割圆术及极限方法

1、第三讲割圆术及极限方法1. 实验目的介绍刘徽的割圆术.2 .理解极限概念.3.学习matlab求函数极限命令。1. 实验的基本理论及方法割圆术中国古代数学家刘徽在九章算术注方田章圆田术中创造了割圆术计算圆周率7T.刘微先注意到圆内接正多边形的面积小丁圆面积，其次，当将边数屡次加倍时，正多边形的面积增大，边数愈大则正多边形面积愈近丁圆的面积.割之弥细，所失弥少.割之乂割以至丁不可割，则与圆合体而无所失矣”这几句话明确地表明了刘徽的极限思想.刘徽先将直径为2的圆分割为6等分，再分割成12等分，24等分，.，这样继续下去，并利用勾股定理计算其面积，从而求出圆周率的近似值，他一直计算到圆内接正192边

2、形的面积。斐波那奇数列和黄金分割Fo=O,Fi=1Fr=Fgl十Fr>-23 琼+12.学习matlab命令.matlab求极限命令可歹U表如下:表2.1数学运算matlab命令lim)limit(f)Limf(x)at*ft、limit(f,x,a)或limit(f,a)limf(r)耳Tfl.limit(f,x,a,'left')limf(x)limit(f,x,a,'right'matlab代数方程求解命令solve调用格式.Solve(函数了(隹)给出丁(*)=。的根.4 .理解极限概念.数列枷收敛或有极限是指当怕无限增大时，如与某常数无限接近或加

3、趋向丁某一定值，就图形而言，也就是其点列以某一平行与独轴的直线为渐近线.例2.1.观察数列许十1J当mtco时的变化趋势.解:输入命令:>>n=1:100；xn=n./(n+1)n得到该数列的前100项，从这前100项看出，随门的增大，伫+1与1非常接近，画出如的图形.stem(n,xn)或fori=1:100;plot(n(i),xn(i),'r')holdonend其中for-end语句是循环语句，循环体内的语句被执行100次,n(i)表示n的第i个分量.由图可看出，随门的增大，点列与直线=1无限接近，因此可得结论：lim=1.对函数的极限概念，也可用上述方法理

4、解.例2.2.分析函数血=*七，当xt口时的变化趋势.解:画出函数f(H)在一LU上的图形.>>x=-1:0.01:1;y=x.*sin(1./x);plot(x,y).1从图上看，*气随着"I的减小，振幅越来越小趋近丁0,频率越来越高作无限次振荡.作出V=士善的图象.holdon；plot(x,x,x,-x)例2.3.分析函数旭)=史七当工t0时的变化趋势.解:输入命令:>>x=-1:0.01:1;y=sin(1./x);plot(x,y)1.一.一人.sin，一、.从图上看，当时，工在-1和1Z间无限次振荡，极限不存在.仔细观祭该图象，发现图象的某些峰值不

5、是1和-1,而我们知道正弦曲线的峰值是1和-1、一.am一.一1,这是由丁自变重的数据点选取未必使攵取到1和-1的缘故，读者可试增加数据点，比较它们的结果.例2.4.考察函数'一工当工t0时的变化趋势.解:输入命令:>>x=linspace(-2*pi,2*pi,100);y=sin(x)./x;plot(x,y)smx从图上看，二"在x=0附近连续变化，其值与1无限接近，可见jsmclim=1例2.5.考察雷/当HT8时的变化趋势.解:输入命令:>>x=1:20:1000;y=(1+1./x).Ax;plot(x,y)从图上看，当时，函数值与某常数无

6、限接近，我们知道，这个常数就是5.求函数极限例2.6.求地(土土)解:输入命令:>>symsx;f=1/(x+1)-3/(xA3+1);limit(f,x,-1)得结果ans=-1画出函数图形.>>ezplot(f);holdon;plot(-1,-1,F.')ianxjmx例2.7.求li】二:宴-»oy解:输入命令:>>limit(tan(x)-sin(x)/xA3)得结果:ans=1/2例2.8.求:：'.%TX1/解:输入命令:>>limit(x+1)/(x-1)Ax,inf)得结果:ans=exp(2)lim例2.9.求一一*解:输入命令:>>limit(xAx,x,0,right')得结果: