分别是正弦余弦正切余切正割余割

1、分另u是正弦余弦正切余切正割余割角9的所有三角函数（见：函数图形曲线）在平面直角坐标系xOy中，从点O引出一条射线OP,设旋转角为。，设OP=r,P点的坐标为（x,y）有正弦函数sin0=y/r余弦函数cos0=x/r正切函数tan0=y/x余切函数cot0=x/y正割函数sec0=r/x余割函数csc0=r/y（斜边为r,对边为y,邻边为x。）以及两个不常用，已趋于被淘汰的函数：正矢函数versin0=1-cos0余矢函数covers0=1-sin0正弦（sin）:角a的对边比上斜边余弦（cos）:角a的邻边比上斜边正切（tan）:角a的对边比上邻边余切（cot）:角a的邻边比上对边正割（s

2、ec）:角a的斜边比上邻边余割（csc）:角a的斜边比上对边编辑本段同角三角函数间的基本关系式:平方关系：sinA2a+cosA2a=11+tanA2a=secA2a1+cotA2a=cscA2a积的关系：sina=tanaxcosacosa=cotaXsinatana=sinaxsecacota=cosaXcscaseca=tanaxcscacsca=secaXcota倒数关系：sinacsc蚌1cosa-sec1商的关系：sina/cosa=tana=seca/cscacosa/sina=cota=csca/seca直角三角形ABC中，角A的正弦值就等于角A的对边比斜边，余弦等于角A的邻边

3、比斜边正切等于对边比邻边，1三角函数恒等变形公式两角和与差的三角函数：cos(a+p)=cosa-cos-sina-sin3cos(a-p)=cosa-cosp+sina-sinpsin(a士p)=sina-cosp士cosa-sinptan(a+p)=(tana+tanp)/(1tanatanp)tan(a-p)=(tanatanp)/(1+tanatanp)三角和的三角函数：sin(a+p+y)=sina-cosp-cosy+cosa-sinp-cosy+cosa-cos;in侦sinsin3sin丫cos(a+p+丫)=cosa-cosp-cc-sqsa-sinp-sinsina-cos

4、p-si-sina-sinp-cos丫tan(a+6+丫)=(tana+tanp+tan-tana-tanp-tan丫-啊a-tanganp-tan-tan丫-tana辅助角公式：Asina+Bcosa=(A²+B²)人(1/2)sin(a+arctan(B/A),其中sint=B/(A²+B²)人(1/2)cost=A/(A²+B²)人(1/2)tant=B/AAsina-Bcosa=(A²+B²)人(1/2)cos(a倍角公式：-t),tant=A/Bsin(2a)=2sina-cosa=2/(tana+cot

5、a)cos(2a)=cos²(a)-sin²(a)=2cos²(a)-1=1-2sin²(a)tan(2a)=2tana/1-tan²(a)三倍角公式：sin(3a)=3sina-4sin³(a)=4sina-sin(60+a)sin(60-a)cos(3a)=4cos³(a)-3cosa=4cosa-cos(60+a)cos(60-a)tan(3a)=tana-tan(兀/3+a)-tan(兀/3-a)半角公式：sin(a/2)=V(-cosa)/2)cos(a/2)=士/(1+cosa)/2)tan(a/2)=士/(-1

6、cosa)/(1+cosa)=sina/(1+cosa)=(1-cosa)/sina降藉公式sin²(a)=(1-cos(2a)/2=versin(2a)/2cos²(a)=(1+cos(2a)/2=covers(2a)/2tan²(a)=(1-cos(2a)/(1+cos(2a)万能公式：sina=2tan(a/2)/1+tan²(a/2)cosa=1-tan²(a/2)/1+tan²(a/2)tana=2tan(a/2)/1-tan²(a/2)积化和差公式：sina-cosp=(1/2)sin(a+p)+sin-po)c

7、osa-sinp=(1/2)sin(a+-sin(a-6)cosa-cos3=(1/2)cos(a+3)+cos(琲)sina-sin&(1/2)cos(a+3-cos(a-3)和差化积公式：sina+sinp=2sin(a+p)/2cos(-3)/2sina-sinp=2cos(a+6)/2sin(-用)/2cosa+cos3=2cos(a+0)/2cos(-3)/2cosa-cos6=-2sin(a+p)/2sin(-回)/2推导公式tana+cota=2/sin2atana-cota=-2cot2a1+cos2a=2cos²a1-cos2a=2sin²a1+sin=(

8、sin/2+cos/2)²其他：sina+sin(%+2兀/n)+sin(%+2兀*2/n)+sin(%+2兀*3/n)+sin(%+2兀*(n1)/n=0cosa+cos(a+2兀/n)+cos(a+2兀*2/n)+cos(a+2兀*3/n)+cosa+2兀*(n-1)/n=0以及sin²(a)+sin²(a-2兀/3)+sin²(a+2兀/3)=3/2tanAtanBtan(A+B)+tanA+tanB-tan(A+B)=0cosx+cos2x+.+cosnx=sin(n+1)x+sinnx-sinx/2sinx证明：左边=2sinx(cosx+co

