第十章10.3第一课时复数的三角形式2019(秋)数学必修第四册人教B版(新教材)改题型

1、10.3复数的三角形式及其运算第一课时复数的三角形式课标要求素养要求1 .了解复数的三角形式,了解复数的代数形式及三角形式之间的关系.2 .会进行复数的代数形式匕二角形式的转化,了解辐角.通过复数的几何意义,了解复数的三角形式,培养学生的逻辑推理素养,提升数学抽象素养；通过复数的代数形式匕二角形式的互化,提升学生的数学运算素养.课前预习知识探究教材知识探究,情度引入通过前面的学习,我们已经知道在复平面内,复数z有两种表示：一是代数表示,即z=a+bi(a,bCR)；二是几何表示,复数z既可用点Z(a,b)表示,也可用向量OZ表示,但代数形式在解决复数乘、除、乘方等问题中还是较为繁琐.问题能否找

2、到复数z的另一种表示,彻底解决复数的乘、除、乘方、开方等问题？提示复数的三角形式z=r(cos0+isin9(.)是解决问题的桥梁.上新知梳理1 .复数的三角形式.复数三角形式的结构特征是：模非负、角相同、余弦前、加号连,否那么不是三角形式一般地,如果非零复数z=a+bi(a,bCR)在复平面内对应点Z(a,b),且r为向量OZ的模,8是以x轴正半轴为始边、射线OZ为终边的一个角,那么r=|z|=/a2b2,arcos0,brsin0,lfijza+bir(cos0lisin9,卜.工l的右称为非零复数z=a+bi(a,bCR)的三角形式(对应地,a+bi称为复数的代数形式),其中的8称为z的

3、辐角.2 .辐角与辐角主值(1)任何一个非零复数z的辐角都有无穷多个,而且任意两个辐角都相差久的整数倍,即辐角为叶2k：tKZ).(2)在0,2冗内的辐角称为z的辐角主值,记作arg_z.教材拓展补遗微判断1 .z=V2cosjisin：是复数z=1-i的三角形式.(x)提示不符合复数三角形式的结构特征.2 .复数0没有三角形式.(X)提示任意复数都有三角形式,复数0的三角形式可写成0(cos叶isin机其中8可以为任意值.3 .复数z=2cos-+isin-6的辐角主值为一康(X),一.,一、,.,.TT.一提小辐角王值在0,2冗内,一6只是一个辐角.微练习1 .说出以下复数的辐角主值.(1

4、)2i;(2)5;(3)-3i.一冗3斛(1)arg(2i)=.(2)arg(5)=兀.(3)arg(3i)=兀.2 .将复数的代数形式化为三角形式.(1)z1=V3+i；(2比=1i._m31一九一九解(1)zi=2-+2i=2cos6+isin6.一22(2)z2=-1-i=V2子乎i5-5=72cos4+isin4.微思考1 .复数三角形式z=r(cos9+isin.中8一定是辐角主值吗？一个复数的三角形式唯一吗？提示复数三角形式中的8不一定是辐角主值,三角形式不唯一.2 .两个复数的模和辐角主值相等是两个复数相等的充要条件吗？提示是.由于一个非零复数的模和辐角主值是唯一确定的,所以两个

5、非零复数相等当且仅当他们的模和辐角主值相等.课堂互动；题会剖析III邮跚!IHHHMI口I川|题型一复数的辐角主值在0,2力内的角,与射线OZ终边相同【例11求以下复数的模和辐角主值.(1)-1+i;(2)3-i.解|T+i|=&,又tan卜一1,点(一1,1)在第二象限,所以arg(1+i)=4(2)|*i|=2,又tan4杀点(由,1)在第四象限,所以arg(V3-i)=16p规律方法适合于0,2冗的辐角的值叫做辐角主值,除0外每个复数有且仅有一个辐角主值,一般先用复数z对应的点Z(a,b)确定角所在的象限,再由tan9b.=:确止在0,2冗肉的角9,即为argz.a3【练习11假

6、设复数z=(a+i)2的辐角是,那么实数a的值是()A.1B.-1C.-亚D.-V3一.3解析复数z=(a+i)2=a21+2ai的辐角为5,那么z对应的点(a21,2a)在ya10,轴负半轴上,.；a=-1.2a<0,答案B题型二复数的三角形式的判断【例2】判断以下复数是否为三角形式.(1)zi=2(cos0+isin肌(2)z2=cos0isin0；(3)z3=sin0+icos0;(4)天=cos60+isin30.0解(1)由r?0知,zi不是三角形式.z2中cos8与isin8之间为减号,不是三角形式.(3)z3中正、余弦位置不对,不是三角形式.(4)不中角不同,不是三角形式.

7、规律方法三角形式z=r(cos叶isin机需要的条件：r?0.8前后一致,可取任意值.cos8在前,sin8在后.加号连接,可简记为：模非负、角相同、余弦前、加号连,此四个条件缺一不可【练习2】判断以下复数是否为三角形式.1111(1)3cosy冗+isin-6"九；(2)28%+1$口3；(3)sin-icos3;(4)cos-3+isin3；(5)3cos2isin?；(6)5cos7r+isin?.3333答案不是(2)不是不是(4)是(5)不是(6)是题型三复数代数形式与三角形式的互化【例3】把复数Z1=i,z2=1+43i分别表示为三角形式一冗冗冗斛|Z1|=1,argz1

