MATLAB--水塔流量的估计

1、水塔水流量的估计摘要:数学建模方法是处理科学理论的一种经典方法，也是解决各类实际问题的常用方法。本文采用曲线拟合的方法，并利用数学软件MATLAB对水塔流量进行计算,计算结果与实际记录基本吻合。关键词：建模，流量，拟合，MATLAB1 .问题重述美国某州的各用水管理机构要求各社区提供用水率以每小时多少加仑计，英制单位下，1加仑，美制单位下，1加仑以及每天所用的总用水量，但许多社区并没有测量流入或流出当地水塔的水量的设备，而只能以每小时测量水塔的水位代替，其精度在0.5%以内。更为重要的是，无论什么时候，只要水塔中的水位下降到某一最低水位L时，水泵就启动向水塔重新充水直至某一最高水位H,但也无法

2、得到水泵的供水量的测量数据。因此，在水泵正在工作时，不容易建立水塔中水位与水泵工作时用水量之间的关系。水泵每天向水塔充水一次或两次，每次大约2小时。试估计在任何时候，甚至包括水泵正在工作白时间内从水塔流出的流量ft,并估计一天的总用水量。水塔是一个垂直圆柱体，高为40英尺，直径为57英尺。卜表给出了某个小镇某一天的真实数据:表1某小镇某天的水塔水位1m=3.281英尺时间秒水位英尺时间秒水位英尺时间秒水位英尺035932水泵工作:68535331639332水泵工作7185466353943575021106194331879154水泵工作139374663682649水泵工作17921499

3、5385968212405393689953252235725493270285436057432284645542 .问题分析数据的单位转换:表2时间h水位m时间h水位m时间h水位m069水泵工作1088水泵工作411991310.49981水泵工作36水泵工作4573131419029218.52009.3904798771141流量是单位时间流出的水的体积，由于水塔是正圆柱形，横截面积是常数，在水泵不工作的时段，流量很容易从水位对时间的变化率算出，问题是如何估计水泵供水时段的流量。水泵供水时段的流量只能靠供水时段前后的流量拟合得到，作为用于拟合的原始数据，我们希望水泵不工作的时段流量越准

4、确越好。这些流量大体可由两种方法计算：一是直接对表2中的水位用数值微分算出各时段的流量，用它们拟合其它时刻或连续时间的流量。二是先用表中数据拟合水位-时间函数，求导数即可得到连续时间的流量。一般说来数值微分的精度不高，何况测量记录还是不等距的，数值微分的计算尤其麻烦。下面我们用第二种方法处理。有了任何时刻的流量，就不难计算一天的总用水量。其实，水泵不工作时段的用水量可以由测量记录直接得到，如表2可知从t=0至It=8.97(h)水位下降了9.6769-8.2201=(m),乘以水塔的截面积就是这一时段的用水量。这个数值可以用来检查拟合的结果。3 .模型假设供水时段的假设水泵第1次供水时段为t=

5、9到t=11(h),第2次供水时段为t=2到t=23(h)。这是根据最低和最高水位分别是和及表2的水位测量记录作出的假设。其中前3个时刻取自实测数据精确到，最后1个时刻来自每次供水约两小时的已知条件从记录看，第2次供水时段应在有记录的之后不久结束。水泵工作时单位时间的供水量基本为常数，这个常数大于单位时间的平均流量。流量是单位时间流出水的体积，这里假设流量是对时间的连续函数，即hht。为简化处理，不影响问题的解决，假设流量与水泵是工作无关。由于水塔截面积是常数S，为简单起见，计算中将流量定义为单位时间流出的水的高度，即水位对时间变化率的绝对值水位是下降的，最后给出结果时再乘以S即可。即：dh（

6、t）水位对时间的变化率（流量）：hdt任何时刻的流量：fthtS4 .流量估计拟合水位-时间函数从表2测量记录看，一天有两个供水时段以下称第1供水时段和第2供水时段和3个水泵不工作时段（以下称第1用水时段t=0至L第2用水时段到和第3用水时段t=23以后）。对第1、2用水时段的测量数据分别作多项式拟合，得到水位函数hihit和h2h2to为使拟合曲线比较光滑，多项式次数不要太高，一般用36次。由于第3时段只有3个测量记录，无法对这一时段的水位作出比较好的拟合，可采用外推的方法解决。确定流量-时间函数对于第1、2用水时段，只需将水位函数hihit,i1,2求导数即可，对于两个供水时段的流量，则用

