概率论与数理统计第一章随机事件的概率第三节：条件概率完整

1、概率论概率论 第三节第三节 条件概率条件概率条件概率条件概率乘法公式乘法公式全概率公式与贝叶斯公式全概率公式与贝叶斯公式概率论概率论 P(A )=1/6，例例如如, 掷一颗均匀骰子掷一颗均匀骰子, A=掷出掷出2点点,B=掷出偶数点掷出偶数点,P(A|B)=？掷骰子掷骰子已知事件已知事件B发生发生, 此时试验所有可能结果构成的集合就是此时试验所有可能结果构成的集合就是B， P(A|B)= 1/3.B中共有中共有3个元素个元素,它们的出现是等可能的它们的出现是等可能的,其中只有其中只有1个在集合个在集合A中中.容易看到容易看到)()(636131BPABPP(A|B)于是于是概率论概率论 P(A

2、 )=3/10，又如又如, 10件产品中有件产品中有7件正品件正品, 3件次品件次品; 7件正品中有件正品中有3件一等品件一等品, 4件二等品件二等品. 现从这现从这10件中任取一件，记件中任取一件，记 B=取到正品取到正品A=取到一等品取到一等品，P(A|B)()(10710373BPABP则则概率论概率论 在解决许多概率问题时，往往需要在有某些附在解决许多概率问题时，往往需要在有某些附加信息加信息(条件条件)下求事件的概率下求事件的概率.1. 条件概率的概念条件概率的概念如在事件如在事件B发生的条件下求事件发生的条件下求事件A发生的概率，发生的概率，将此概率记作将此概率记作P(A|B).一

3、般地一般地 P(A|B) P(A) 概率论概率论 若事件若事件B已发生已发生, 则为使则为使 A 也也发生发生, 试验结果必须是既在试验结果必须是既在 B 中又在中又在A中中的样本点的样本点, 即此点必属于即此点必属于AB. 设设A、B是两个事件，且是两个事件，且P(B)0,则称则称 (1)()()|(BPABPBAPSABAB2. 条件概率的定义条件概率的定义为在为在事件事件B发生发生的条件下的条件下,事件事件A的条件概率的条件概率.由于我们已经知道由于我们已经知道B已发生已发生, 故故B变成了新的样本空间变成了新的样本空间,于是于是 有有(1). 概率论概率论 3. 条件概率的性质条件概率

4、的性质 : | 件件具备概率定义的三个条具备概率定义的三个条条件概率条件概率AP ; 0|, : 1 ABPB对对于于任任意意的的事事件件非非负负性性 ; 1| : 2 AP规规范范性性 , , : 321则则有有是是两两两两互互斥斥事事件件设设可可列列可可加加性性BB 11iiiiABPABP . 性性质质对对条条件件概概率率都都成成立立所所以以在在第第二二节节中中证证明明的的概率论概率论 2) 从加入条件后改变了的情况去算从加入条件后改变了的情况去算 4. 条件概率的计算条件概率的计算1) 用定义计算用定义计算:,)()()|(BPABPBAPP(B)0 掷骰子掷骰子例：例：A=掷出掷出2

5、 点点， B=掷出偶数点掷出偶数点P(A|B）=31B发生后的缩减发生后的缩减样本空间所含样样本空间所含样本点总数本点总数在缩减样本空在缩减样本空间中间中A所含样所含样本点个数本点个数概率论概率论 例例1 掷两颗均匀骰子掷两颗均匀骰子,已知第一颗掷出已知第一颗掷出6点点, 问问 “掷出点数之和不小于掷出点数之和不小于10”的概率是多少的概率是多少? 解法解法1:)()()|(BPABPBAP解法解法2: 2163)|(BAP解解: 设设 A=掷出点数之和不小于掷出点数之和不小于10 B=第一颗掷出第一颗掷出6点点应用应用 定义定义在在B发生后的缩减样本发生后的缩减样本空间中计算空间中计算213