9、s2x+.+cosnx)/2sinx=sin2x-0+sin3x-sinx+sin4x-sin2x+.+sinnx-sin(n-2)x+sin(n+1)x-sin(n-1)x/2sinx(积化和差)=sin(n+1)x+sinnx-sinx/2sinx=右边等式得证sinx+sin2x+.+sinnx=-cos(n+1)x+cosnx-cosx-1/2sinx证明：左边=-2sinxsinx+sin2x+.+sinnx/(-2sinx)=cos2x-cos0+cos3x-cosx+.+cosnx-cos(n-2)x+cos(n+1)x-cos(n-1)x/(-2sinx)=-cos(n+1)x

10、+cosnx-cosx-1/2sinx=右边等式得证三倍角公式推导sin3a=sin(2a+a)=sin2acosa+cos2asina=2sina(1-sin²a)+(1-2sin²a)sina=3sina-4sin³acos3a=cos(2a+a)=cos2acosa-sin2asina=(2cos²a-1)cosa-2(1-sin²a)cosa=4cos³a-3cosasin3a=3sina-4sin³a=4sina(3/4-sin²a)=4sina(V3/2)²-sin²a=4sina(

11、sin²60-sin²a)=4sina(sin60+sina)(sin60-sina)=4sina*2sin(60+a)/2cos(60-a)/2*2sin(60-a)/2cos(60+a)/2=4sinasin(60+a)sin(60-a)cos3a=4cos³a-3cosa=4cosa(cos²a-3/4)=4cosacos²a-(V3/2)²=4cosa(cos²a-cos²30)=4cosa(cosa+cos30)(cosa-cos30)=4cosa*2cos(a+30)/2cos(a-30)/2*-2si

12、n(a+30)/2sin(a-30)/2=-4cosasin(a+30)sin(a-30)=-4cosasin90-(60-a)sin-90+(60+a)=-4cosacos(60-a)-cos(60+a)=4cosacos(60-a)cos(60+a)上述两式相比可得tan3a=tanatan(60-a)tan(60+a)编辑本段三角函数的诱导公式公式一:设a为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等：sin(2k兀+a)=sinacos(2k兀+a)=cosatan(2k兀+a)=tanacot(2k兀+a)=cota公式二：设a为任意角，兀+a的三角函数值与a的三角函数值之间的关系:s

13、in(Tt+a)二二一sinacos(Tt+(X):=cosatan(ti+a)二二tanacot(Tt+a)二二cota公式三：任意角a与-a的三角函数值之间的关系：sin(a)=sinacos(a)=cosatan(a)=tanacot(a)=cota公式四：利用公式二和公式三可以得到兀-a与a的三角函数值之间的关系:sin(Tta)=sinacos(Tt-a):=cosatan(7t-a)二=tanacot7ta)二=cota公式五.利用公式一和公式三可以得到2兀-a与a的三角函数值之间的关系:sin(2兀一a)=sinacos(2兀一a)=cosatan(2兀一a)=tanacot(2

14、兀一()=cota公式六：兀/2士吸3兀/2士a与a的三角函数值之间的关系：sin(兀/2+a)=cosacos(兀/2+a)=sinatan(Tt/2+a)=cotacot(Tt/2+a)=tanasin(兀/2a)=cosacos(Tt/2a)=sinatan(Tt/2a)=cotacot(Tt/2a)=tanasin(3兀/2+a)=cosacos(3兀/2+a)=sinatan(3兀/2+a)=cotacot(3兀/2+a)=tanasin(3兀/2a)=cosacos(3兀/2a)=sinatan(3兀/2a)=cotacot(3兀/2a)=tana(以上kZ)补充：6X9=54种诱

15、导公式的表格以及推导方法(定名法则和定号法则)f(3)f(6八3Jsinpcosptanpcotpsecpcscp360k+asinacos济tanacotasec济csc济90-acos济sinacotatanacsc济sec济90+acos济-sina-cota-tana-csc济sec济180-asina-cos济-tana-cota-sec济csc济180+a-sina-cos济tanacota-sec济-csc济270-a-cos济-sinacotatana-csc济-sec济270+a-cos济sina-cota-tanacsc济-sec济360-a-sinacos济-tana-c

16、otasec济-csc济a-sinacos济-tana-cotasec济-csc济定名法则90的奇数倍+a的三角函数，其绝对值与a三角函数的绝对值互为余函数。90的偶数倍+a的三角函数与a的三角函数绝对值相同。也就是奇余偶同，奇变偶不变”定号法则将a看做锐角（注意是看做”），按所得的角的象限，取三角函数的符号。也就是象限定号，符号看象限”比如：90+a。定名：90是90的奇数倍，所以应取余函数；定号：将a看做锐角，那么90+a是第二象限角，第二象限角的正弦为负，余弦为正。所以sin（90+a）=cosa,cos（90+由=-sina这个非常神奇，屡试不爽编辑本段三角形与三角函数1、正弦定理：在