7、供水时段前后水泵不工作时段的流量拟合得到，并且将拟合得到的第2供水时段流量外推，将第3用水时段流量包含在第2供水时段内，需要拟合四个流量函数。一天的总用水量总用水量等于两个水泵不工作时段和两个供水时段用水量之和，它们都可以由流量对时间的积分得到。ttVVdtShdttoto5 .算法设计与计算结果拟合第1、2时段的水位，并得出流量1第1时段的流速设t、h为已输入的时刻和水位测量记录，实现如下：t=0,0.92,1.84,2.95,3.87,4.98,5.90,7.01,7.93,8.97,10.95,12.03,12.95,13.88,14.98,15.90,16.83,17.94,19.04

8、,19.96,20.84,23.88,24.99,25.91;h=,10.8199,10.4998,10.2103,9.9573,9.6190,9.3904,9.1801,8.9211,8.6620,8.4334,8.2201,10.5913,10.3292,10.1798;f1=polyfit(t(1:10),h(1:10),5);%用5次多项式拟合第1用水时段水位h1h1t，f1输出5次多项式的系数b1=polyder(f1);%b1输出多项式系数为fl导数的系数，给出水位变化率tm1=0:0.01:8.97;%将第一用水时段0,细分g1=-polyval(b1,tm1);渔1输出多项式b

9、l在tm1点的函数值(取负后边为正值),即tm1时刻的流量(水位下降的速率)。2第2时段的流速实现如下：f2=polyfit(t(11:21),h(11:21),5);%用5次多项式拟合第2用水时段水位水位h2h2t，f2输出5次多项式的系数b2=polyder(f2);%b2输出多项式系数为f2导数的系数，给出水位变化率tm2=10.95:0.01:20.84;%将第二用水时段10.95,20.84细分g2=-polyval(b2,tm2);渔2输出多项式b2在tm2点的函数值(取负后边为正值)，即tm2时刻的流量(水位下降的速率)第1、2用水时段(水位变化率)曲线图:拟合供水时段的流量1在

10、第1供水时段t=911之前即第1用水时段和之后第2用水时段各取儿点,其流量已经得到，用它们拟合第1供水时段的流量。为使流量函数在t=9和t=11连续,只取4个点，拟合5次多项式即曲线必过这4个点。拟合5次多项式，实现如下：q1=-polyval(b1,7.93,);须第1时段在t=,的流量q2=-polyval(b2,1,12.03);%B第2时段在t=1,12.03的流量dx=7.93,1,12.03;dy=q1,q2;%等四个点合并d=polyfit(dx,dy,5);%以合5次多项式ex=:0.01:1;%等第一供水时段8.9细分ey=polyval(d,ex);%ey俞出第一供水时段各

11、时刻的流量在第2供水时段之前取两点的水流量，在该时刻之后第3用水时段仅有3个水位记录，我们用差分得到流量，然后用这4个数值拟合第2供水时段的流量。实现如下：dt3=diff(t(22:24);%R后3个时刻的两两之差dh3=diff(h(22:24);%ft后3个水位的两两之差dht3=-dh3/dt3;%t(22)和t(23)的流量差商代替微商t3=19.96,20.84,t(22),t(23);烟第2供水时段前后各两点a=-polyval(b2,t3(1:2),dht3);%t得t3各时刻的流量h=polyfit(t3a5);%拟合5次多项式mx=20.84:0.01:24.00;%等第2

12、供水时段和第3用水时段细分my=polyval(h,mx);%my俞出第2供水时段外推至t=24各时刻的流量第1供水时段，第2供水时段和第3用水时段(水位变化率)曲线图：口 口 口 三一皂餐HP笫1供才:小鼠的力位夹由扫鼠医1J.595101时间由)第二供«时段和第二用水叶质打水位变讹面统团 0 2502II 150 I0 05020,52121.52222.52323.5211-时间也）天的总用水量的估计第1、2用水时段和第1、2供水时段流量的积分之和，就是一天总用水量。虽然诸时段的流量已表示为多项式函数，积分可以解析的算出，这里仍用数值积分计算。1第1用水时间段的用水量：t1V1

