最新2019年中考总复习专题：二次函数与相似的结合(修订版)

1、二次函数与相似的结合题型一：动点在线段上如图，平面直角坐标系 xOy中，已知B(1,0), 一次函数y = x + 5的图像与x轴、y轴分别交于点A、C两点，二次函数y =x2+bx + c的图像经过点A、点B ；(1)求这个二次函数的解析式；(2)点P是该二次函数图像的顶点，求 APC的面积；(3)如果点Q在线段AC上，且 ABC与 AOQ相似，求点Q的坐标；开心.快乐B两点(A在B的左侧)，如图，抛物线y =ax2 +2ax +c (a 0)与x轴交于A(3,0)、与y轴交于点C(0, -3),抛物线的顶点为 M ；(1)求a、c的值；(2)求 tan/MAC 的值；(3)若点P是线段AC

2、上一个动点，联结 OP ;问是否存在点P,使得以点O、C、P为 顶点的三角形与 ABC相似？若存在，求出 P点坐标；若不存在，请说明理由；4V如图，已知抛物线y = ax2 X + C的对称轴为直线 x=1,与x轴的一个交点为 A （-1,0）,顶点为(1)(2)(3)B.点C （5, m）在抛物线上，直线 BC交x轴于点E.求抛物线的表达式及点 E的坐标；联结AB,求/ B的正切值；点G为线段AC上一点，过点 G作CB的垂线交当 CGM与 ABE相似时，求点 M的坐标.【参考答案】24.（本题满分12分，第（1）小题4分，第（2）小题3分，第（3）小题5 分） 解：（1） ,抛物线y =ax

3、2-x+c的对称轴为直线3.抛物线与 x轴的一个交点为 A （-1, 0）,，C=.21 23抛物线的表达式为(2分)y=x -x 一一 22，顶点 B (1, -2) . (1 分)点C (5, m)在抛物线上，m=6.，C点坐标为(5, 6).设直线BC的表达式为 y=kx+b (kw0),则6=5k+b, .仆=2,即BC的表达式为y=2x-4.-2 = k b b = -4. .E (2,0) (1 分)(2)作CHIx轴，垂足为 H,作BPx轴，垂足为P, C (5, 6), A(-1, 0), CH=6=AH./CAHNS。. . B(1, -2), A (-1, 0), BP=2

4、=AF?. .Z BAP=45. ./ CAB=90. (1 分) CH=6=AH, CHIx轴，AC =6j2. BP=2=AP, BFx 轴，AB =2也.AC 八 tanz B =3. (2 分)AB(3) / CAB=90, .B+/ACB=90.GM BC,CGM+ZACB=90.Z CGM=Z B. ( 1 分) CGM与 ABE相似， ./ BAE=/CMG或/ BA/ MCG.情况1:当/ BAE=/CMG时，. / BAE=45, CMG=45 .GMBC, 二 / MCE=45.，/ MCE=Z EAB.Z AEB=Z CEM, .ABES ACME. (1 分)BEEMA

5、ECE.即53EM - 3,5. EM=5. M (7, 0)(1分)情况2:当/ BAE=/MCG时，. / BAE=/CAM, ./ MCG=Z CAM. MC=MA. (1 分)设 M (x,0),-. C (5,6),A(-1,0), (x+1)2=(x5)2+62. .x=5.M (5, 0) . (1 分)题型二：动点在线段的延长线上2如图7,已知抛物线y = x +bx+3与x轴交于点A和点B (点A在点B的左侧)，与y轴交于点C ,且OB =OC，点D是抛物线的顶点，直线 AC和BD交于点E。11)求点D的坐标；(2)联结CD、BC ,求上DBC的余切值；(3)设点M在线段CA

