菱形问题分类例析

1、动手操作折菱形折纸是一种既有趣味性， 同时也能培养我们的动手操作能力和思维能力的一种活动，通过折纸可以得到许多美丽的图案，下面就谈谈如何将三角形或矩形的纸片折出一个菱形。一、从三角形纸片中折出菱形例1、将一张三角形的纸片 ABC按照如下的折叠步骤进行折叠：1将三角形的纸片 ABC沿过B点的某条直线折叠，使BC与BA重合，得到折痕与 AC的交点D。2再将三角形的纸片 ABC沿某条直线折叠，使点 B与点D重合，得到折痕与 BA、BC的交点E、F。那么四边形EBFD是菱形。分析：关键利用轴对称的性质得到相应的边等和角等，然后熟练利用菱形的判定进行说理。此题说明四边形EBFD是菱形的方法很多，下面一一

2、予以说明。解：由第一步折叠可知：/ ABD= / CBD，由第二步折叠可知：EF垂直平分BD , BE=DE , DF=BF , OD=OB ,/ ABD= / EDB ./ EDB= / CBD .又/ EOD= / FOBEOD FOB, DE=BF BE=DE=DF=BF .四边形EBFD是菱形四边相等的矩形是菱形.二、从矩形纸片中折出菱形例2、把一张矩形的纸 ABCD按照如下的折叠步骤进行折叠：将矩形的纸片 ABCD沿某条直线折叠，使点 B与点D重合，得到折痕与AD、BC的交点E、F。那么四边形EBFD是菱形。分析：虽然纸片不同，但方法同例1 一样，说明四边形EBFD是菱形的方法还有很

3、多，下面只选一种予以说明。解：由折叠可知： EF垂直平分 BD , BE=DE , DF=BF , OD=OB ,/ EBD= / EDB .四边形 ABCD 是矩形， AD / BC, EDB= / FBD，又：厶 EOD= / FOB , EOD FOB , DE=BF BE=DE=DF=BF .四边形EBFD是菱形四边相等的矩形是菱形.菱形中的计算题在矩形中，常见的计算题有求线段的长， 角的度数，图形的周长与面积等。 菱形作为特 殊的平行四边形问题，平行四边形的性质它都具有，同时还具有它本身所特有的性质， 即菱 形的四条边都相等，菱形的对角线互相垂直， 并且每一条对角线平分一组对角。 下

4、面举例说 明这些性质在解题中的应用。一、求角的度数图1例1、如图1，菱形ABCD的一条对角线 BD长为12cm, 周长为48 cm,求这个菱形的内角的度数。解析：如图1,因为四边形 ABCD为菱形，周长为48 cm,所以 AB=BC=CD=DA=1 2 cm,又假设 BD=12cm,所以 AB=AD=BD所以 ABD为等边三角形，所以/ A=60 ° ,所以又/ ABC= / ADC =120 °，那么/ C=60例 2、如图 2，在菱形 ABCD 中，/ B =Z EAF = 60°, / BAE = 20°,求/ CEF.解析：连结AC.因为/ B

5、= 60°, AB = BC,所以 ABC是等边三角形，所以 AB = AC,/ BAC = 60°因为/ CAF+ / CAE= 60°, / CAE + / BAE = 60°, 所以/ BAE =/ CAF.因为四边形 ABCD是菱形，所以/ BCD = 180°/ B= 120° AC平分/ BCD , 所以/ ACF = 60° 即/ B =/ ACF ,在厶 ABE 和厶 ACF 中，因为/ B = / ACF , AB = AC, / BAE = / CAF ,所以 ABE ACF，所以 AE = AF,因为/

6、 EAF = 60°所以 AEF是等边三角形，即/ AEF = 60°因为/ AEC =/ B+ / BAE = 60°+20° = 80°所以/ CEF = / AEC / AEF = 80° 60° = 20°、求线段的长例3、菱形的周长为20 cm,相邻两角的度数之比为 1 : 2,求菱 形的较短的对角线长。解析：如图3,因为四边形 ABCD为菱形，那么CD / AB，所以/ A+ / ADC=180 °，又/ A: / ADC= 1 : 2，那么/ A=60 °，又因为菱形的四条边相等，