6、66363概率论概率论 由条件概率的定义：由条件概率的定义：P(AB)=P(B)P(A|B) (2)()()|(BPABPBAPP(AB)=P(A)P(B|A) (3) (2)和和(3)式都称为乘法公式式都称为乘法公式, 利用利用它们可计算两个事件同时发生的概率它们可计算两个事件同时发生的概率注意注意P(AB)与与P(A | B)的区别！的区别！概率论概率论 例例2 甲甲, 乙两厂共同生产乙两厂共同生产1000个零件个零件, 其中其中 300件是乙厂生产的件是乙厂生产的. 所求为所求为P(AB).甲、乙共生产甲、乙共生产1000 个个189个个是是标准件标准件300个个乙厂生产乙厂生产300个

7、个乙厂生产乙厂生产设设B=零件是乙厂生产零件是乙厂生产, A=零件零件是标准件是标准件若改为若改为“发现它是发现它是乙厂生产的乙厂生产的,问它问它是标准件的概率是标准件的概率是多少是多少?”求的是求的是 P(A|B) .解解:而在这而在这300个零件中个零件中, 有有189个是标准件个是标准件,现从这现从这1000个零件中任取一个个零件中任取一个,问问这个零件是乙厂生产的标准件这个零件是乙厂生产的标准件的概率是多少？的概率是多少？B发生发生,在在P(AB)中作为结果中作为结果;在在P(A|B)中作为条件中作为条件.概率论概率论 例例3 设某种动物由出生算起活到设某种动物由出生算起活到20年以上

8、的概率为年以上的概率为0.8, 活到活到25年以上的概率为年以上的概率为0.4. 问现年问现年20岁的这种动物岁的这种动物,它能活到它能活到25岁以上的概率是多少岁以上的概率是多少?解解: 设设A=能活能活20年以上年以上，B=能活能活25年以上年以上依题意，依题意， P(A)=0.8, P(B)=0.4所求为所求为 P(B|A) .)()()|(APABPABP5 . 08 . 04 . 0)()(APBPP(A) 与与 P(A|B) 的区别在于两者发生的条件不同的区别在于两者发生的条件不同, 它们是两个不同的概念它们是两个不同的概念,在数值上一般也不同在数值上一般也不同.概率论概率论 .

9、个个事事件件的的积积事事件件的的情情况况乘乘法法定定理理可可以以推推广广到到多多 , 0 , 则则且且为为三三个个事事件件、设设 ABPCBA |. P ABCP C AB P ABP C AB P B A P A , 2, , , , 21并且并且个事件个事件设有设有一般地一般地 nAAAnn , , 0121可可得得则则由由条条件件概概率率的的定定义义 nAAAP 2-2111-2121|nnnnnAAAAPAAAAPAAAP 112213|APAAPAAAP ?0 0221211121WhyAAAPAAPAPAAAPnn，保保证证了了概率论概率论 乘法公式应用举例乘法公式应用举例 例如，

10、一个罐子中包含例如，一个罐子中包含 b 个白球和个白球和 r 个红球个红球. 随机地抽取一个球，观看颜色后放回罐中，随机地抽取一个球，观看颜色后放回罐中， 并且再加进并且再加进 c 个与所抽出的球具有相同颜色的球个与所抽出的球具有相同颜色的球. 这种手续进行四次，这种手续进行四次，试求第一、二次取到白球且第三、四次取到红球的概率试求第一、二次取到白球且第三、四次取到红球的概率. （波里亚罐子模型）（波里亚罐子模型）b个白球个白球, r个红球个红球概率论概率论 于是于是 W1W2R3R4 表示事件表示事件 “连续取四个球，第一、第二个是白球，连续取四个球，第一、第二个是白球， 第三、四个是红球第

