泰勒公式与导数的应用

1、泰勒公式与导数的应用名称主要容泰勒中值定理：如果f (x)在含有x0的某个开区间(a,b)具有n1阶的导数,则对任一x (a,b)，有 f (x)f (Xo)f/(x)(xX0)fy)(xx。)22!f(n)(Xo)n(x Xo)Rn(x)，1比公式称为n阶泰勒公式；n!其中Rn(x)f (n1()(x X0)n1( 介于X0于X之间)，称为拉格朗日型余项；或泰(n1)!Rn(x) O(xx)n，称为皮亚诺型余项。勒n阶麦克劳林公式：f(x) f(0)f/(0)xf(0)2 Xf(n)(0)Xn Rn(x)公f(n2!n!(x)其中Rn(x)-xn1( 01)或 Rn(x) o(xn)。(n1

2、)!式常用的初等函数的麦克劳林公式：1)2nXXXe 1 x O(xn)2!n!352n12)sin x xxx(1)n xo(x2n 2)1)O( X丿3!5!(2n1)!2462n3) COSX 1xxX(1)no(x2n1)2!4!6!(2n)!23(1)nXn 14)ln( 1 x)xxXo(x丿23n15)X X1x2 xn Xo(xn)1 x6)(1 x)m1mxm(m 1)2m(m 1)(mn 1) no(xn)2!Xn!X巩固练习 1.按（x 1）的幂展开多项式f（x） X4 3x2 4。知识点：泰勒公式。思路：直接展开法。求 f（X）按（x x0）的幂展开的n阶泰勒公式，则依

3、次求 f（X）直到n 1阶的导数在x Xo处的值，然后带代入公式即可。解：f (x) 4x3 6x，2f (1) 10 ; f (x)12x6，f (1) 18;f (x)24x，f (1)24 ； f(4)(x)24 ； f (1)24 ； f (5)(x)0 ；(5)将以上结果代入泰勒公式，得f (x)f(1)Sx1!1)(x2!1)2d(X 1)33!S(X 1)44!810(x 1)9(x 1)234(x1)(x1)4。 2.求函数f(x)4）的幂展开的带有拉格朗日型余项的三阶泰勒公式。知识点：泰勒公式。 思路：同1。解：f（X）12.x，*丄323f (x) X8256(4),、(X

4、)15一 x16将以上结果代入泰勒公式，得f(x) f(4)f(x1!4)3(x2!4)2(4)3!(X 4)3h(x 4)42(x4)44)24)3547(x 4)，(128 E2E介于x与4之间）。0点展开到含项，并求f（0）。 3.把 f (x)2X X 2在X 1xn o(xn)。知识点：麦克劳林公式。思路：间接展开法。f（x）为有理分式时通常利用已知的结论解：f(x)=2x2 x2x 2x2Xx22x(1x)11 X312x(1x)(1 x3o(x )1 2x2x2 2x4o(x4);又由泰勒公式知X3前的系数 f-(0)0 ,从而f (0)0 。3! 4.求函数f (x) In x

5、按(x 2)的幂展开的带有皮亚诺型余项的n阶泰勒公式。知识点：泰勒公式。思、路：直接展开法，解法同 1或者间接展开法,f (x)为对数函数时，通常利用已知的结论2xIn(1 x) x2x3(1)nno(xn1)。方法一:(直接展开)f (x)1-，f (2)x1x4将以上结果代入泰勒公式，得f (x) ， f ,f (n) (x)1；f (x) 2 ， f (2)x1 (n 1)!1)，f(n)(2)In x f (2)f (2)1!(x 2)gx2!2)23!(x2)3(2)4!f(2)(xn!2)no(x2)n)In 21(x2)(x2)2(1)n1 1n 2n(x2)n o(x2)n)。

6、方法f(x)In xln(2 x2)In 2 ln(1兮)In 21)n(x221(n 1)!.2n2)4 III(x2)31 x3(_24(x3 232)32)3 5.求函数f(x)知识点：泰勒公式。n 1 1 x1)-(nx 2 o()n)In 212(x2)2)2(1)按(xx2)n o(x2)n)。1)的幂展开的带有拉格朗日型余项的n阶泰勒公式。f (x)为有理分式时通常利用已知的结论11 x x2IIIn1n 1xn 2 x。1 x(1)方法一:f (x)1 2 x，f ( 1)1 ； f (x)思路：直接展开法，解法同1或者间接展开法f ( 1)6n!n 1 ?1)n(n),(n)

