高考数学压轴题30道1-10

1、高考数学压轴题30道1 .椭圆的中心是原点 O,它的短轴长为，相应于焦点()的准线与x轴相交于点，过点的直线与椭圆相交于、两点。(1)求椭圆的方程及离心率；(2)若，求直线的方程；(3)设()，过点且平行于准线的直线与椭圆相交于另一点，证明 .(14分)2 .已知函数对任意实数 x都有，且当时，。(1) 时，求的表达式。(2) 证明是偶函数。(3) 试问方程是否有实数根？若有实数根，指出实数根的个数；若没有实数根，请说明 理由。3.(本题满分12分)如图，已知点 F (0, 1),直线L: y=-2,及圆C:。(1) 若动点M到点F的距离比它到直线 L的距离小1,求动点M的轨迹E的方程；(2)

2、 过点F的直线g交轨迹E于G ，y)、H (&, y?)两点，求证：xx2为定值；(3) 过轨迹E上一点P作圆C的切线，切点为 A、B,要使四边形 PACB的面积S最小, 求点P的坐标及S的最小值。4 .以椭圆=1 (a>1)短轴一端点为直角顶点，作椭圆内接等腰直角三角形，试判断并推证能作出多少个符合条件的三角形.5 已知，二次函数f(x)= ax2+bx+c 及一次函数g(x)=-bx,其中 a、b、cC R, a>b>c, a+b+c= 0.(I)求证：f (x)及g (x ?1南陷，性.象兄两点:(n)设f(x)、g (x)两图象交于A、B两点，当AB线段在x轴

3、上射影为A1B1时，试求A1B1I 的取值范围.6已知过函数f (x)二的图象上一点 B (1, b)的切线的斜率为一3。(1) 求a、b的值；(2) 求A的取值范围，使不等式 f (x) W A1987对于xC -1, 4恒成立；(3) 令。是否存在一个实数 t,使得当时，g (x)有最大值1?7已知两点M (2, 0), N (2, 0),动点P在y轴上的射影为 H, | |是2和的等比中 项。(1) 求动点P的轨迹方程，并指出方程所表示的曲线；(2) 若以点M、N为焦点的双曲线 C过直线x+y=1上的点Q,求实轴最长的双曲线 C的方程。8 .已知数列an满足(1)求数列bn的通项公式；(

4、2)设数列bn的前项和为Sn,试比较与的大小，并证明你的结论.9 .已知焦点在轴上的双曲线C的两条渐近线过坐标原点，且两条渐近线与以点为圆心，1为半径的圆相切，又知 C的一个焦点与 A关于直线对称.(I)求双曲线C的方程；(n)设直线与双曲线 C的左支交于 A, B两点，另一直线经过 M (-2, 0)及AB的中点，求直线在轴上的截距 b的取值范围；(出)若Q是双曲线C上的任一点，为双曲线 C的左，右两个焦点，从引的平分线的 垂线，垂足为 N,试求点N的轨迹方程.10 .对任意都有(I )求和的值.(n)数列满足：二+,数列是等差数列吗？请给予证明；(出)令试比较与的大小.1 (1)解：由题意

5、，可设椭圆的方程为。由已知得解得所以椭圆的方程为，离心率。(2)解：由(1)可得 A (3, 0)。设直线PQ的方程为。由方程组得，依题意，得。设，则，。由直线PQ的方程得。于是。 .,.o由得，从而。所以直线PQ的方程为或(3,理工类考生做)证明：。由已知得方程组注意，解得因，故O而，所以。2 f(x)= (2k 三x三2k+2, k C Z) 略方程在1 , 4上有4个实根3 x2=4y xiX2=-4 P(±2,1)S/iin=4 .解：因a>1,不防设短轴一端点为 B (0, 1)设 BC ： y=kx+ 1 (k>0)贝U AB ： y=-x+ 1把BC .我飞

6、入齿词是(1+a2k2) x2 + 2a2kx= 0|BC|=,同理 |AB| =由|AB|=|BC|,得 k3-a2k2+ka2-1=0(k-1) ：k2+ ( 1- a2) k+ 1 = 0k= 1 或 k?+ ( 1- a2) k+1 = 0当 k?+ ( 1 - a2) k+1 = 0 时，A = ( a2-1) 2-4由 A <0,得 1 v a<由A=O,得a=,此时，k= 1故，由AWO,即1<aW时有一解由A >0即a>时有三解5 解：依题意，知 a、bw。a> b> c H a + b + c= 0a>0 且 cv 0(I )令

7、 f (x) = g (x),得 ax?+2bx+c= 0. (*)A = 4 ( b2 ac). ' a>0, c< 0, ac< 0, A >0.f (x)、g (x)相交于相异两点(n)设X1、X2为交点A、B之横坐标则|AiBi= |X1 X2，由方程(*),知2|AiBi| =而 a>0,4 ：() 2+ 1 ( 3, 12)|AiBi| (, 2)6、解：(1)=依题意得 k=3+2a=3,a= 3,把B (1, b)代入得b=. a= - 3, b= - 1(2)令=3x2 6x=0得 x=0或 x=2,. f (0) =1, f (2) =

8、23-3X 22+ 1 = -3f (- 1) =-3, f (4) =17 .x - 1, 4, - 3<f (x) < 17要使f (x) W A 1987对于x -1,用恒成立，则f(X)的最大值17V A1987 A>2004o(1)已知 g (x)=-,OvxWl, 3w 3x?v0,当 t>3 时，t 3x2>0, g (x)在上为增函数，g (x)的最大值g (1) =t1=1彳导t=2 (不合题意，舍去)当0wtw3时，令=0,得x=列表如下：x(0,)十0一g (x)/极大值g (x)在x=处取最大值+ t=1 . t= v 3 x=v 1当t&

9、lt;0时，V 0, g (x)在上为减函数， g (x)在上为增函数，二存在一个a=，使g (x)在上有最大值1。7、解：(1)设动点的坐标为 P (x,y)则 H (0,y) , , = (- 2-x-y)=(2 x, y)= (- 2x, y) , (2x, - y)=由题意得I PH I 2=2 即即，所求点P的轨迹为椭圆(2)由已知求得 N (2, 0)关于直线x+y=1的对称点E (1, 1),则I QE I = I QN I 双曲线的C实轴长2a=(当且仅当Q、E M共线时取“=”)，此时，实轴长2a最大为 所以，双曲线C的实半轴长a= 又双曲线C的方程式为8. (1)(2)9.解：(I)设双曲线 C的渐近线方程为 y=kx,则kx-y=0 该直线与圆相切， 双曲线C的两条渐近线方程为 y=±x. 2分故设双曲线C的方程为.又双曲线C的一个焦点为一,.，双曲线C的方程为. 4分(n)由得.直线与双曲线左支交于两点，等价于方程f(x)=0在上有两个不等实根.因此 解得.又AB中点为， 直线l的方程为. 6分令x=0,得. 8分(出)若Q在双曲线的右支上，则延长到T,使，若Q在双曲线的左支上，则在上