椭圆综合测试题[含答案解析]36102

1、WORD格式.资料专业.整理、选择题:(本大题共12小题，每小题5分，共60分)2,长轴长为6的椭圆的标准方程是(2 x (A)92 x (C) 一3632y =152 上=1 2022xy3(B)+ 1 =1 或95222.动点P到两个定点F1 (- 4 ,x y(D) + 36 200) . F2 (4, 0)2y 二192=1或工+L=120 36的距离之和为8,则P点的轨迹为(A.椭圆 B.线段F1F2 C.23.已知椭圆的标准方程 x '10直线F1F2D.不能确定=1,则椭圆的焦点坐标为A. (- .10,0) B.(0, - 10)22C. (0, -3)D.(-3,0)

2、4.已知椭圆 L+L=1上一点P到椭圆的一焦点的距离为5 A. 2 5 -3B.2C.33,则P到另一焦点的距离是(D.62_，m x5.如果 2a=1表示焦点在x轴上的椭圆，则实数a的取值范围为(A. ( -2, ：m)B. -2,-1 . 2, " 1 C. ( -: -, -1) 1 (2,“三二)6.关于曲线的对称性的论述正确的是()D.任意实数R的最大值为(A. 22211.椭圆 J - -y2a2 b2)B. 3C. 6D.= 1(a>b>0)的右焦点为F,其右准线与足线段AP的垂直平分线过点 F,则椭圆离心率的取值范围是(A) (0, (B) (0, - (

3、C) 72 1, 1)2212.若直线y = x + b与曲线y = 3 J4xx2有公共点,则A. 1-2. 2,1 2 2 x轴的交点为A.(D) 1,1)2b的取值范围是(在椭圆上存在点P满B. 1 - . 2 ,3C.-1, 1 2 2D. 1- 2. 2 ,3二、填空题：(本大题共4小题，共16分.)13若一个椭圆长轴的长度.短轴的长度和焦距成等差数列，则该椭圆的离心率是 2214 椭圆 +-y- = 1上一点P与椭圆两焦点 F1, F2的连线的夹角为直角，则49 24RtAPFiF2的面积为.15 已知F是椭圆C的一个焦点， B是短轴的一个端点，线段BF的延长线交 C于点D ,且B

4、F = 2 F D ,则C的离心率为16 已知椭圆c:土 + y2 = 1的两焦点为Fi,F2,点P(x0,y°)满足0<& + y：<1 ,则|PF/+PF2|的22取值范围为三、解答题:(本大题共6小题，共74分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.A.方程B.方程 C.方程 D.方程7方程2x3x2x3x2ka2+ xy+y2 = 0的曲线关于X轴对称-xy3_y=0的曲线关于Y轴对称+ y2 =10的曲线关于原点对称=8的曲线关于原点对称217. (12 分)M为线段Py一，、一一 x2 =1 (a>b>0,k>0且 kw 1)与方程

5、)kb2a22L=1 b2(a>b>0)表示的椭圆(A.有相同的离心率；B.有共同的焦点；C.有等长的短轴.长轴;D.有相同的顶点.8.已知椭圆2C:x7相交于A、aB两点.2 y b2、巧= 1(a> b> 0)的离心率为 ,过右焦点=t2F且斜率为k(k>0)的直线与C(A) 1若 AF =3FB，则 k =()(B)尬(C)由(D) 29 .若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列，则该椭圆的离心率是2. x已知点M在椭圆平2592=1±, M P'垂直于椭圆焦点所在的直线，垂直为P的中点，求P点的轨迹方程4A. 5B.10.若点O

6、和点F分别为椭圆C.2243D.=1的中心和左焦点，点 P为椭圆上的任意一点，则 OP FP2x18.(12分)椭圆45y =1(0<m<45)的焦点分别是E和F2,已知椭圆的离心率e=，5过中心 m3O作直线与椭圆交于 A , B两点，O为原点，若ABF2的面积是20,求：(1) m的值(2)直线AB的方程(I)求动点P的轨迹方程；(n)设直线AP和BP分别与直线x=3交于点M,N,问：是否存在点 P使得 PAB与 PMN的面积相等？若存在，求出点 P的坐标；若不存在，说明理由。22x y19 (12分)设F1, F2分别为椭圆C :-2+4=1 (a >b >0)的

