L平面ABCD ; （2）由题设条件及（1）可知，建立以点 O为坐标原点， OA为x轴，OB为y轴，OP为z轴建立空间直角坐标系，分别求出平面 BEF和平面BCE的一个法向量，结合二面角 F - BE -C的余弦值为 计,即可求出点F的位置.3试题解析：(1)证明：连接 BD ,由于AB / CD ,点E为CD的中点， DE = AB ,AB _ AD四边形 ABED为正方形,可得 BD 1 AE设BD与AE相交于点O又 PAB与 PAD均为等边三

39、角形PB =PD在等月PBD中，点O为BD的中点BD _L PO ,且AE与PO相交于点O ,可得BD 1平面PAE又.BD u平面ABCD平面 PAE _L平面 ABCD .P(2)由CD =2B =6， PAB与 PAD均为等边三角形，四边形ABED为正方形,BD与AE相交于点O ,可知OA =OP = 3 , PA = 3后，所以PO _L AO ,又平面PAE _L平面ABCD ,所以PO _L平面ABCD ,以点O为坐标原点， OA为x轴， OB为y轴,OP为z轴建立空间直角坐标系.可得 B(0,3,0) P(0,0,3), E -3,0,0), P(-6,3,0)设点 F 的坐标为

40、(x,y,z), PF =?uPC,由 PF=(x,y,z-3), PC =( -6,3-3 ),可 得 F(-6%3%33九)，故 BF =(6九，3九3,3 3九)，BE=(-3-3,0 )设帛=(为,必,4)为平面BEF的一个法向量，则1 BF=0，得mlM九一1,3九一1，平面BCE的一个法向量为#气0。1 ),由已知cos m,n .| =血力 3=1 |附制 出1 九2 104+3所以，在线段PC上存在点F ,使二面角F -BE -C的余弦值为3 ,且点F为PC的中点.点睛：利用法向量求解空间线面角的关键在于“四破”：第一，破“建系关”，构建恰当的 空间直角坐标系；第二，破“求坐标

41、关”，准确求解相关点的坐标；第三，破“求法向量关”， 求出平面的法向量；第四，破“应用公式关”.11. (1)见解析；(2)见解析【解析】试题分析：(1)连接AC交BE于点F,根据平几知识可得 ABC时平行四边形，即 得MF/ PA再根据线面平行判定定理得结论 (2)先根据空间直角坐标系， 再设立各点坐标， 根据方程组解得平面法向量，根据向量数量积求向量夹角，最后根据二面角与向量夹角相等 或互补关系列方程解得 M坐标，即得点 M的位置.试题解析：(1)证明：如图，连接 AC交BE于点F,连接CE由题意知 BC/ AE且BC= AE,故四边形 ABC曰平行四边形，F为AC的中点，在 PAC 中，

42、又由M为PC的中点，得MF/ PA又MF?平面BME PA?平面BME PA/平面BME(2)连接PE则由题意知 PEL平面ABCD故以E为坐标原点建立如图所示空间直角坐标系E- xyz,则E(0,0,0) , P(0,0 , Wi), b(d& 0,0) , a北i-1,0).设掰=PC= (0入 1),则 M V“ 入，-入，V* (1 - 入).限=(八，-入，小(1 入)，*”=(5, 0,0).取平面DBE勺法向量 m=(0,0,1),设平面BME勺法向量r)2=(x, y, z),出谭必则由 -艰 4工一"+小 1-4 /=0.得.m#=0.令y =小,得n2 =

43、a=cos30°，得入=4 ,S巾 _3即M 4 '故存在点M满足要求,且 M为棱PC上靠近端点C的四等分点.512. (1)见解析；(2) ; (3)存在,AP 1AB【解析】试题分析：(1)由题意，证明AD _LBD ,AE _L BD，证明 BD，面 AED ; (2)建立空间直角坐标系，求平面DBF和平面BFC的法向量，解得余弦值为Y5； (3)得5+匚3九】=0, 2AP 1=,所以存在P为AB中点.AB 2试题解析:(1) AB LCD , /DAB =60'/ADC =/BCD =120，CB =CD，.- ZCDB =301/ADB =90°

44、, AD _L BD . AE _LBD ,且 AE c AD = A ,AE、AD 二面 AED , . BD _L 面 AED .(2 )知 AD _L BD , . AC _L BC . FC，面ABCD , CA , CB, CF两两垂直，以C为坐标原点，以CA, CB, CF为x, y, z轴建系.1设 CB =1,则 C(0,0,0 ), B(0,1,0), D ,0 ， F(0,0,1), A(V3,0,0 ),I2 2 )BF =(0,-1,1 %设BDF的一个法向量为m = (x0,y0,z0 ),33八/ 77x0 一二 y。二022_y°Z0=0，取 Z0 =1

45、,则 m(m,1,1 ).由于Cf =(0,0,1 )是面BDC的法向量,则cosm CF _5m'CF =t二面角F BD C为锐二面角，余弦值为 立5(3)存在点P(x, y,z>AB,(x-y,z)=?.(-73,1,0),x = 3 y/3? , y =九，z = 0, BD 1WAED , BD =_3,o22若 PF L面 AED , PF _LBD ,3 - 3-二022APAB1一，存在P为AB中点.213. （1）证明见解析；（2）答案见解析.【解析】试题分析：对于法一，易得AD _L BC,因为PO 1平面ABC ,推导出PO _L BC ,再推导出BC_L平

46、面PAD ,即可得到答案；对于法二，以O为原点，分别以过O点与t共DB线同向的向量， T, T方向上的单位向量为单位正交基建立空间直角坐标系OD ' OP易求得几何体中各个顶点的坐标，求出飞，部的坐标，要证明AP,BC，即证明APL BC =°要求满足条件使得二面角A-MC -B为直二面角的点 M，即求平面MBC的法向量和平面APC的法向量互相垂直，由此求出点M的坐标，然后根据空间两点之间的距离公式即可求出AM的长；解析：（1）法一：AB=AC, D为BC的中点，AD 1 BC ,. PO，平面 ABC ,PO _L BC , 垂足。落在线段AD上，BC，平面 PAD ,AP _