11、三、四个是红球. ” b个白球个白球, r个红球个红球随机取一个球随机取一个球, 观看颜色后放回罐中观看颜色后放回罐中,并且再加进并且再加进 c 个与所抽出的球具有相个与所抽出的球具有相同颜色的球同颜色的球.解解: 设设 Wi=第第i次取出是白球次取出是白球, i=1,2,3,4 Rj=第第j次取出是红球次取出是红球， j=1,2,3,4试求第一、二次取到白球且第三、四次取到红球的概率试求第一、二次取到白球且第三、四次取到红球的概率. 概率论概率论 用乘法公式容易求出用乘法公式容易求出当当 c 0 时，由于每次取出球后会增加下一次也取时，由于每次取出球后会增加下一次也取到同色球的概率到同色球的

12、概率. 这是一个这是一个传染病模型传染病模型. 每次发现一个传染病患者，都会增加再传染的概率每次发现一个传染病患者，都会增加再传染的概率.crbcrcrbrcrbcbrbb32=P(W1)P(W2|W1)P(R3|W1W2)P(R4|W1W2R3)P(W1W2R3R4)b个白球个白球, r个红球个红球随机取一个球随机取一个球, 观看颜色后放回罐中观看颜色后放回罐中,并且再加进并且再加进 c 个与所抽出的球具有相个与所抽出的球具有相同颜色的球同颜色的球.概率论概率论 例，一场精彩的足球赛将要举行例，一场精彩的足球赛将要举行, 5个球迷好不容易才搞到一张入场券个球迷好不容易才搞到一张入场券. 大家

13、都想去大家都想去,只好用抽签的方法来解决只好用抽签的方法来解决.入场入场券券5张同样的卡片张同样的卡片,只有一张上写有只有一张上写有“入场券入场券”,其余的什么也没其余的什么也没写写. 将它们放在一起将它们放在一起,洗匀洗匀,让让5个人依次抽取个人依次抽取.后抽比先抽的确实吃亏吗？后抽比先抽的确实吃亏吗？ “先抽的人当然要比后抽的人抽到的机会大先抽的人当然要比后抽的人抽到的机会大. ”概率论概率论 到底谁说的对呢？让我们用概率到底谁说的对呢？让我们用概率论的知识来计算一下论的知识来计算一下, 每个人抽到每个人抽到“入场券入场券”的概率到底有多大的概率到底有多大?“大家不必争先恐后，你们一个一个

14、按次序来，大家不必争先恐后，你们一个一个按次序来，谁抽到谁抽到入场券入场券的机会都一样大的机会都一样大.”“先抽的人当然要比后抽的人抽到的机会大。先抽的人当然要比后抽的人抽到的机会大。”概率论概率论 解解: 我们用我们用 Ai 表示表示“第第i个人抽到入场券个人抽到入场券”, i1,2,3,4,5.显然显然，P(A1)=1/5，P( )4/51A第第1个人抽到入场券的概率是个人抽到入场券的概率是1/5.也就是说，也就是说，因为若第因为若第2个人个人抽到了入场券，抽到了入场券，第第1个人肯定没抽到个人肯定没抽到.也就是要想第也就是要想第2个人抽到入场券个人抽到入场券, 必须第必须第1个人未抽到，

15、个人未抽到，)|()()(1212AAPAPAP212AAA 由于由于由乘法公式由乘法公式 P(A2)= (4/5)(1/4)= 1/5计算得：计算得：iA则则 表示表示“第第i个人未抽到入场券个人未抽到入场券”概率论概率论 )|()|()()()(2131213213AAAPAAPAPAAAPAP同理，第同理，第3个人要抽到个人要抽到“入场券入场券”，必须第必须第1、第、第2个人都没有抽到个人都没有抽到. 因此因此:(4/5)(3/4)(1/3)=1/5继续做下去就会发现继续做下去就会发现, 每个人抽到每个人抽到“入场券入场券” 的概率都是的概率都是1/5.抽签不必争先恐后抽签不必争先恐后.