6、延长线上，如果 4EBM和4ABC相似，求点 M的坐标。【答案】D (1,4)36,-3)55【解析】(1) .抛物线y = x2+bx+3与轴的交于点 A和点B (点A在点B的左侧)与 y 轴交于点 C, C(0,3)，且 OB =OC , B(3,0)-9+3b+3=0W#b=22y = -x +2x + 3; D(1,4) . OB =OC .-,ZOCB =/OBC =45/. Z DCy=45 ; ./ D C B=1 8 0 - 2 4 5 二;9 0BC 3、. 2 cotDBC = =3DC 、2,2CO BC 八由y = x +2x+3,可得，在AOC和BCD中， =3, A

7、O CD/AOC =NDCB =90*AOCsABCD , 又. ACO = CBD ; ACB = ACO OCB = E CBD. E u/OCB =45 ;当AEBM和 MBC相似时，可知 /E=/CBA;又点在线段的延长线上，.ACB二，EBA，可得.EMB=，ACB ;.MB = BC =3.2;由题意，得直线的表达式为 y =3x+3;设M(x,3x + 3).2 一6人.(x-3)+(3x+3)2 =18，解得小=,x2 =0 (舍去)5一，一口 ,63、.点M的坐标是(-一，一一)55题型二：动点在对称轴上如图，抛物线y = x2+bx+c经过点B(3,0),C(0,3) ,

8、D为抛物线的顶点。(1)求抛物线的解析式及顶点坐标；(2)点C关于抛物线y = -x2 +bx+c的对称点为E点，联结BC , BE ,求/CBE的正切值；(3)点M是抛物线对称轴上一点，且4 DMB和 BCE相似，求点M的坐标。第24题图)2i2【答案】 y=x2+2x+3； D(1,4) m M(1,2 四 M 1,2 i(2)2 (3) 3；【解析】(1) .抛物线y = x2+bx+c经过点B(3,0), C(0,3)9+3b+c = 0=0 = 3可解得上=2=、c = 3 y = x2+2x+3顶点坐标 D(1,4)(2)过点E作EH垂直于BC交于点H点C与点E关于对称轴x =1对

9、称E(2,3), CE =2, CE 平行于 x轴. OC -OB =3. OBC = ECB =45 , BC =3. 2在等腰直角三角形ECH中，CE=2CH = EH = J2在直角三角形EHB中，BH =BC - CH = 2 2EH = .2EHtan CBE BH2.2一，一，1 /CBE的正切值为 一2(3)设抛物线对称轴 x =1交x轴与点F在直角三角形 DFB中，DF =4, BF =2 BF 1 tan BDF, BDF 二CBEDF 2.点M在点D的下方当ADMB与ABCE相似时，有下列两种情况:当DMBCDB BE时，即DM 3. 2 =二可解得DM ,10二62.5M

10、 1,-2出 DM BEDB BC时，即DM2.5碧可解得DY2 2、M 1,- 0)经过点 A 和 x如图9,在平面直角坐标系 xoy中，顶点为M的抛物线轴正半轴上的点 B , AO=OB = 2, /AOB=120.(1)求这条抛物线的表达式；(2)联结OM ,求ZAOM的大小；(3)如果点C在x轴上，且 ABC与 AOM相似，求点C的坐标.24 Iff；=.作轴，ni-ir + -Ji* nf iCf .2- rt + a 0,伐由f撤相M配5 .1=(？ -2T+n-2 = (r-U1ilf ft ,1电 li 轴” W t ,(W - LlMt-CXAW -=3W 3,-,yut =

11、刘，ZJS“ -120 + M =IM)眠端 AH * v = 120，：. ZAOf MkZvO4 =OS. . ZOJfl = ZABO = 30 ,. ZJfitr = 150ABx -150#)*，,0)与x轴交于点B、C,与y轴交 m于点E,且点B在点C的左侧.(1)若抛物线C1过点M(2, 2),求实数m的值；(4)在第四象限内，抛物线 C1上是否存在点F,使得以点B、C、F为顶点的三角形与 BCE相似？若存在，求 m的值；若不存在，请说明理由.图1【解析】(1)将 M(2, 2)代入 y =_l(x+2)(x_m),得 2=父4(2m).解得 m = 4.(4)如图3,过点B作E

