小波变换与小波框架

1、小波变换与小波框架小波分析的理论与方法是从Fourier分析的思想方法演变而来的，就象Fourier分析分为积分 Fourier变换和 Fourier级数一样，小波分析也分为( 积分 ) 小波变换和小波级数两部分， ( 积分 ) 小波变换的主体是连续小波变换，正尺度小波变换和 s- 进小波变换；而小波级数的主体部分是关于小波框架的理论 小波分析理论深刻，应用广泛，并且仍在迅速发展之中本文是作者作为初学者，就小波分析这一理论中比较基本和初步的东西所作的一点归纳和整理， 其实，有许多结论已经或明或暗的出现于许多文献中了， 只是作者觉得它们叙述得不够适合初学者，尤其是不适合没有工程应用背景的人，这是

2、因为小波分析象Fourier分析一样，起初都是由应用数学家， 物理学家和工程师们发展起来的本文所得结论比较初步， 所用方法基本上属于泛函分析中的一些基本内容，只是稍微需要一点关于拓扑群的知识和 Fourier 分析的基础知识本文仅考虑 Hilbert空间 L2(R) 及其闭子空间中的小波变换和小波框架等问题本文主要考虑的问题是： L2(R) 上的连续小波变换，正尺度小波变换和s- 进小波变换，以及L2(R) 中的小波框架， 因为平移框架在小波框架中具有重要作用， 所以也考虑了L2(R) 的闭子空间中的平移框架事实上，通常的小波分析所研究的问题，在一维情形，概括地说，是研究实直线R 上的仿射群

3、R*×R 及其子群和子集在L2(R) 上的酉表示 U 所诱导的 L2(R)( 有时是其闭子空间 ) 中的函数的积分变换的性质及应用下面作稍具体的一点解释：首先，变换上的仿射变换，所有这样的变换全体做成个群，记为和凡 xB 1（。 m，幻儿 mE二，bE 用是 XxR的子群，（丹 xRh 一U习，巴 nf 小 1；左 0，mE凤 n 二厂 I 是 R宇 XR的一忏集丞它不是群分别作定义在集合Rx B，H x R；Ri x R 和（ H x R 一上的 ilbert空间L（R x R， dd1）上（ H x R ，a i ）aa） WIZ（L）一 Hgjh 。zDgj C L （B）；

4、Vj C凤且 z、八幻 P co和尸（厂 xz）它们在一维小波分析中有重要作用·JcZR ：R在 L旧 J 上有如下的酉表示U：U：R X B B（LZ（R）（ a 三 a） v （ o？：z（s） z （ s）f v （a，）j T6 j 这里（ Tbj ）（x） j（ b）。（D。j ）（。） Ial j （xal ，子群 R “x B 和 R x B以及子集口” X Rk。在 U 作用下得到各自的表示，由这些表示得到下面四个线性算子：Wb： LZ（R）一 LZ （ R X B ；问一Zdnda），、I一、 1、11 O。 r 卜一十卜卜广： W卜 A 广 Qa0多矿 oa Da

5、l 2 八 D eWb：L L X R；Q deo），。、1、1、矿 2 一 DIpeapW。I ：W。IIQ ，DI IlllQ Zhl ide QU叱： L（ R）一 WI（L）f叱 j ：（叭 j （J，仙。二隅 V（。，6。二·叶：尸（印 L 勺 zX 引jH叱人 叫j （， I 。，n。Z（ m（。”，。”。川m，。Z本文中，把使得Wb为连续且有连续逆的hEL旧）称为允许小波，若h为允许基小波，则称Wb 为连续小波变换同样，把使得WK和WI连续且有连续逆的h 分别称为正尺度小波和卜进小波，而相应的叮和W分别称为正贩小波变换和卜进小波变扳本文中把Wb，们和WI统称为小波变换恤是相应的矗小波），而把使得叱（正文中没有明确出现）觑且有连续逆的 hCL旧）称为框架小