7、左、右焦点，过 F2的直线l与椭圆 a bC相交于A, B两点，直线l的倾斜角为60 , Fi到直线l的距离为2J3.,、c3ab , 、& 中 T T(I)求椭圆 C的焦距；(n)如果 AF2 =2F2B,求椭圆C的方程.22 (14分)已知椭圆 :+与=1 (a>b>0)的离心率e=,连接椭圆的四个顶点得到的菱形的 a b2面积为4. ( I )求椭圆的方程；(n)设直线l与椭圆相交于不同的两点A、B,已知点A的坐标为(-a, 0).2220 (12分)设椭圆C:与+*=1但Ab A0)的左焦点为F,过点F的直线与椭圆 C相交于A, B a b,4. 2(i)若| AB

8、|=,求直线l的倾斜角;5(ii)若点Q(0, y0)在线段AB的垂直平分线上，且 QAQB= 4.求y0的值.两点，直线l的倾斜角为60o,AF=2FB.(1) 求椭圆C的离心率;(2)如果|AB|= 15 ,求椭圆C的方程.421 (12分)在平面直角坐标系xOy中，点B与点A (-1,1 )关于原点O对称，P是动点，且直线 AP与BP的斜率之积等于 -13答案：D椭圆（一）参考答案1.选择题:题号123456789101112答案BBCCBCABBCDD9整：设长轴为，短轴为初，焦距为江，则2"2c = 2x2*门 + 右=25 = ( += 45: = 4(& * -

9、c2)整理年 5c; + 2ac-3a: = 0 »匕5拿：+M-3 =Q ng =之或0=T皑，选B22210【解析】由题意，F (-1 , 0),设点P(x0, y0),则有x- +迎=1 ,解得y02 =3(1 x-),434/ 、大 /、 土 H /、2因为 FP =(% +1,y0), OP = (Xo,y0),所以 OP FP =%(% +1) + y021( a又 eC (0,1)故 eC J,1 jcc1-21或_ _aa2二、填空题：（本大题共4小题，共16分.）13若一个椭圆长轴的长度.短轴的长度和焦距成等差数列，则该椭圆的离心率是 2214 椭圆 上+工=1上一

10、点p与椭圆两焦点 Fi, F2的连线的夹角为直角，则RPFiF2的面积49 24为.15 （2010全国卷1文数）（16）已知F是椭圆C的一个焦点，B是短轴的一个端点，线段 BF的延uiruir长线交C于点D ,且BF = 2FD ,则C的离心率为【命题意图】本小题主要考查椭圆的方程与几何性质、第二定义、平面向量知识，考查322FP =x0(x0+1)+ 3(1 x) =x+x0+3 ,此二次函数对应的抛物线的对称轴为 =2,了数形结合思想、方程思想，本题凸显解析几何的特点: 求到简化问题的捷径.“数研究形，形助数”,利用几何性质可寻解析：设椭圆方程为第一标准形式因为2Ex0 <2,所以

11、当x0 =2时，OP FP取得最大值2- + 2+3 = 6,选Q422上幺二a2b2设 D( X2, y2) , F 分BD所成的比为2 ,Xc0 2x233=x2 = 2 = c; yc =22y2 =3yc-b 3 0-b-，代入2【命题意图】本题考查椭圆的方程、几何性质、平面向量的数量积的坐标运算、二次函数的单调性 与最值等，考查了同学们对基础知识的熟练程序以及知识的综合应用能力、运算能力。9 c24 a21 b2+2=1，=4b. 3e 二311 解析：由题意，椭圆上存在点P,使得线段AP的垂直平分线过点 F ,即F点到P点与A点的距离相等16 （2010湖北文数）已知椭圆2c: +