7、(4，f ( 1)2 ； f (x)，xx(x)(1)(1)nn!nrn!;1 f(1)f(1)1!(x 1 2!f ( 1)(x1)21)3Ill方法(n)(n!1 (x1)(1)n1-(x 6.求函数y1)n(x(n1)n1)2(x 1)3(X1)n(1)n1-(x1)n 1(E介于x与 1之间)。11 (x 1)1)n1 11 (x(x 1)E介于x与 1之间)。xex的带有皮亚诺型余项的知识点：麦克劳林公式。思、路：直接展开法，解法同1；间接展开法。2 x2!nx / n. o(x )。n!1)(x1)2(x1)3(x1)n(x1)2(x1)3(x 1)n斗 1)”1阶麦克劳林展开式。

8、f (x)中含有ex时,通常利用已知结论方法一 ：y(xx1)e , y(0)1； yx(x 2)e , y (0)2 ；(n),yx(x n)e ,y(n)(0) n，将以上结果代入麦克劳林公式,xxef(0)f (0)x1!x23 x2!nx(n方法xxex(12!3!IIIf (n) (0) nxo(xn)1)!o(xn)。(n 1)!o(xn)。 7.验证当01x 时,22 x2!n 1 x(n1)!no(x1)x23x2!按公式x2x3x的近似值时，所产生的误差小于0.01，并求e的近似值，使误差小于 0.01知识点：泰勒公式的应用。思路：利用泰勒公式估计误差，就是估计拉格朗日余项的

9、围4!兰x44!2 14! 24192。116480.646。 8.用泰勒公式取n 5,求In1.2的近似值，并估计其误差。 知识点：泰勒公式的应用。解：设 f (x) ln(1 x)，则 f (x) f (0)25xxx，从而 In 1.2 f (0.2)2 5f (0)1!x I 2!III -0)x5 5!0.20.220230.240.25 “2340.1823 ;其5误差为：R5(x)6(1x0.260.0000107。 9.利用函数的泰勒展开式求下列极限:(1) lim (_3x Vx2 x);x1- x2 v1x2(2)lim 22x 0 (cosx ex ) sin x知识点：

10、泰勒展开式的应用。思、路：间接展开法。利用已知的结论将函数展开到适当的形式，然后利用极限的运算性质得到结果。解: (1) limx3x x2x)lim x(1x-4)3xx(1丄)可xJim x(1xlim (11398x3。(丄)x10(-7)x12x(11)x1)12x1x2_1(2) limx 0(cosxx2(11 21 xlim-x 01lim(1ex21寸o(x4)1x2ex )x2 10.设 x(12 2 2 2o(x )(1 x o(x )x1x83x4( 4)o(x )o(x4)丄120,证明:2x ln( 1 x)。知识点：泰勒公式。思、路：用泰勒公式证明不等式是常用的一种

11、方法。特别是不等式的一边为某个函数，另一边为其幂级数展 开的一部分时，可考虑用泰勒公式。解：ln(1x) x3x3(1E)3E介于0与x之间)，丁 x3x0，二33(1 E3从而ln(1x) x3x3(1E)32x，结论成立。2(也可用3.4函数单调性的判定定理证明之) 11.证明函数f (x)是n次多项式的充要条件是f(n1)(x) 0。知识点：麦克劳林公式。思路：将f(X)按照麦克劳林公式形式展开，根据已知条件，得结论。解：必要性。易知，若 f (x)是n次多项式，则有f(n 1 (x)充分性。丁 f(n (x)0 , f (x)的n阶麦克劳林公式为:f (x)f(0) f (0)xf (

12、0)x22!f (0)x33!IK(n)(0)xnn!n 1(Ex(n 1)!(n 1)f(0)f (0)xf (0)x22!f (0)x33!(n)(0) nF，即 f(x)是n次多项式,结论成立。 12.若 f (x)在a,b上有 n 阶导数，且 f(a) f (b)f (b)f(b) III(n(b)0证明在(a,b)至少存在一点E，使f(n)( E 0(a E b)。知识点：泰勒中值定理、拉格朗日中值定理。(n 1(x)在a,b上满足思路：证明f(n) (E)0(a E b)，可连续使用拉格朗日中值定理，验证罗尔中值定理；或者利用泰勒中值定理，根据f(x)在x b处的泰勒展开式及已知条

