元分析学测验答案

1、2012级一元分析学1-3章测验题答案m1.求数集E=一：mn,m,nZ十的上确界，并用定义加以证明.（8上确界为1.（2分）下面证明之.因为0:m:n,所以寸券E有X0X=0处可导.(4分)对任意的X。#0,因为limD（x）不存在，所以mf（x）不存在（否则，假设f(x)Alimf(x)=A,贝UlimD(x)=lim=,矛盾),XX0XJX0x改XX从而f（X）在X0处不连续，不可导.（注：也可用导数定义，通过取有理数列和无理数列得到证明）故，f（x）仅在X=0处可导.（8分）3.求下列极限（不能用洛比达法则）.（每小题6分，共24分）（注：计算题过程对答案错，仅扣1分；答案对但无过程，

2、得3分）1lim（1n2n川2012n）n.n_.1解：lim(1n+2n+2012n)n=2012(用迫敛性).n_；i：:2cos2x-1.2x2=lim22xx02xxe1x0xe-1=lim22x22=1.xWx2x2o(x2)解：limex+e2x+川+enx*0n)1,1ex+e2x+enx*i1ex+e2x+enx=limexpln=explim(xT0n)Txn-1)x2x.nx1ee-en_()nx(4)=expln(12n)所以1因为0：n2ln(n!)=ln1(1ln2+lnn)且lnn2n)n毕n一，lim9nnn2ln(n!)-=0,lim(n!)nj：-0=e=1.

3、4.设f(x)在0,*c)上连续，且f(x)芝0,limf(x)=0.证明：f(x)在0,十勺上有最x_.大值.(10分)证：若f(x)三0,则0是其最大值，结论成立.(2分)若存在x0芝0使得f(x)A0,贝U存在XA0使得VxAX有f(x)f(x).(4分)因为f(x)在区间林上连续,存在W,X使得的=方)(6分)由寸xX有f(x)f(x0)知x0击0,X,且fG)=maxf(x)占f(x0)af(x)xE0,X(WxaX).故f(*)=maf(x),f(x)在0,e)上有最大值.(10分)bbx2j5.以0苴b壬1,x=,xn=222(n=2,3,)，证明数列xn收敛并求其极限.(10分

4、)证：由数学归纳法得到一bxi一乂3-x2n二一-0,x2三乂4三*2n,2即奇数列与偶数列都为单调有界数列(且其单调性相反)，从而收敛.(4分)令limx2n】=:,n-nmx2n则由xn=b?(n=2,3,)知:b-b口=一一，F=.两式相减，碍到(0-日)(1一)=0.(6分)22222.-.2.2.:.又，两式相加得到十臼=b-1,推出1#0.故a=P,数列收敛(8分)一,b且由a=一一得到口=Jb+11.(10分)226.证明：若函数f(x)在a,b上连续，对a,b上任意两个有理数r1,r2且ri艮有f(ri)f(r2),则f(x)在a,b上单调增加.(8分)证：任取(a,b)内的两

5、实数t1,t2且t1t2,可取有理数列XnwUo(t1，土4)c(a,b),2ob-tiyU(t2,)c(a,b)使XnTti,ynTt2(nT8).则x”y”，从而由已2知得到f(xn)f(yn)(VnwN.(5分)由连续性和Heine定理，以及极限的保不等式性质知：f(t)=limf&Mlimf(yn)=f(t2).(8分)n)：n:.当t1,t2为a,b的两个端点时，同理可证f(t1)壬f(t2)(若t1=act2b或at1t2=b，无此括号中的说明不扣分).综上知：f(x)在a,b上单调增加.(10分)7.设函数f(x)在有限区间a,b上连续，且x，x2，xn是这个区间内的任意点.证明

6、：M在(a,b),使得f(与=f(xk).(8分)nkm证：记uh1，f(xk)且不妨x=minx，x2，xn,xn=maxx，x2，xn,x-0,于是0,使当xXoJXo2xUo(Xo,S)时，有If(x)|A|一号=母.(2分)再由limf(x)=A,V0,0,使当xwU(xo,&)时，有|f(x)-A|0，由1L|x1-x2|全x2|乂以2|_4|x1-x2卜：；1(x，x2w(,1)知，取&=时4,则当x，x2w(1/2,1满足|xx2K&2.(61 .1,1一，|f(x1)-f(x2)|x0存在0,Vd0，存在xsUo(x0,&),使得|f(x)A|N&0.于是对n*N+取1n1._

7、.5=，得到数列xn肴U(x,)，洒足Imn=x但|f(x”)一A|芝服.这表明数列f(xn)不以A为极限，与f(冷)的极限都为A相矛盾.证毕.证：首先定义f(x)=f(a)(x在(a1,a)和f(x)=f(b)(x在(b,b+1).(无此步不扣分)因为f(x)在a,b上连续，所以Wx在a,b,存在6x使当yU(x,8x)时，有_&_|f(y)-f(x)|.于是开区间集合H=U(x,W):x在a,b为闭区间a，b的一22个覆盖.由有限覆盖定理，存在其一个有限子覆盖x、xfxH=U(xj,j):j=1,2，m(m为一正整数).取6=min1,室,，二,j2222则、.0.*现任取s,t=a,b满足|stK&.由于H是a,b的一个覆盖，所以存在某、jj0