数列及不等式综合测试卷

1、A.、选择题下列不等式中成立的是（）若 a <b <0,则 a2 <ab <b22 .卜列命题中，止确的是（A.若 a >b , c >d ,贝U ac >bd八"a bi,C.右一2- < 2-,则a <bc c3.设；<（1）b<（；222)a <1 ,那么abaA. a : a :二 baB . a <4.设 a=logn3, b =20.3, c =C.A. a b .c Bba卷（选择题）2,2abD.若 ab, od,则 aCAbdbaaa : a ： b Djilog 3 sin ,贝U6.c

2、 >a >bC . b >a >c5.若正数a, b满足3a+4b=ab,则a+b的最小值为（D . b >c>a)A.6.6+2 33 B . 7+23 C . 7+473 D . 7-473在等比数列an中，若a =2, a2+a5 =0, an的n项和为Sn,则 S2015S2016A.4032B.2C.-2D.-40307.等比数列an中，& = 2, a§ 5 ,则数列lg an的前8项和等于（）A.6B.5C.3D.48.已知an是首项为32的等比数歹U,是其前n项和，且Sn| log2 an |前 10 项和为()A. 58B

3、.56C.50D.459.已知等比数列 匕/，且a4+a8 = 2，则a6（a2+2a6+a10）的值为（10 .设f （x ）是定义在R上的恒不为零的函数，f (x) f ( y = f x 州若 a1的取值范围是（）T2B.a =笠，则数列S364对任意实数x,yw R ,都有1二二,an2Jr2C.I,1*）,则数列4的前n项和SnD.试卷第6页，总3页11 .定义为n个正数PlP2PnPl, P2，., Pn 的“均倒数”若已知正数数列an的前n项的“均倒数”为又bn="则，+，+2n 14b,b2 b2b31+b10bli” D . 111112一， n一：7912.已知a

4、n =一%, （ nw NQ,则在数列n - 80别是（）an的前50项中最小项和最大项分A. a1，a50as, a9二、填空题第II卷（非选择题）13 .已知x >0,y >0 , 2+1=1,若x+2y >m2+2m恒成立，则实数 m的取值范围 x y是.14.若正实数a, b满足ab=32,贝U 2a+b的最小值为 .15.若直线l := 1(a 0,b 0)经过点（1,2）,则直线l在x轴和y轴的截距之和的最小值是 1 a16.设数列2）满足8=2, an书=L_ar（nWN ）,则该数列的前 2015项的乘积1 - an& a2 a3 -a2015 二三、

5、解答题17.（本题满分2_一 x 2x a14分)已知函数 f (x)=,xw1,").1 , 一时，求函数f （x）的取小值;2（2）若对任意x亡1,十8 ）, f （x） a 0恒成立，试求实数a的取值范围.18.（本小题满分 12分）在三角形 ABC中，/ A, / B,/ C的对边分别为a、b、c且b2 c2 =bc a2(1)求/ A；（2）若a =志,求b2+c2的取值范围.1*19.已知数列an的前n项和是Sn ,且Sn +an =1(n= N ).2（I）求数列an的通项公式;题答内线订装在要不请派 rkr 八 夕 一，、L*.、一.、(U)设 bn =log3(1S

6、n书)(nw N ),求适合万程整数n的值。+b1 b2b2 b3125+=上5的正bnbn 1 51一 一一一3 二20 .已知f (x) = J3sin(n十x) sin,切x卜coso X o> 0勺取小正周期为T =n .(1)求f色i的值；3(2 )在MBC中，角A、 B C所对应的边分别为a、 b c若有(2a-c)coSB bco副求角B的大小以及f (A)的取值范围.21.(本小题满分 12分)已知向量 m = (2cos2 x, J3), n = (1,sin2x),函数 f(x) = m，n.(i)求函数f (x)的最小正周期和单调递减区间；(n)在 &AC

7、中，a, b, c 分别是角 A, B, C 的对边，且 f(C)=3, c = 1, AABC的面积为,且a > b ,求a, b的值.222 .数列 an的前n项和为Sn , an是Sn和1的等差中项，等差数列 bn满足b+S4=0, b9=a.(1 )求数列an , bn 的通项公式；1(2)若g =,求数列cn的前n项和 科.(bn 16) bn 18本卷由系统自动生成，请仔细校对后使用，答案仅供参考参考答案1 . D.【解析】试题解析：对于 A,若c = 0 ,显然ac2 >bc2不成立；对于 B,若b < a父0,则a2 > b2不2. 2.一 1 一成立；

8、对于C,右a<b<0,则a > ab >b ,所以c错；对于D,右a<b<0,则> 0 , ab , 11 一，所以A；故选Da b考点：不等式的基本性质2. C.【解析】试题分析：A：取a =2, b=1, c=1, d=2,从而可知 A错误；B：当c<0时，a b2 cac>bc= a < b,，B错误；C：f f ，c#0 , c a0 ,，a <b ,C正确；D： a=c = 2, c cb=d =1 ,从而可知D错误，故正确的结论应选 C.考点：不等式的性质.3. C【解析】一 . 1试题分析：由于指数函数y =(-)