13、件得结论。方法一：t f (x)在a,b上可导，且 f(a) f (b)，由罗尔中值定理知，在 (a,b)至少存在一点E，使得f ( E)0 ；f (x)在E,ba,b上可导，且 f (b) 0，由罗尔中值定理知，在(E,b)(a,b)至少存在一点E，使得f(E) 0 ；依次类推可知，f(n1)(x)在En 1,ba,b上可导，且 f(n1)( E1)f(n1)(b) 0，二由罗尔中值定理知，在(乙1,b)(a,b)至少存在一点E,使得f (n)( 90方法二：根据已知条件，f (x)在x b处的泰勒展开式为:f(x) f(b) f (b)(x b)护 x b)2 I(n 1),冷 b)n1f

14、(n)( 9n!(x b)n斗9(x b)n (x E n!b),- f(a)畔(a b)n0，从而得f(E)0,结论成立。容概要名称主要容函数单调性的判别法：设 y f (x)在a,b上连续，在(a,b)可导，则(1)若在(a,b) f (x)0，则y f (x)在a,b上单调增加;若在(a,b) f (x)0，则y f (x)在a,b上单调减少。函数的单调性与曲线的凹凸性1)曲线凹凸性的概念：设 f (x)在区间IXi X2、f(Xi) f(X2)2，则称Xi X2)f(Xi) f(X2)，则称2连续，如果对|上任意两点X-I , x2，恒有f (X)在I上的图形是凹的；如果恒有f (x)

15、在I上的图形是凸的。在某个区间I上，f (x)0 ( f (x)0)，2)拐点的概念：连续曲线上凹弧与凸弧的分界点成为曲线的拐点。证明：t y212x2(1 x20 (仅在 x 1 处 y 0)，1 x1 x2- y x ln（1 x）在（，）是单调增加的。 2.判定函数f（x） x sinx（O x 2 n的单调性。解：T f (x)1 cosx 0 (仅在 xn处 f (x)0 ),- f（x） x sin x（0 x 2冗）是单调增加的。 3.求下列函数的单调区间：1 32823 2（1） y -x x 3x 1 ；（2）y 2x - （x 0） ；（3）y - x ；3 x3（4）yI

16、n（x1x3 r2（3）y x . x的定义域为（）；（5）y （1 x）x ；（6）y2x2In x。知识点：导数的应用。思路：利用一阶导数符号判断函数的单调性。求函数的单调区间，用导数为零的点及不可导点，将定义域 划分成若干个区间，然后在每个区间上判断函数的单调性；如果划分定义域的点有两个或以上，可列表讨 论，使得思路更清晰一些。2)；令 y x 2x 30，132解：（1）y 3X x 3x 1的定义域为（得x11， x23。列表讨论如下:x(,1)1(1,3)3(3,)f (x)0一0f(x)/132由上表可知，y x x 3x 1在（，1）、（3,）严格单增，而在（1,3）严格单减。

17、8（2）在（0,），令 y 220，得 x 2 ；x当 x （0,2）时，有 y 0 ；当 x （2,）时，有 y 0 ；y 2x -（x 0）在（0,2）严格单增，在（2,）严格单减）；令y2(3x 1)33 xxX(0)0(0,1)1(1,)f (X)00f(x)/由上表可知，y 2x 3 X2在（，0）、（1,）严格单增，而在（0,1）严格单减。3（4） y ln（x , 1 X2）的定义域为（，）,- yln(x(5)(1x2(1 汽)、1x2)在(x）x的定义域为0,1厂X2）严格单增。(X(6)2y 2xIn x的定义域为（0,），令y4x 1X4x2 1X当X1(0,-)时，y2

18、10 ；当 x (-2,）时，y 0 ； y22x In x在1（0,）严格单增，21在（；，2）严格单减。 4.证明下列不等式：(1)当当x 0时，12x . 1 X2；（2）当：x 4 时，2X2X ；(3 )当x 0 时，(1x)l n(1 x)arcta n x ；(4) 0 Xn 一时,2知识点:导数的应用或者泰勒公式的应用。(1- y、x）x在0,）上严格单增。0，得xtan x x思、路：利用泰勒公式可以证明一些不等式（见习题3-3第10题），利用函数单调性也是证明不等式常用的方法。解: (1)方法一:令 f (X)11-x1 x，2则当X0时，1 f (X)-211 1-(1