17、三角形中，各边和它所对的角的正弦的比相等，即a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R.（其中R为外接圆的半径）2、第一余弦定理：三角形中任意一边等于其他两边以及对应角余弦的交叉乘积的和，即a=ccosB+bcosC3、第二余弦定理：三角形中任何一边的平方等于其它两边的平方之和减去这两边与它们夹角的余弦的积的2倍，即aA2=bA2+cA2-2bccosA4、正切定理(napier比拟)：三角形中任意两边差和的比值等于对应角半角差和的正切比值，即(a-b)/(a+b)=tan(A-B)/2/tan(A+B)/2=tan(A-B)/2/cot(C/2)5、三角形中的恒等式：对于任意非直角三角形

18、中，如三角形ABC,总有tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC证明：已知(A+B)=(兀-C)所以tan(A+B)=tan(兀-C)则(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)=(tan兀-tanC)/(1+tan兀tanC)整理可得tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC类似地，我们同样也可以求证：当a+p+丫=nTt(正Z)时，总有tana+tanp+tan丫=tanatanptan丫编辑本段部分高等内容高等代数中三角函数的指数表示(由泰勒级数易得)：sinx=eA(ix)-eA(-ix)/(2i)cosx=eA(ix)+eA(-ix)/2tanx=eA

19、(ix)-eA(-ix)/ieA(ix)+ieA(-ix)泰勒展开有无穷级数，eAz=exp(z)=1+z/1!+zA2/2!+zA3/3!+zA4/4!+-+zAn/n!+-此时三角函数定义域已推广至整个复数集。三角函数作为微分方程的解：对于微分方程组y=-y;y=y，有通解Q,可证明Q=Asinx+Bcosx,因此也可以从此出发定义三角函数。补充：由相应的指数表示我们可以定义一种类似的函数一一双曲函数，其拥有很多与三角函数的类似的性质，二者相映成趣。角度a0304560901801.sina01/2v,2/2V3/2102.cosa1V3/2V2/21/20-13.tana0V3/31V3

20、/04.cota/V31/3/30/(注：7为根号)编辑本段三角函数的计算藉级数c0+c1x+c2x2+.+cnxn+.=Ecnxn(n=0.00)c0+c1(x-a)+c2(x-a)2+.+cn(x-a)n+.=Ecn(x-a)n(n=0.)这种级数称为藉级它们的各项都是正整数藉的藉函数，其中c0,c1,c2,.及a都是常数，数.泰勒展开式(藉级数展开法):f(x)=f(a)+f(a)/1!*(x-a)+f(a)/2!*(x-a)2+.f(n)(a)/n!*(x-a)n+.实用藉级数：ex=1+x+x2/2!+x3/3!+.+xn/n!+.ln(1+x)=x-x2/3+x3/3-.(-1)k

21、-1*xk/k+.(|x|1)sinx=x-x3/3!+x5/5!-.(-1)k-1*x2k-1/(2k-1)!+.(-x)cosx=1-x2/2!+x4/4!-.(-1)k*x2k/(2k)!+.(-8x)arcsinx=x+1/2*x3/3+1*3/(2*4)*x5/5+.(|x|1)arccosx=兀-(x+1/2*x3/3+1*3/(2*4)*x5/5+.)(|x|1)arctanx=x-xA3/3+xA5/5-.(x1)sinhx=x+x3/3!+x5/5!+.(-1)k-1*x2k-1/(2k-1)!+.(-x)coshx=1+x2/2!+x4/4!+.(-1)k*x2k/(2k)

22、!+.(-00x)arcsinhx=x-1/2*x3/3+1*3/(2*4)*x5/5-.(|x|1)arctanhx=x+乂人3/3+乂人5/5+.(|x|1)在解初等三角函数时，只需记住公式便可轻松作答，在竞赛中，往往会用到与图像结合的方法求三角函数值、三角函数不等式、面积等等。傅立叶级数(三角级数)f(x)=a0/2+E(n=0.00)(ancosnx+bnsinnx)a0=1/兀/(兀-.兀)(f(x)dxan=1/兀/(兀-.兀)(f(x)cosnx)dxbn=1/兀/(兀-.兀)(f(x)sinnx)dx三角函数的数值符号正弦余弦正切第一，二象限为正,第一，四象限为正第一，三象限为正第三，四象限为负第二，三象限为负第二，四象限为负编辑本段三角函数定义域和值域sin(x),cos(x)的定义域为R,值域为-1,1tan(x)的定义域为x不等于兀/2+k兀，值域为Rcot(x)的定义域为x不等于k兀，值域为R编辑本段初等三角函数导数y=sinx