9、是减函数，由已知工 <(广 <()a <1得 22220<a<b<1,当0<a<1时，y = ax为减函数，所以ab < aa,排除a、b；又因为哥函数y = xa在第一象限内为增函数，所以aa m ba,选C考点：指数函数、哥函数的性质；4. C【解析】1试题分析：分析可知 0 = logn1 <a = log7r3 clogn = 1, b = 2 a2 = 1，由 sin =，c = log 3 sin < log 31 = 0，即 0 < a < 1, b > 1, c < 0,故 b >a

10、 >c .6考点：对数、指数、三角函数的综合考察.5. C.【解析】试题分析：.正实数 a,b满足3a+4b= ab,3a 4bI -a+b=(a+b)13+4=3+4+3a+Kt7+4V3,当且仅当b a ,lb a Jb a3 * 4 彳一十一 二1ib aI a = 2、，3+4即«时，取等号，b =3 2.3故选C.考点：基本不等式.6. B【解析】试题分析：由于数列 an为等比数列，a1 = 243 .a2 +a5 =2q+2q =2q(1+q )=0= q = -1, (q00)则 S2016=2>= S2015 . S2016二2考点：1.等比数列通项公式；

11、2.等比数列求和；7. D【解析】4试也分析：lg a十lg a?十十 lg a8 = 1g (a a : a8 )= lg(a4a5) 4 4lg 10 4 ,故答案为D.考点：1、对数的运算；2、等比数列的性质.8. A【解析】 试题分析：本据题意 S6JL-S3- = = q3,所以q=1 ,从而有an =32?-4t 27-2n,所以S3644 '41og2an =7- 2n ,所以有1。守门=n2 ,7所以数列的前10项和等于 5 + 3 + 1+1+3 + 5+7 + 9 + 11+13=58,故选 A.考点：等比数列的性质，等差数列的前n项和.9. A【解析】试题分22a

12、6 a22a6耳。.卜观22a6之6a。= a42a4a8a8f a4故答案为A.考点：等比数列的性质.10. C【解析】试题分析：令x = n, y =1得f (n )叶(1 )= f (n +1),即an - = an41,数列aj以为首项,22n 1G-1n ；1为公比的等比数列，,S = a1" - q)=-21=1- <1 ,各 项都为正数，21_12n21Sn至S1 = 1 ,故答案为C.n 12考点：1、等比数列的判断；2、等比数列的前n项和公式.11. C【解析】.一 ，一 ，一n1试题 分析： 由于=3 Sn=n(2n + 1)= an=4n1a a2 .an

13、 2n 1, 4n -1 -1则：答案第14页，总9页111+ +.时2bAh0bli十10 1122311-10=1=10 111111考点：1.已知数列前n项和Sn,求an ； 2.裂项相消法求数列的和;12. C【解析】一 ， n 一 79 、试题分析：将an =n 79变形为:n f/80ann - 80、, 80 -、79 d , 80 - x 79：=1+f,彳守具n -、80n - 80看作关于n的函数，显然在递减区间为:0,80、'，递增区间为:80，二，又因为nW N ,根据图像可知，当 n=8,时取得最小值项，当 n=9时，取得最小项，故答案为C.考点：1.分离常数

14、法；2.函数的单调性求最值.13. (M,2)【解析】由2 +1 =1可得,x y11 2y x 22y +x = xy =2y x 2 <-(一2),所以2y+x之8由x +2y >m2 +2m恒成立.故可得m2 +2m <8 ,所以Y <m <2 .【命题意图】本题考查基本不等式、恒成立.考查分析转化能力.14. 16一一a , 八， ； , ab = 32 r【解析】 a A0,b A0,ab =32,二 2a+b±2v2ab=2M8=16 (当且仅当,，即、2a=ba =4-时取等).、b =8考点：基本不等式.15. 3+2户【解析】2a12

15、, 1 2试题分析：由题,国得 一+=1 ,，截距之和为a+b = (a+b)(十一)=3十 a ba ba + b的最小_3 2, 2a b =3 2.2 ,当且仅当2a=_b, 即b = '2a时，等号成立，即 ,b ab a值为3+2<2 .考点：1直线的方程；2 .基本不等式.16. 3.【解析】试题分析由题意可得，1a1a2二1 - a11 a211 a31= ，a4 =1-a221 -a33a51a41 - a=2 = a1 ，数列an是以4为周期的数列，而2015 =4x503+3, 前2015项乘积为a1a2a3 =3.考点：数列的递推公式.17. (1) f (

16、1) =7 ; (2) a > -3.【解析】试题分析：(1)分离常数，判定函数的单调性，进而求最值；(2)分析题意，研究分子恒成立即可，再利用二次函数的单调性求最值.1 1试题解析：(1)当a =时，f(x)=x+2,2 2x因为f(x)在区间1,+道为增函数，所以f(x)在区间1, m最小值为f(1)= 7.x2 2x a(2)在区间1,")上，f(x)= A。恒成立x2u x +2x+a>0 恒成立.设 y =x2 +2x +a,x w 1尸)，y =x2 +2x + a =(x +1)2 +a -1 在 1,收递增,当 x=1 时，ymin=3 + a,于是当且仅