19、) 0，2.1 x2 .1 x f(x) 1 x .1 x 在0,)上严格单增；从而 f (x)f(0)0，21 ,即1 X . 1 X，结论成立。2方法二：由泰勒公式，得1 lx2(12_)3 /8(1 B 8(1x),从而得1、1 x，结论成立。(2)方法一:令f (x)2x2x ，则当x4时，f (x)2xln22x ,f (x)2xln22 216ln 2 22 (ln 42)2 2 (ln e2)2 20二 f (x)2x In 2 2x 在(4,)严格单增,从而 f (x)2xIn 2 2xf (4)16In 2 44(ln161)- f(x) 2x x2在(4,)严格单增，在(4

20、,)f(x) 2xx2f(4)x2- 2x ,结论成立。注:利用f (x)的符号判断f (x)的单调性，利用f(X)的单调性判断其在某区间上的符号,从而得出f (x)在某区间上的单调性，也是常用的一种方法。方法二：令 f (x) xln 2 2ln x ,2 1 1当 x 4 时，f/(x) ln2 - ln2 -列4- f(x)x l n2 21 nx在(4,)严格单增,.xln 22ln x“ x2、人、ee, 即 2x ,结论成立。(3) 令 f (x)(1 x)ln(1 x) arctan x,则当x 0时有1f (x) ln(1 x) 121 x0 (仅在 x 0 时，f (x)0

21、), f(x)在0,)上严格单增，从而有 f(x)f(0) 0,即(1 x)ln(1x)arcta nx，结论成立。(4)令 g(x)ntan x x，则当0 x时，有 g (x) sec2 x 1 tan2 x- f(x)0，从而有,0xln 2 2ln x f (4) 4ln 2 2ln 4xln2 2Inx ,从而g(x)tanxx在(0,n)严格单增，g(x)g(0)n0 ,即在(0,)tanx x；再令f (x)tanx1 3xx ，3则当0 xn时，2f (x) sec x 1 x2 tan2x x20，从而f (x)tanx1 3nxx在(0,)严格单增，2f(x)f(0)0 ，

22、即在(0,n2tanx1 3xx，结论成立。3 5.试证方程sin x x只有一个实根。知识点：导数的应用。思路：利用导数的符号判断函数的单调性，进而讨论方程的根是常用的方法。解：易知，sin0 0，即x 0是方程的一个根；令 f (x)xsin x，贝U f (x)1 cosx 0(仅在 x 2kMk Z)处 f (x)0)，- f(x)xsin x在(，)严格单增，从而f (x)只有一个零点，即方程sinxx只有一个实根。 6.单调函数的导函数是否必为单调函数？研究例子：f(x) x sinx知识点：导数的应用。思、路：利用一阶导数符号判断单调性，从而证明结论。角军：单调函数的导函数不一定

23、为单调函数。f (x) 1 cosx 0 (仅在 x (2k 1) nk Z)处 f (x) 0), f (x) x si nx在(，)严格单增；而 f (x)1 cosx 在(2k n (2k1)n严格单减，在(2k1)n,2k n严格单增，从而在(,)上不单调。 7.求下列函数图形的拐点及凹凸区间:(1) y x -(x0)；x(2) yxx21(3) y xarcta nx ；(4) y (x 1)4 ex；2(5) y In(x 1)；(6) yarcta nxe知识点：导数的应用。思路：利用二阶导数的符号判断函数的凹凸性；求拐点和凹凸区间，用二阶导数为零的点及不可导点，将 定义域划分

24、成若干个区间，然后在每个区间上判断函数的凹凸性；如果划分定义域的点有两个或以上，可 列表讨论，使得思路更清晰一些。1 2解：(1) y 12，y 2，丁当 x 0时，y 0，xxy x 在0,）上为凹函数，没有拐点。xX（2） y x 的定义域为（，1）（ 1,1）（1,）；X 12（5） y In（x1）的定义域为（2x22(1 x )2 2(1 x )y1 x2x(x 3)人1/令 y0，得x0 ；1,22， y,23，令 丫(x 1)(x 1)当x1 或 0 x 1 时，y 0 ；当 1 x0或x1时，y 0 ；- yxx 的凹区间为（1,0）、（1,），x 1凸区间为(,1)、(0,1

