电动力学习题解答2

1、1,别离变量法的实质是A.利用高斯积分面求定解.B,利用电荷分布求定解.C.利用平面镜像求定解.D,将偏微分方程转换为常微分方程,再利用边界条件求定解.2*.在均匀外电场Eo中放置半径为R.的导体球,1导体球上接有电池,与地保持电势差60;使用别离变量法求空间电势分布15分.；解：1以球心为坐标原点,以外电场Eo方向建立球坐标系,当导体上接有电池,与地保持电势差.时.以地为电势零点.此题的定解问题；御=0口TrD-EoRcosuIr尺=中0其中既是未置入导体球前,坐标原点的电势.由于此问题具有轴对称,从绮=0得通解*£aR+黑Pncose,R之Ron=0R根据边界条件确定积分常量：先

2、由*rtc-o-EoRcOS日得o-EoRcosf=,anRnFn(cosu)n=0a.=°a-Eoan=0(n=0,1)二中=Q-EoRcos+Z与P,(cosH)(R>Ro)nR再由中R=Ro=R得%氏=打-EoRoCOS8+J*Pn(cos8)=GoR=ro0Dn+1n=0Ro二bn_书口=力00E°R0cosin=0R03二,b0=("J0i0)R0b1-E0R0bn=.(n仁.,1);0.E°Rcos(的Mcos,(RR0)RR2.在均匀外电场Ed中放置半径为R0的导体球,2导体球上带总电荷Q使用别离变量法求空间电势分布.15分解：2建立

3、同样的坐标系；定解问题为：铲呼=0叫3产%-EoRcosB,喉陞6°qQ!ds=-一LsR；0重复第一问的过程,得到=%-EoRcos+(：j0-0)R°岑cosiRR2由条件4得到三2R°Rd'1FR一廿;匚门9°Q)oE°R0-re=R0-E0cos12-23-cos1d1J_R2R3O-一中c也一1R2-E0cos-0-°-2E0cosd1R0r2l-3E0cosd1.1-r2(：J°-0)d1.1R0=-4二Rod10-9;0中0=704二；0Ro代入上式代替6.得QER305=%EoRcos9+十2cos日

4、,R>R4二；oRR4、此题10分均匀介质球介电常数为61的中央置一自由偶极矩pt,球外充满另外一种介质介电常数为S2,求空间各点的电势.解：问题具有对称性,泊松方程的特解是:casjJ4方中亮考虑到0.一1有限行：3P.水pcos5I-FipRc05日+-2仃.+2f号/4月门胡2灯四仁十2营|优3pJ?4ifli+2对口5、本大题总计10分R和R,球中央置一偶极子p,球壳空间导体球壳的内外半径为R和R,球中央置一偶极子p,球壳上带电Q求空间各点电势和电荷分布.空间导体球壳的内外半径为上带电Q求空间各点电势和电荷分布.利r：二Ri,三一"r-R2r->0,M有限;rx,

5、做二口用二斗+£/1月(cos654g)三二二."二一二','二r=R21rPrQPr.Q=T-(py=rRRi<rMR'tr.r出;“"dr4成;9*.接地的空心导体球的内外半径为R/DR2,在球内离球心为a(a<R)处置一点电荷Q,用镜像法求电势分布,导体球上的感应电荷有多少？分布在内表面还是外外表？(15分)解：设B处有电荷Q来代替球壳上感应电荷,在球内产生的场p_RR1一a所以bRi2b二aQ'=-RlQa.cp二1QQR/a"Va2+R2-2Racos0匚2.R4"R7,R-2-21cosi

6、1aa由于求敲及球外电场为零,感应电荷只能分布于内外表,由于RaB区域电场为零故由高斯定理i-TQI+Q=jDds=0所以Qu-Q11*、(此题10分)在接地的导体平面上有一半径为a的半球凸部,半球的球心在导体平面上,点电荷Q位于系统的对称轴上,并与平面相距为b(b>a),用电像法求空间电势.11、解：如图,利用镜像法,根据一点电荷附近置一无限大接地导体平面板和一点电荷附近置一接地导体球两个模型,可确定三个镜像电荷的电量和位置.Q1二Q,r1二b2(6分)2Q114二oR2b2-2Rbcos-R2b22Rbcos-aa4242b,R2»22Rcos-bR22r2Rcos-b2b

7、b2bji(0£"：3,Ra)4分、本大题总计10分真空中有一半径为R的导体球,导体球不接地而带电荷Q,距球心为aa>R处有一点电荷Q求球外电势.解：利用电像法求解.在球内有一个像电荷,b=R2/aQ=-R0Q/a在球心放置一个假想电荷Q-Q,导体球带总电荷为Q,球面为等势面,12瑞.*0+/、3=-+J球外电势为一,-四9、12分一个内外半径分别为R和R的接地空心导体球,在球内离球心为aa<R处置一点电荷Q用镜象法求电势分布.四9、12分解：假设可以用球外一个假想电荷Q'代替球内外表上感应电荷对空间电场的作用,空心导体球接地,球外外表电量为零,由对称性

8、,Q应在球心与Q的连线上2分分考虑球内外表上任一点P,边界条件要求：Q/R+Q'/R'=01分式R为Q到P的距离,R'为Q'到P的距离,因此,对球面上任一点,应有R'/R=Q'/Q=常数1分只要选择Q'的位置,使AOQ'P-AOPQ,那么R'/R=R/a=常数设Q'距球心为b,那么b/R=R/a,gpb=F12/a由23两式得：Q'=RQ/a21QRQ/a4叫Jr2+a2-2Racos8?R2+R4/a2-2R2RcosB/a分导体球壳接地,电势为02分从球壳外外表到无穷远都没有电荷,所以球壳外电势为002

9、分五、12分如下图,电容率为w的介质球置于均匀外电场E0中,设球半径为R,球外为真空,试用别离变量法求介质球内外电势.解：设球半径为R.以球心为原点,以Eo方向为极轴建立球坐标系.以中i代表球外区域的电势,中2代表球内区域的电势,中1、中2均满足拉普拉斯方程,通解为：中1=£；anRnpncose1分中2=£；CnRn+Rnn¥PnCOSB1分由边界条件：EIf=E0,中1|-c=EoRcosH=EoRPcosH1分得：a1=Eo,an=0,n*11分由边界条件：平2|为有限,1分得dn=01分在R=R0处,平1=中2,IcR=2/cR2分将12代入,并比拟Pn的系数,得：；033；0.=E0R0,C1=_E0,bn=Cn=0,n#12分；,2；0；,2；0由止匕,*=-EoRcos"1°巳/产"1分；20R23；0；,2；oE0Rcosi(1分)五、本大题总计10分请推导真空中电磁场波动方程.Vx5=-7x7/=工d2Edtdt7/)=07-5=0-3fVx(Vx£)=Vx£=