12、C的平行线交抛物线于 F,过点F作FFx轴于F.由于/ BCE= / FBG 所以当 CE =BC ,即 BC2 =CE CB BFBF 时， BC FBC.1设点F的坐标为(x,_，(x+2)(x m),由mFF EOBF = CO1-(x 2)(x-m)mx 2所以 F(m + 2, 0).由普黑m+4 .所以BF(m 4) m24BF =由 BC2 =CE BF ,22 , (m 4) m2 4得(m 2)2 m2 4 -.整理，得0=16.此方程无解.图2图3图4如图4,作/ CBF= 45交抛物线于 F,过点F作FFx轴于F,由于/ EBC= / CBF,所以-BE-=里，即 BC2

13、=BE BF 时， BC BFC BC BF在 RtBFF中,由 FF= BF,彳# l(x+2)(x m) =x+2 . m解得 x= 2m.所以 F(2m,0).所以 BF= 2m+ 2, BF=V2(2m + 2).由 BC2=BE BF ,得(m+2)2 =2V2M&(2m+2) .解得 m = 22&.综合、，符合题意的 m为2 +2& 2)动点在直线下方的抛物线224.如图，在平面直角坐标系中，二次函数 y = x +bx+c的图像与x轴交于a、B两点,B点的坐标为(3,0),与y轴交于点C(0, 4),点P是直线BC下方抛物线上的任意一(1)求这个二次函数 y = x2 +bx+

14、c的解析式；(2)联结PO、PC ,并将 POC沿y轴对折，得到四边形POPC ,如果四边形POPC为菱形，求点P的坐标；(3)如果点P在运动过程中，能使得以 P、C、B为顶点的三角形与 AOC相似，请求出此时点 P的坐标；【正确答案】24.解：由题意.得，口 一 J 一 匚解得二| c= - 3，此二次函数的解析式为二炉:21”3(2)期图.四边形中广为菱形联结PP交工)于点/四边形POFC为菱形，.二产。二 pa 且 peicxx。分)走=氏=暂.即尸点的纵坐标为一条口分)，,U由/ -21-3三-普,得心二泮5=一严(不合题意,舍去)(1分】，存在这样的点.此时户点的坐标为(2:拜.一件

15、卜（2分）d分）(1分) 根据题意，可得在RtA/UX：中八。二i.CX=如果PHCs&UT时,那么只可能/我P=的或/CPE=第1（1分）L 分）(i 当/R7P =婚时.塞=y，可蹲P点坐标是0* -4.(1分)(Ei)当/8岳=90恸.监工或那二专均不存在，口分)rtf 3 L 尸 J，综上财述，点y的坐标是门,r.,3)动点在直线上方的抛物线如图11所示，已知抛物线 y=x2-1与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C.(1)求A、B、C三点的坐标.(2)过点A作AP/ CB交抛物线于点P,求四边形 ACBP的面积.（3）在x轴上方的抛物线上是否存在一点M ,过M作MG_L x轴于点G,使

16、以A、M、G三点为顶点的三角形与 APCA相似. 若存在，请求出 M点的坐标；否则，请说明理由.A(-1,0)(2)OA=OB=OC=1 AP/ CB,得 x2 1 =0 解得 x=1y = -1B(1,0) C(0,-1)(2分)Z BAC=Z ACO=Z BOO=45；,PAB= 45过点P作PE_L x轴于E,则 APE为等腰直角三角形令 OE=a ,贝U PE=a+1P(a, a+1)点 P在抛物线 y = x21 上.a+1=a21解得a1 =2 , a2 = -1 （不合题意，舍去）PE=3 -4分)，四边形ACBP的面积S=1AB?OC+1AB?PE=1 2 112 3=46分) . PAB= . BAC=45FA_ ACMG_Lx轴于点G,.MGA=. PAC=90AC= 2在 RtMOC 中，OA=OC=12m1 m -12.解得用=1 （舍去）m2 =一（舍去）3(ii )当 A MAG s APCA时有AG MGCA = PA-