7、即 AB=AD= 5 cm，所以 ABD为等边三角形，图3所以AB=BD=5cm，那么菱形的较短的对角线长为5cm。三、求图形的周长例4、如图4，菱形ABCD的两条对角线 AC、BD的长分别是那么菱形的周长为，面积为解析：由于菱形的两条对角线互相垂直平分，所以OA=12 ,以AB= OA2 OB2 = 122 52 =13，又菱形的四条边都相等,的周长为52。111又菱形的面积为 Smbd+Sabcd= BDX OAi BDX OC= BDX222由此可以得到，菱形的面积等于两条对角线积的一半。24和 10,A四、求图形的面积例5、如图5，菱形ABCD中，AB=4 , E为BC的中点,AE丄B

8、C于E, AF丄CD 于点F, CG / AE , CG与AF交于点H，交AD于点G1求菱形ABCD的面积2求/ CHA的度数解析：1连结AC , / E为BC的中点，AE丄BC, AB=AC ,又菱形的四边相等， AB=BC=AC=4 ,AC二 AE= . AB2 BE2 =2 . 3,菱形ABCD的面积为4X 2.3=8.32因为CG/ AE，又AE丄BC,所以CG丄CD，又可得厶ACD为等边三角形， AF丄CD ,易得/ DAF=30 °，所以/ AHG=60 ° , / CHA=120 °。说明：此题也可以利用 Rt ABO求出BO的长，从而求出 BD长，

9、利用菱形 ABCD的面积是其对角线积的一半，求出菱形的面积。综观上述例题，我们可以看出，菱形的对角线将矩形分成四个等腰三角形和四个全等的 直角三角形，再由特殊角，又可得某些等边三角形， 然后利用等边三角形的性质以及勾股定 理来解决问题。解决菱形问题时，在充分运用它们边、角和对角线的性质同时，还常常把它们转化为等腰三角形和直角三角形中的问题，将等腰三角形和直角三角形的性质和矩形、菱1、如图7,在菱形 ABCD中，不定成立的A四边形ABCD是平行四边形BAC 丄 BDC ABD是等边三角形D/ CAB = Z CAD练习:图7形的性质结合起来进行求解。答案：菱形作为特殊的平行四边形，平行四边形的性

10、质它都具有，同时它还具有平行四边形不具有的性质：四条边都相等，对角线互相垂直，每一条对角线都平分一组对角。所以A、B、D都是正确的， ABD只能是等腰三角形，要是等边三角形，还需增加条件。应选Co菱形“条件追溯型试题赏析这类问题的根本特征是： 针对一个结论，条件未知需探索，或条件增删需确定，或条件正误需判断解决这类问题的根本策略是：执果索因，先寻找结论成立的必要条件，再通过检验或认证找到结论成立的充分条件在“执果索因的过程中，常常会犯的一个错误是不考虑推理过程的可逆与否，误将必要条件当作充分条件，应引起注意现从中考试题中采撷几例，予以分析.1D例1如图1,四边形 ABCD的对角线互相平分，要使

11、它变为菱形，需要添加的条件是 只填一个你认为正确的即可解析：此题是对菱形判定的直接考查，比拟容易，只要对判定方 法熟悉，问题便可迎刃而解.因为四边形 ABCD的对角线互相平分，所以四边形ABCD丄BD.图2例2 如图2,在厶ABC中，AB=AC, D是BC的中点，连结AD, 在AD的延长线上取一点 E,连结BE, CE.1求证： ABE ACE2当AE与AD满足什么数量关系时，四边形ABEC是菱形？并说明理由分析:欲证 ABE ACE,因为AB=AC , AE是公共边，只需证其夹角相等，这可由等腰三角形的三线合一性质得到；(2)假设四边形ABEC是菱形，因为菱形的对角线互相垂直且平分1证明：T

12、 AB=AC,点D为BC的中点/ BAE=Z CAE ,AE=AE ABE ACE SAS2当AE=2AD或AD=DE或DE=1AE时，四边形 ABEC是菱形 2理由如下：/ AE=2AD , AD=DE又点D为BC中点， BD=CD四边形ABEC为平行四形边/ AB=AC四边形ABEC为菱形评注：解这类问题，应从分析题中己有条件，包括从图形中找的条件和结论着手，通 过分析、联想找出结记成立的必备条件，然后根据己知条件，加以补充、完善、验证.趁热打铁：如图，在口ABCD中，AE是BC边上的 高，将 ABE沿BC方向平移，使点E与点C重合，得厶GFC .1求证：BE DG ;2假设 B 60°，当AB与BC满足什么数量关系时，四边形ABFG是菱形？证明你的结论.证明：1：四边形 ABCD是平行四边形， AB CD AE是BC边上的高，且 CG是由AE沿BC方向平移而成. CG丄 AD. AEB CG