25、)；拐点为(0,0)(3)y x arctanx的定义域为（，），yarcta nx 1x，yx20，a2X2(1 x )- yx arcta nx在整个定义域上为凹函数，没有拐点。(4)y （x 1）4 ex的定义域为（，），y4(x1)3xe，y12(x 1)2 ex 0y (x 1)4xe在整个定义域上为凹函数，没有拐点令y 0，得洛,21 ；列表讨论如下:x(,1)1(1,1)1(1,)f (x)00f(x)由上表可知，y In （x1令y 0，得x ；当x 时，y 2 1）的凸区间为（，1）、（1,），凹区间为（1,1），拐点为（1,l n2）及(1,ln 2)11y earctan

26、x的凹区间为（，一，凸区间为_,22arcta n x（6）y e 的定义域为（，），yarcta nx earcanx e(1 2x)，y(1，1 xx )10 ；当 x 时，y 0 ；21arctan），拐点为（尹2）x yx ye e2_ /、(1)e 2 (x y);2cosx cosy/ n n,x,y ( 2 T知识点：函数凹凸性的概念。思路：利用函数凹凸性的概念可证明一些不等式，特另提不等式中含不同变量的线性组合及其函数值的线 性组合时可考虑利用函数的凹凸性。证明：（1）令y ex0， y e 在（）是凹的。利用凹函数的定义，x,y（，)(xy），有(2)令 y cosx，T在(

27、,，ycosx2 2函数的定义，x,y(n, n(xy)，x有 cos20 ,x 1 9.求曲线y 2 的拐点。 x21x ye 2 ，结论成立。- yz n ncosx在（2,n是凸的。利用凸cosx cosy，结论成立。知识点：导数的应用。思路：同7。解:x 12的定义域为（x 11 2x(1 x2x2)2 ，(22 22x)(1 x )(1 2x(1 x2)42 2x ) 4x(1 x )22(x 1)(x 4x 1)3(1 x )x(,1)1(1,2V；3)2后(2 V3,2 V3)2 73（2 為，）f (x)000f(x)令y0，得 x11，x2,323 ；现列表讨论如下:8 4

28、3)由上表可知，拐点为（1,1）、（23, 13 ）、（23, 138 4J32bx的拐点?高阶可导的函数的拐点一定是二阶导数的零点。 10.问a及b为何值时，点（1,3）为曲线y ax知识点：导数的应用。思路：拐点通常是二阶导数的零点或者是不可导点。又解：y ax3 bx2的定义域为（23ax 2bx， y 6ax 2b ；将(1,3)代入yax32bx中，得：3ab；将(1,3)代入y6 ax2b中，得：06a2b；由得，a3，b 9。22 11.试确定曲线yax3 bx2cxd中的a、b、c、d，使得在x2处曲线有水平切线,(1,10)为拐点，且点(2,44)在曲线上。知识点：导数的几何

29、意义及导数的应用。思路：利用可导函数的拐点一定是二阶导数的零点，在某点处的导数值等于该点处切线的斜率，以及已知条件，建立方程组，确定函数中的待定参数。2解：y 3 ax2bxc， y 6ax2b ；将(322,44)代入 y ax bx cx d，得448a4b2c d将(1,10)分别代入y3,2ax bxcx d与y6ax 2b中，得10a bc d； 06a2b将x2代入y3 ax22bxc中，得012a4bc由得，a1，b3，c 24，d16。 12.试确定yk(x23)2中k的值，使曲线的拐点处的法线通过原点。知识点：导数的应用。思路：可导的拐点必为二阶导数为零的点；依此求岀拐点坐标

30、，写岀法线方程，根据已知条件，求岀k值。2 2 2 2解：y k(x 3)的定义域为(,)；y 4kx(x 3)， y 12k(x1)；令y0，得捲,21。易知，当x的取值通过x1i21的两侧时,y212k(x1)会变号,-(1,4k)与(1,4k)均为 y k(x223)的拐点；t yx 18k，yx 1 8k，两拐点处法线方程分别为：y 4k(x 1)，y4k(x1)；8k8k又两法线过原点，将(0,0)代入法线方程，得32k21,解得k8 13.设函数y f (x)在x x0的某邻域具有三阶导数，如果 f (x0) 0， 而f (x0)0，试问(X0,f(X0)是否为拐点，为什么？知识点