12、 y2 = 1的两焦点为22F",点P(x0,y0)满足0喘十",2,2ab_ 一一而| FA| =c =| PF| C a c, a+ c于c cb2C a c, a + cc则IPF1I+ PF2I的取值范围为【解析】依题意知，点1.2, 2 2 ,0。【答案】'P在椭圆内部.画出图形，由数形结合可得，当P在原点处时即 ac c2 & b2< ac+ c2ac -c2 - a2 - c2a2 -c2 三 ac c2(I PF1 | + IPF2 |)max = 2 ,当P在椭圆顶点处时，取到（l PF1 |+|PF2 "max为(2 -1

13、) ( 2 1) =2 2212.22y2 = 1故范围为 J.因为（x°,y。）在椭圆2的内部，则直线x xo.- y yo =12上的点（x, y）均在椭圆外，故此直线与椭圆不可能有交点，故交点数为二.填空题：0个.（n ）如果 AF2 = 2F2B,求椭圆C的方程.解：（I）设焦距为2c ,由已知可得E到直线i的距离J3c= 2j3c= 2.133 14 2415531632 , 2一2 , 0所以椭圆C的焦距为4.(n)设A(x1, y1), B(x2, y2),由题意知 y1 < o, y2 A o,直线 l 的方程为 y= J3(x- 2).解答题:17.解：设P点

14、的坐标为p（x, y）, m点的坐标为（x0, y0）,由题意可知y - . 3( x- 2),_联立 <y22 得(3a2 + b2)y2 + 4T3b2y3b4= o.-x- -y- = 1a2 b21x =x0 y =2 VoXo =x22因为点m在椭圆2+L=1上，所以有259解得y1=-Wb2 (2 2a)3a2 b2-x 3b2(2- 2a)3a2 b2.因为 AF2=2F2B,所以y1 = 2y2.2225+'1，把代入得25 36=1,所以P点的轨迹是焦点在 y轴上，标准方程.3b2(2 2a)3a2 b2-x 3b2(2-2a)3a2 b2得 a = 3.而a2

15、 - b2 = 4,所以 b=J5.22X y为十 =1的椭圆.25 3622故椭圆C的方程为上+上=195c18.解：（1）由已知e =一 a=-,a =/45 = 3V5 ,得 c = 5 ,所以 m = b2 = a2 -c2 = 45 - 25= 2。320 （2010辽宁理数）（2o）（本小题满分12分）22设椭圆C： S+guMaAbAo）的左焦点为 a2b2F,过点F的直线与椭圆C相交于A, B两点,（2）根据题意 SABSF1F2B = 20,设 Bx,y），则 SF1F2B=今 F1Fv , IF1F2 =2c = 1o,2 2所以y =±4,把y=±4代

16、入椭圆的方程x-+_y_=1 ,得x=±3,所以B点的坐标为（±3,±4）, 45 2o 一、一 4 ,4所以直线AB的方程为y = x；g£y = - x3 319（2o1o辽宁文数）（本小题满分12分）22_x y_._设F1 , F2分别为椭圆C : +2t=1 （a >b>o）的左、右焦点，过F2的直线l与椭圆C相交 a b于A, B两点，直线l的倾斜角为6oc , F1到直线l的距离为2J3.（I）求椭圆C的焦距；直线l的倾斜角为6oo, AF = 2FB .(I)(II)求椭圆C的离心率；如果|AB|=,求椭圆C的方程.4解：设

17、A(k, y1), B(x2, y2),由题意知 y1V o, y2 >o.（i）直线i的方程为y 二联立y2x,a2y = . 3 (x- c)其中 c =、a2 - b2.、.3( x- c),_y2得(3a2 + b2) y2 + 2V3b2cy -3b4= o1 =1b2解得y1 -i.3b2(c 2a)-、,3b2(c-2a)因为_ 223a bAF=2FB,.3b2(c 2 a)_ 223a b得离心率e-c椭圆所以, y2 =223a b-yi = 2 y2 .-、,3b2(c-2a)_ 223a b则直线AP的方程为y 1="y"(x+1),直线BP的