16、也就是说，也就是说，概率论概率论 5 ,3 ,2 4,设设袋袋中中有有个个红红球球个个黑黑球球个个白白球球试试按按例例 2; 1不放回抽样不放回抽样有放回抽样有放回抽样 两种方式摸球三次两种方式摸球三次 . , 概概率率求求第第三三次次才才摸摸得得白白球球的的每每次次摸摸得得一一球球 解解 1 有放回抽样有放回抽样 , 第一次未摸得白球第一次未摸得白球设设 A , 第二次未摸得白球第二次未摸得白球 B . 第第三三次次摸摸得得白白球球 C 可可表表示示为为第第三三次次才才摸摸得得白白球球则则事事件件. ABC AP, 108 ABP|, 108 ABCP|, 102 APABPABCPABCP

17、| 108108102 . 12516 概率论概率论 2 无放回抽样无放回抽样 AP, 108 ABP|, 97 ABCP|, 82 APABPABCPABCP| 1089782 . 457 概率论概率论 1995 A 抓抓阄阄问问题题年年全全国国足足球球甲甲联联例例赛赛的的最最后后5 5 , 一一队队的的比比赛赛在在成成都都市市四四川川全全兴兴队队与与解解放放军军八八一一轮轮 , 全兴队是否降级的命全兴队是否降级的命这场比赛是关系到四川这场比赛是关系到四川进行进行 30 , , 位同学位同学可西南交大某班可西南交大某班肯定会异常精彩肯定会异常精彩运之战运之战 , , 只只好好采采取取抓抓阄阄

18、的的办办大大家家都都想想去去看看仅仅购购得得一一张张票票 , . , 每人抽每人抽试问试问取取每个人都争先恐后地抽每个人都争先恐后地抽法抽签决定法抽签决定 ? 得此票的机会是否均等得此票的机会是否均等 解解 , 30, 2 , 1, 则则个人抽得球票个人抽得球票第第设设 iiAi 1AP301 率为率为第一个人抽得球票的概第一个人抽得球票的概概率论概率论 率为率为第二个人抽得球票的概第二个人抽得球票的概 2AP 2121AAAAP 2121AAPAAP 210AAP 121| AAPAP 2913029 301 , , 必须在他抽取之前必须在他抽取之前个人要抽得比赛球票个人要抽得比赛球票第第同

19、理同理i , 1 即即事事件件一一起起出出现现个个人人都都没没有有抽抽到到此此标标的的的的 i iiiAAAAPAP121 11121| iiAAAPAAPAP 130129283029 i , 301 . 30, 2 , 1 i . , 301, 即即机机会会均均等等是是各各人人抽抽得得此此票票的的概概率率都都所所以以概率论概率论 有三个箱子有三个箱子, 分别编号为分别编号为1,2,3. 1号箱装有号箱装有1个红球个红球4个白球个白球, 2号箱装有号箱装有2个个红球红球3个个白球白球, 3号箱装有号箱装有3个个红球红球. 某人从三箱中任取一箱某人从三箱中任取一箱, 从中任意摸出一球从中任意摸

20、出一球,求取得红球的概率求取得红球的概率.解解: 记记 Bi=球取自球取自i号箱号箱, i=1,2,3; A =取得红球取得红球A发生总是伴随着发生总是伴随着B1，B2，B3 之一同时发生，之一同时发生，123其中其中 B1、B2、B3两两互斥两两互斥看一个例子看一个例子:概率论概率论 将此例中所用的方法推广到一般的情形，将此例中所用的方法推广到一般的情形，就得到在概率计算中常用的就得到在概率计算中常用的全概率公式全概率公式.对求和中的每对求和中的每一项运用乘法一项运用乘法公式得公式得P(A)=P(B1A)+P(B2A)+P(B3A)31()() ()iiiP AP B P A B 代入数据计