17、当ymin =3+a>0时，函数f(x)恒成立,故 a a -3 .考点：1.函数的单调性；2.不等式恒成立问题.18. (1) A；(2) 3<b2+c2<9.3【解析】1 , 一 ， 一 一=2,根据角的范围即得.222试题分析：（1）由余弦定理有cosA = b c _a 2bc（2）思路一：根据b2 +c2 =bc+a2应用基本不等式.思路二、由正弦定理得到 b =2sin B,c =2sin C ,将 b2 +c2 化成 2sin(2B -) +4，根据-<2B <即得.6666222试题解析：（1）由余弦定理有cosA = b c2bc（2）方法一：1

18、f a=.3 且 b2 c2=bc a222b c+ 0 <bc <,222.3 ：:b - c -922 一 b +c <6,（当且仅当b = c=J3时取等号）方法二、由正弦定理sin B sin C sin A .二sin 一 3二2b =2sin B,c =2sin C,b2，c2 =4sin Bsin C，3 =4sin Bsin(B 5)，3 =2sin2 B，2.3sin BcosB，3=3sin2B -cos2B 4 =2sin(2B -) 42',7：,因为 0 <B <,所以<2 B <3666所以1 ；sin（2B ） &

19、#163;1 即.3；b2 c2_9. 26考点：1.两角和差的三角函数；2.三角函数的图象和性质；3.正、余弦定理；4.基本不等式.一 In19. （I） an =2（） ； （n） n =100.3试题分析：（I ）首先利用 an1=Sn Snn22得到递推关系an= an（n±2）根据等比 3数列的定义知数列an是以-为首项，1为公比的等比数列，利用等比数列的公式求得其 n 33通项公式；（n）根据（I）所得结果及对数的运算法则可得bn = -(n + 1),进而求得1 一一一 , , , M再利用裂项相消法求得bnbn 1 n 1 n 2+bb2b2 b3111=，_'

20、; 的结果bnbn 12 n 225 .一 为 ，进而解得正整数 n的值.51试题解析:(I) n = 1 时,a11 a12=1, a1(2分)n之2时,1Sn =1-an 一 ISn J - 1an J21Sn(a21nan)， an =&an(n 之 2)(4 分)3an是以1 211c1为公比的等比数列，an =2 (1)n,=2(1)n3333(6分)()1-Sn1= 2an1.，, 一 、，而，bn =log3(1 -Sn 1) =log 31-(n 1)(8分)1bnbn 1+b1 b2b2b31 HIbnbn 11111*3)(3T m ();21-(11 分)n 22

21、5二 n =10051(12 分)考点：1.等比数列的定义;2.对数运算；3.裂项相消法求和.20. (1) f 心3JiJi=1 ； B=3-记i.,2试题分析：(1)利用二倍角的正弦和余弦将公式进行化简，利用而求得f x =1sin 2x 一一，求得 f621=-1; (2)在AABC中，将已知条件利用 ,3正弦定理进行化简，再根据和角公式及三角形内角和为180 ,得到B=一,根据题意，将322 二角 A= 0, ,3,进而求得 f (A)w J-1,- j.一 2试题解析：(1) f (x )=J3sin 切xcos。x 一cos2 8x311sin 2 x - cos2 x -一 22

22、2I n=sin I 2 x -；y = f (x )的最小正周期为T=nf x =sin123分2 二/,即：二:一 =1 2 .5.2 二 .一 2 二 二 1. 7 二 1,f =sinl2 一一-=sin-=-1336262(2) ；(2a -c)cosB = bcosC由正弦定理可得：2sinA-sinC cosB = sinBcosC7分分分分=2sin AcosB =sinBcosC+cosBsinC =sin(B+C )=sin(nA)=sin A 8 分:'sin A01110sin I 2Ajif A =sin 2A-.62212考点：1.二倍角公式；2.三角函数的

23、值域.2二一.21. (1) T = n, k兀 +,kn + ,k63Z ,(2)a = 2,b = 73,出 函 数 f(x) 并 化 简f (x) =2 cos2 x 3 sin 2x=1 cos 2x,3 sin 2x =n2sin(2 x + -) + 1 ,求出函数的最小正周期和单调减区间；第二步由f (C) = 2sin(2JTC + 6)+1 = 3, sin(2 C+ 6-） = 1,求出角c = 6 ,再根据余弦c21= a2b2 222saba2b2试题解析:2 absi- n63a2L , 2把ab =向代入=7,联立方程组解出a=2,bf (x) = m n = (2cos2 x , 3) (1, sin 2x) =2cos2 x，J3sin 2xJT= cos2x +1 +百sin 2x =2sin(2 x + 二)+1 , 6函数f（x）的最小周期T =一=冗2,一_3 二由 2k：_2x_2k 二一,(k w Z), 得 f(x)的单调jik二一，k二,k Z63nr(n) f(C) =2sin(2C )1 =3_ , n .二 sin(2C