8、=argi=2,.Z1=cos2+isin|z2|=q(-1)2+(V3)2=2,tan卜：=一十,一L,2兀又Z2(1,43)在第二象限,.argz2=行,Z2=2coS3t+isin?.规律方法代数形式化为三角形式的步骤为:求复数的模r=|z|；确定Z(a,b)所在的象限；根据象限求出辐角；写出复数三角形式.三角形式中的辐角,不一定是辐角主值,但为使表达式简单,常取辐角主值【练习3】将以下复数化为三角形式(要求辐角为辐角主值).九一九(1)2cosyisiny=-1冗,一一九(2)2cos3+isin3=(3)2sin34t+icosr=口冗(4)2cosy+isiny=答案(1)2cos

9、5T+isin?(2)|cos7j-+isin7九.7k(3)2cos4+isin-(4)2cosy+isin-至更提升核心素养、素养落地1 .通过复数的三角形式的理解及与代数形式的互化,培养逻辑推理素养,提升数学抽象、数学运算素养.2 .任一非零复数z=a+bi(a,bCR)都可化为三角形式z=r(cos0+isin机其中|r|=、a2+b2,复数三角形式的结构特征是：模非负、角相同、余弦前、加号连,有一条不满足就不是三角形式.3 .辐角主值在0,2几内,非零复数的模和辐角主值都是唯一的,但辐角有无数个,复数0的模为0,辐角主值不确定.、素养练习1 .复数一sin50+icos50的辐角主值

10、为(A.50°B.3200C.400D.1400解析sin50+icos502cos(90°+50°)+isin(90+50),.argz=140°.答案D2 .将复数化为三角形式：2+2i=.解析|2+2i|=22,点(一2,2)在第二象限,又tan4一1,arg(2+2i)3兀二1,2+2i=2遮cos1+isin亭.答案22cos3j+isin?冗3 .argico=.解析z=icos5,co$5>0,点0,co*在y轴正半轴,故argi.用=答案2兀一一5兀一4 .将复数z=5cosg+isin化为代数形式为.315.35解析z=52+2i

11、=2+5、答案z二课后作业以后提升根底达标一、选择题1 .复数1<3i化成三角形式,正确的选项是A.2co3t+isin年B.2cos5isin5?C.2coS3t+isin苧11九.11九D.2cos-6-+iSin解析|1i|=2,又1,#在第四象限且tan仁一木,故arg1+,3i=竽所以化成三角形式为28曾+isin55.答案C2 .复数z=sin100平icos100的辐角主值是A.800B.1000C.1900D.2600解析z=sin1004icos100=cos90+100°+isin90书100°,故argz=190°.答案C3 .两个复数

12、z1,z2的模与辐角分别相等是z1=z2成立的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件解析假设Zi=Z2,那么两复数的模相等,但辐角不一定相等.答案A4 .设3+4i的辐角主值为9,那么(3+4i)i-的辐角主值是()九八r九八A.+0B0C. 9-2D.358解析(3+4i)i=4+3i=5.4+3i.又3+4i=5-3+4i,cos43sin44,5555'555一加9,5=cose,.,九一一九一一,一八、一、,冗.5一sin时icos0=5cos2+9+isin2+9.3+411的辐角王值为万+9.答案A5.将复数1+i对应的向量OM绕原点按逆时

13、针方向旋转得到的向量为oMi,那么OMi对应的复数是A.2iB.2iD. .2+2i解析|1+六恒arg1+i=4,.oMi对应复数的辐角主值为热又模为陋,对应复数为也i.答案B二、填空题6.二1+3i的三角形式为要求辐角为辐角主值.解析1-1-/3i1也i-1+V3i-4-4411318河+isin_3".-一2一22一2答案+兴得2=1+多三、解做题9.写出以下复数的三角形式coS4+isin42t2337 .将复数1+,3i所表示的向量绕原点按逆时针方向旋转8角0<0<2冗所得的向量对应的复数为一2,那么仁.解析arg1+爪i=g,arg-2=兀,|1+43i|=2

14、.所以将1+43i所表示的向量逆3时针旋转8=2f,所得向量对应的复数为2.8 .假设复数z满足号=2,argzf1=3那么z=Z2Z3z1解析令一丁=z0,那么zO|=2,argz0=九1冗冗1q3rz13.2=2cos3+ising=4+4i,由-z-=(1)tan9+i声(K兀；(2)<3(sin9-icos0).sin01斛(1)tan时i=cOSl+i=COSl(sin"icos0)13九3九=-cosi8s万T+isin万一0.(2)y3(sin0icos0)冗,九,人cos2+8+isin2+810.复数z=2+3i,z是z的共腕复数,求复数u=ziz的辐角主值与

15、模.解z=2+3i,.z=23i,.u=2+3ii(23i)=2+3i2i3=1+i,u对应的点为(一1,1)在第二象限,又tan8=1,.argu=3%|u|=|1+i|=,2.水平提升11复数z=1ai(a>0)的辐角主值为()A.arctanaB.什arctanaC.-arccos.2D.2arctana解析a>0时,z对应的点(一1,a)在第三象限,tan仁a,卜arctana0,2,-arg(1ai)=Tt+arctana.答案B12.求复数z=1+cos时isin0(武9<2冗的模与辐角主值.解z=1+cos0+isin41+2cos21+2i889Jsin2cos2=2cos2cos?+isin2.九8-tKK2阳2<2(冗,cos2<0.999式右防=-2cos2cos2isin29=2cos2cos.r=-2cos2),0.J九+2+isin升2,9argz=兀+,+2kttKCZ).3,d-.J-2<2<乃2后冗+2<2%一argz=升?创新猜测A