21、算得：代入数据计算得：P(A)=8/15运用加法公式得到运用加法公式得到:即即 A= B1A+B2A+B3A， 且且 B1A、B2A、B3A 两两互斥两两互斥概率论概率论 定义定义 , , , nBBBES21的的样样本本空空间间为为随随机机试试验验设设 , 如果满足如果满足的一组事件的一组事件是是 E 1 ijB Bij 2SBBBn 21 , , , , , nnBBBBBB2121或或称称为为完完全全事事件件系系则则称称 . 的一个划分的一个划分为为 S: 注意注意 , , , 为样本空间的一个划分为样本空间的一个划分若若nBBB21 , 事事件件组组则则对对每每次次试试验验 , , 中

22、必有且仅有中必有且仅有nBBB21一个事件发生一个事件发生. . , 分分割割成成若若干干个个互互斥斥事事件件的的划划分分是是将将可可见见SS1.概率论概率论 B1B2BnA概率论概率论 1定定理理, SE 的的样样本本空空间间为为设设试试验验nBBB, , 21 , , 则则对对且且的的一一个个划划分分为为n,iBPSi 210 , 恒有恒有样本空间中的任一事件样本空间中的任一事件 A niiiB|APBPAP1 *证明证明 因因为为 ASA nBBBA 21nABABAB 21 并并且且 , , 所以所以jiABABji nABPABPABPAP 21 nnB|APBPB|APBP 11

23、niiiB|APBP12.概率论概率论 niiiB|APBPAP1 . 全全概概率率公公式式, , .AS全全概概率率公公式式的的基基本本思思想想是是: :把把一一个个未未知知的的复复杂杂事事件件分分解解为为若若干干个个已已知知的的简简单单事事件件再再求求解解而而这这些些简简单单事事件件组组成成一一个个互互不不相相容容事事件件组组使使得得某某个个未未知知事事件件与与这这组组互互不不相相容容事事件件中中至至少少一一个个同同时时发发生生故故在在应应用用此此全全概概率率公公式式时时 关关键键是是要要找找到到一一个个合合适适的的的的一一个个划划分分某一事件某一事件A的发生有各种可能的原因的发生有各种可

24、能的原因,如果如果A是由原因是由原因Bi (i=1,2,n) 所引起，则所引起，则A发生的概率是发生的概率是:每一原因都可能导致每一原因都可能导致A发生发生,故故A发生的概率是各原因引起发生的概率是各原因引起A发生概率的总和发生概率的总和,即全概率公式即全概率公式.P(ABi)=P(Bi)P(A |Bi)我们还可以从另一个角度去理解我们还可以从另一个角度去理解全概率公式全概率公式.概率论概率论 由此可以形象地把由此可以形象地把全概率公式全概率公式看成为看成为“由原因推结果由原因推结果, 每个原因对结果的发生有一定的每个原因对结果的发生有一定的“作用作用”,即结果发生的可能性与各种原因的即结果发

25、生的可能性与各种原因的“作用作用”大小有关大小有关.全概率公式表达了它们之间的关系全概率公式表达了它们之间的关系 .B1B2B3B4B5B6B7B8A诸诸Bi是原因是原因B是结果是结果概率论概率论 例例 甲、乙、丙三人同时对飞机进行射击甲、乙、丙三人同时对飞机进行射击, 三人击中的三人击中的 概率分别为概率分别为0.4、0.5、0.7. 飞机被一人击中而击落的概率为飞机被一人击中而击落的概率为0.2, 被两人击中而击落的概率为被两人击中而击落的概率为0.6, 若三人都击中若三人都击中, 飞机必定被击落飞机必定被击落, 求飞机被击落的概率求飞机被击落的概率.设设A=飞机被击落飞机被击落 Bi=飞