31、：导数的应用。思、路：根据极限的保号性和拐点的定义得结论。方法一 ：f (xj 0， f (x() 0 不妨设 f (x() 0，即f (X0)lim3 Ux)Iim30；XXvvX 0 v vX XXXoX 0 XXo由极限的保号性知,必存在30，使得 x(x0, 3),均有f (X) o ；XXo从而当x03X Xo时，有f (X) 0 ,当 XoXx03时，有 f (x) 0 ;二(Xo,f(Xo)为拐点容概要名称主要容函数的 极值与 最大值 最小值极值的概念：设函数f(X)在点x0的某个邻域有定义，若对该邻域任意一点X( X x0)，恒有f(x)f (x0)(或f(x)f (x0)，则

32、称f (x)在点x0处取得极大值(或极小值)，而Xo成为函数f (X)的极大值点(或极小值点)。函数极值的判别法第一充分条件：设函数 f(X)在点x0的某个邻域连续且可导(f (沧)可以 不存在)，(0若在x0的左邻域，f (x) 0 ；在在x0的右邻域，f (x) 0，则f (x)在x0处取得极大值f (x0)；(2) 若在xo的左邻域，f (x) 0 ；在在x0的右邻域，f(X) 0 ,则f (x)在x0处取得极小值f (x0)；(3) 若在Xo的左邻域，f(X)不变号，则f(X)在Xo处没有极值。 注：第一充分条件利用一阶导数符号判断函数单调性。第二充分条件：设f(X)在Xo处具有二阶导

33、数，且f (x0)0，f (Xo)0，则(O当f (x0) 0时，函数f (x)在x0处取得极大值；(2)当f (xo) 0时，函数f(X)在Xo处取得极小值。注：利用驻点处二阶导数符号判断驻点是否为极值点。函数的最大值和最小值：注意函数极值和最值的区别和联系五、练习五 1.求下列函数的极值:(1) f (x) lx3 x23x ； ( 2)yx ln(1 x)；(3)In2 x y3x(4) y x .1 x ；(5)yex cosx ；(6)f(x) (x1) 3x2知识点：极值的充分条件。思路：求y 0的点或者y不存在的点，然后利用极值的第一或者第二充分条件进行判断。当所有的极值可疑点多

34、于两个时，若利用第一充分条件，可列表讨论；第二充分条件仅用来对驻点是否为极值点进行 判断。解：(1)方法f(x)2x3x的定义域为(令f (x) x2 2x 3 0，得x-i 3， x21；现列表讨论如下:由 f (x) 2x 2得，f ( 1)40， f (3)40，二由极值的第二充分条件知,f (x) x3 x2 3x在 x351处取得极大值为f( 1)-，x(,1)1(1,3)3(3,)f (x)0一0f(x)/极大值占八、极小值点/由上表知，f(x) 3x32x3x在x1处取得极大值为f( 1)-，在x 3处取得极小值为3f(3)9。方法二：2令 f (x) x22x 3 0，得捲 3

35、，X21 ；在x 3处取得极小值为f(3)9(2)方法一：y x In(1x)的定义域为(1,)，令y0，得 x 0;当1 x 0时，有y 0 ；当x 0时，有y 0，二由极值的第一充分条件知,y x ln(1 x)在 x0处取得极小值为f(0)方法二：y x ln(1 x)的定义域为(1,)，令y0，得 x 0 ；x(0,1)1(1,e2)2 e(e2,)f/(x)00f(x)极小值占八、/极大值点22 x处取得极大值为f(e2)方法二：yIn2 x的定义域为(0,x)，令y2ln x ln2 xx21，X2e2x3，得y0 ， y (e2)二由极值的第二充分条件知,ln2 x1处取得极小值为y(i) 0，在处取得极大值为又由 y2，得 y (0)10，(1 x)由极值的第二充分条件知，y x ln(1 x)在x0处取得极小值为f (0)0。2 2(3)方法一 ：y -的定义域为(0,)，令 y 2In (5) y e cosx的定义域为 2In x 0，得 x11，x2x现列表讨论如下:由上表知，yIn2 x在x1处取得极小值为y(1)0，在x exf(