13、V1 dttot1tot1ShdtSJRt Sh其中积分值h1 通过梯形公式计算:t1tkn 小dt t %dttok 1 tk 1h1（tk1）h（tk）2计算得出v1363.02722第2用水时间段的用水量:t3t3t3V2V2dtSh2dt S h2dt Sh2t2t2t2t3h2t h2（t）dtt2N tkt h2（t）dtk 1tk 1h2（tk1）h2（tk）计算得出v2647.93563第1供水时间段的用水量:V12l2t V12dtt1t2t1Sh12dtSh12dtSMt1t1t2h12t h2（t）dtt1tkt k 1h12（t）dth12（tk1）%2（tk）2计算得

14、出v12106.39874第2供水和第3用水时段的用水量t4t4t4V3V3dtSh3dtSh3dtSh3t3t3t3htNtkNh3（tk1）h3（tk）h3th3（t）dtth3（t）dtt0k0k1k02计算得出v3146.77175一天总用水量vv1v2v12v31264.1天总用水量的曲线图如下:6流量及总用水量的检验6.1 用水时段流量的检验方法：计算出的各时刻的流量可用水位记录的数据来检验。用水量V1用第1用水时段水位测量记录中下降高度来计算并检验，在第一用水时段水的实际用量为：V1=S*H1类似地，第二用水时段用去的水的高度H2=10.8199-8.2201=,实际用水量为：V

15、2=S*H2让v1、v2与V1、V2比较。6.2 供水时段流量的检验方法：供水时段的用水量加上水位上升值260是该时段泵入的水量，除以时段长度得到水泵的功率单位时间泵入的水量，而两个供水时段水泵的功率应大致相等。第1、2时段水泵的公率可以计算如下：p1=y12*S1)*S/2.001%11供水时段水泵的功率(水量以高度计tm3=20.84:0.01:23.88;g3=polyval(h,tm3);%g3输出第2供水时段各时刻的流量p2=(0.01*trapz(my)+(10.8199-8.2201)*S/2.110惭2供水时段水泵的功率水量仍以高度计计算结果如下表：表4第1、2用水时段的近似总

16、用水第1、2用水时段的实际总用水第1供水时段的水第2供水时段的水里县里泵功率泵功率v1=V1=p1=3p2=3v2=V2=通过算法得出的第1、2用水时段的总用水量与实际的第1、2用水时段的总用水量非常接近，而两个供水时段水泵的功率相当，说明该算法切实可行！7分析由表2可以看出第1、2用水时间段的总用水量、水位下降的高度与实际的总用水量、水位下降高度相差无几。所以数据拟合，数值积分取得精度总够的。由一天总用水量的曲线图可以看出，流量曲线与原始记录基本上吻合，零点到10点钟流量最少，10点到下午3点是用水高峰期。附录部分源代码：)/2)A2*pi;t=0,0.92,1.84,2.95,3.87,4

17、.98,5.90,7.01,7.93,8.97,10.95,12.03,12.95,13.88,14.98,15.90,16.83,17.94,19.04,19.96,20.84,23.88,24.99,25.91;h=,10.8199,10.4998,10.2103,9.9573,9.6190,9.3904,9.1801,8.9211,8.6620,8.4334,8.2201,10.5913,10.3292,10.1798;f1=polyfit(t(1:10),h(1:10),5);b1=polyder(f1);tm1=0:0.01:8.97;g1=-polyval(b1,tm1);f2=p

18、olyfit(t(11:21),h(11:21),5);b2=polyder(f2);tm2=10.95:0.01:20.84;g2=-polyval(b2,tm2);q1=-polyval(b1,7.93,8.97);q2=-polyval(b2,10.95,12.03);dx=7.93,8.97,10.95,12.03;dy=q1,q2;d=polyfit(dx,dy,5);ex=8.97:0.01:10.95;ey=polyval(d,ex);dt3=diff(t(22:24);dh3=diff(h(22:24);dht3=-dh3/dt3;t3=19.96,20.84,t(22),t(23);a=-polyval(b2,t3(1:4),dht3);h=polyfit(t3,a,5);mx=20.84:0.01:24.00;my=polyval(h,mx);y1=0.01*trapz(g1);%第1用水时段用水量(按高度计),为积分步长y2=0.01*trapz(g2);y12=0.