26、机被飞机被i人击中人击中, i=1,2,3 由全概率公式由全概率公式则则 A=B1A+B2A+B3A解解依题意，依题意，P(A|B1)=0.2, P(A|B2)=0.6, P(A|B3)=1P(A)=P(B1)P(A |B1)+ P(B2)P(A|B2)+ P(B3)P(A |B3)概率论概率论 可求得可求得为求为求P(Bi ), 设设 Hi=飞机被第飞机被第i人击中人击中, i=1,2,3 将数据将数据代入代入计算得计算得P(B1)=0.36;P(B2)=0.41;P(B3)=0.14. 1123123123P BP H H HH H HH H H 2123123123P BP H H HH

27、 H HH H H 3123P BP H H H P(A)=P(B1)P(A |B1)+ P(B2)P(A|B2)+P(B3)P(A|B3)=0.458 =0.360.2+0.41 0.6+0.14 1即飞机被击落的概率为即飞机被击落的概率为0.458.于是于是概率论概率论 该球取自哪号箱该球取自哪号箱的可能性最大的可能性最大?这一类问题是这一类问题是“已知结果求原因已知结果求原因”. 在实际中更为常见在实际中更为常见, 它所求的是条件概率它所求的是条件概率,是已知某结果发生条件下是已知某结果发生条件下,探求各原因发生可能性大小探求各原因发生可能性大小. 某人从任一箱中任意摸出一球某人从任一箱

28、中任意摸出一球, 发现是红球发现是红球, 求该球是取自求该球是取自1号箱的概率号箱的概率.1231红红4白白或者问或者问:看一个例子看一个例子:贝叶斯公式贝叶斯公式概率论概率论 有三个箱子有三个箱子, 分别编号为分别编号为1,2,3, 1号箱装有号箱装有1个红球个红球4个白球个白球, 2号箱装有号箱装有2红球红球3白球白球, 3号箱装有号箱装有3红球红球. 某人从三箱中任取一箱某人从三箱中任取一箱, 从中任意摸出一球从中任意摸出一球,发现是红球发现是红球, 求该球是取自求该球是取自1号箱的概率号箱的概率 .1231红红4白白?概率论概率论 某人从任一箱中任意摸出一球，发现是红球，某人从任一箱中

29、任意摸出一球，发现是红球，求该球是取自求该球是取自1号箱的概率号箱的概率. 11()(|)( )P B AP BAP A 记记 Bi=球取自球取自i号箱号箱, i=1,2,3; A =取得红球取得红球求求 P(B1|A)1131() (|)() ()kkkP B P A BP BP A B 运用全概率公式运用全概率公式计算计算P(A)将这里得到的公式一般化，就得到将这里得到的公式一般化，就得到贝叶斯公式贝叶斯公式1231红红4白白?概率论概率论 1()() ()(|)()() ()iiiinjjjP ABP B P A BP BAP AP BP A B 该公式于该公式于1763年由贝叶斯年由贝

30、叶斯 (Bayes) 给出给出. 它是在观察到事件它是在观察到事件B已发生的条件下，已发生的条件下，寻找导致寻找导致B发生的每个原因的概率发生的每个原因的概率.ni, 21 贝贝叶叶斯斯公公式式定定理理2 12, , , , 0, nBBBAP A 设设为为样样本本空空间间的的一一个个划划分分为为中中的的任任一一事事件件 且且则则恒恒有有: :贝叶斯公式在实际中有很多应用贝叶斯公式在实际中有很多应用. 它可以帮助人们确定某结果它可以帮助人们确定某结果 (事件事件A) 发生的最可能原因发生的最可能原因.概率论概率论 例例 某一地区患有癌症的人占某一地区患有癌症的人占0.005, 患者对一种试验反

31、应是阳性的概率为患者对一种试验反应是阳性的概率为0.95, 正常人对这种试验反应是阳性的概率为正常人对这种试验反应是阳性的概率为0.04, 现抽查了一个人现抽查了一个人, 试验反应是阳性试验反应是阳性, 问此人是癌症患者的概率有多大问此人是癌症患者的概率有多大?则则 表示表示“抽查的人不患癌症抽查的人不患癌症”. CCC已知已知 P(C)=0.005, P( )=0.995, P(A|C)=0.95, P(A| )=0.04解解:设设 C=抽查的人患有癌症抽查的人患有癌症， A=试验结果是阳性试验结果是阳性，求求 P(C|A).概率论概率论 现在来分析一下结果的意义现在来分析一下结果的意义.