18、方程为y+1 = &U(x1) x0 1x0 - 1(n)因为,所以15,得4生 3ab2 1522 3a b 422C的方程为土十匕=19512分21 (2010北京理数)(19)(本小题共14分)在平面直角坐标系 xOy中，点B与点A (-1,1 )关于原点 O对称，P是动点，且直线 AP与BP的斜1率之积等于-13(I )求动点P的轨迹方程；(II)设直线AP和BP分别与直线x=3交于点M,N,问：是否存在点 P使得 PAB与4PMN的面积相等？若存在，求出点 P的坐标；若不存在，说明理由。令 x = 3 得 yM = 4y0 + x0.3, y, = 2yL比 + 3. x0

19、1Xo-1于是 L PMN得面积s_ J3x |x0y0 |(3S p mn- - |y M y N (30x ).-2-2|Xo - 1 |又直线AB的方程为x+y=0, |AB |= 2J2 ,点P到直线AB的距离d = 1 x0=y0 1 ,2于是L PAB的面积1S PAB = 2 1 AB Ld - 1 x0 y0 12当 S S|xo y。1"%)当 S PAB 一 S PMN 时，仔 | x0 + y0 F ； 2 T.一|Xo -1|225所以(3-Xo) =|Xo -1|,解得 |Xo=一。3因为 x02 + 3y02 = 4 ,所以 y0 = ±-339

20、(I)解：因为点B与A(1,1)关于原点O对称，所以点B得坐标为(1,1).故存在点P使得L PAB与PMN的面积相等，此时点 P的坐标为(-,±33). 39设点P的坐标为(x, y)由题意得 y1y1 = -1 化简彳导x2 +3y2 =4(x#±1).x 1 x -1322故动点P的轨迹万程为x +3y =4(x#±1)(II)解法一：设点P的坐标为(入»。)，点M , N得坐标分别为(3垓)，(3%).解法二：若存在点 P使彳#L PAB与PMN的面积相等，设点 P的坐标为(x0, y0)1 I1 I则一I PA|L| PB |sin APB -

21、 - | PM L| PN |sin MPN . 22IPAI I PN I因为 sin/APB = sin/MPN ,所以 JL = J1I PM | | PB |_ 2_ 216k - 4/曰2-8k由2x1 =2-,得 x1 =2 .从而 y11 4k1 4k4k 2 .1 4k所以 |x0 +1| =|3-x01 即(3_x0)2 q%21| ,解得 % =5 因为 x02+3y02=4 ,所以 |3 -Xo | |x-1|3y0 = ±变故存在点P S使得PAB与PMN的面积相等，此时点 P的坐标为(与土'竺). 939所以| AB| =2_2_8k”1 + 4k2

22、 j144k24.1k221 4k222 (2010天津文数)(21)(本小题满分14分)=1 (a>b>0)的离心率e=4,连接椭圆的四个顶点得到的菱形的面积为4.,4.24、1 k2由 | AB |=,得251 4k28k2 2k 、 1 + 4k2 ,1+4k2 ,(I )求椭圆的方程；(n)设直线l与椭圆相交于不同的两点 A、B,已知点A的坐标为(-a, 0).4 2(i)若| AB|= 42,求直线l的倾斜角;5(ii)若点Q(0, y0)在线段ab的垂直平分线上，且 QA|_QB=4 .求y0的值.【解析】本小题主要考查椭圆的标准方程和几何性质、直线的方程、两点间的距离

23、公式、直线 的倾斜角、平面向量等基础知识，考查用代数方法研究圆锥曲线的性质及数形结合的思想，考 查综合分析与运算能力.满分14分.整理得 32k4 9k2 23 = 0 ,即(k2 1)(32k2 + 23)= 0,解得 k=±1.所以直线l的倾斜角为三或更44(ii )解：设线段 AB的中点为M,由(i )得到M的坐标为以下分两种情况：(1)当k=0时，点B的坐标是(2,0),线段AB的垂直平分线为y轴，于QA = (-2,-y0 ),QB=(2, y0).由 QAQB = 4,得 丫0 = 土2&。C 4399999(I)解：由 e=-=，得 3a =4c .再由 c =a b ,解得 a=2b. a 2(2)当k#0时，线段AB的垂直平分线方程为 y-2k1 4k2