32、.由由贝叶斯公式贝叶斯公式，可得，可得 )|()()|()()|()()|(CAPCPCAPCPCAPCPACP0.1066 2) 检出阳性是否一定患有癌症检出阳性是否一定患有癌症? 1) 这种试验对于诊断一个人是否患有癌症有无意义？这种试验对于诊断一个人是否患有癌症有无意义？04. 0995. 095. 0005. 095. 0005. 0概率论概率论 如果不做试验如果不做试验,抽查一人抽查一人,他是患者的概率他是患者的概率:若试验后得阳性反应若试验后得阳性反应, 则根据试验得来的信息则根据试验得来的信息,此人是患者的概率为此人是患者的概率为:从从0.005增加到增加到0.1066,将近增加

33、约将近增加约21倍倍.1) 这种试验对于诊断一个人是否患有癌症有意义这种试验对于诊断一个人是否患有癌症有意义.P(CA)= 0.1066 P(C)=0.005 2) 即使你检出阳性即使你检出阳性, 尚可不必过早下结论你有癌症尚可不必过早下结论你有癌症, 这种可能性只有这种可能性只有10.66% (平均来说，平均来说，1000个人中大约只有个人中大约只有107人确患癌症人确患癌症), 此时医生常要通过再试验来确认此时医生常要通过再试验来确认. 概率论概率论 P(Bi) (i=1,2,n) 是在没有进一步信息是在没有进一步信息(不知道事件不知道事件A是否发生是否发生)的情况下的情况下, 人们对诸事

34、件发生可能性大小的认识人们对诸事件发生可能性大小的认识.当有了新的信息当有了新的信息(知道知道A发生发生), 人们对诸事件发生可能性大小人们对诸事件发生可能性大小P(Bi |A)有了新的估计有了新的估计.贝叶斯公式从数量上刻划了这种变化贝叶斯公式从数量上刻划了这种变化 在贝叶斯公式中在贝叶斯公式中, P(Bi)和和P(Bi |A)分别称为原因的分别称为原因的 先验概率先验概率和和后验概率后验概率.概率论概率论 P(B) is the prior probability or marginal probability of B. It is prior in the sense that it

35、does not take into account any information about A. P(B|A) is the conditional probability of B, given A. It is also called the posterior probability because it is derived from or depends upon the specified value of A. P(A|B) is the conditional probability of A given B. It is also called the likeliho

36、od. P(A) is the prior or marginal probability of A, and acts as a normalizing constant. () ()(|)()iiiP B P A BP BAP A 概率论概率论 3 , 2 1 1个个白白乙乙盒盒装装有有个个黑黑球球个个白白球球甲甲盒盒装装有有例例 . 1 4 , 2 采采取取掷掷一一骰骰个个黑黑球球个个白白球球丙丙盒盒装装有有个个黑黑球球球球点点选选乙乙盒盒、点点选选甲甲盒盒或或、出出现现子子决决定定选选盒盒 , 5 4 , 3 21 , , , 6经经过过秘秘一一个个球球在在选选出出的的盒盒里里随随机机摸摸出出点点选选丙丙盒盒 , , 求求此此球球来来自自乙乙宣宣布布摸摸得得一一个个白白球球密密选选盒盒摸摸球球后后 . 盒的概率盒的概率 解解 1 , B 设设摸摸出出的的球球来来自自甲甲盒盒 2 , B 摸摸出出的的球球来来自自乙乙盒盒 3 , B 摸摸出出的的球球来来自自丙丙盒盒 , A 摸摸得得白白球球概率论概率论 则则 12