离散型随机变量的方差

1、离散型随机变量的方差1 .方差、标准差的定义及方差的性质(1)方差及标准差的定义：设离散型随机变量X的分布列为XX1X2XiXnPP1P2PiPnn方差D(X)=_(Xi-E(Xl)2P.标准差为,D(X).(2)方差的性质：D(aX+b)=a2D(X).随机变量与样本方差的关系(1)随机变量的方差是常数,而样本的方差是随着样本的不同而变化的,因此样本的方差是随机变量.(2)对于简单随机抽样,随着样本容量的增加,样本的方差越来越接近于总体的方差.因此,我们常用样本的方差来估计总体的方差.2 .两个常见分布的方差(1)假设X服从两点分布,那么以为=P(i-P).(2)假设XRn,P),那么D(X

2、)=np(1-p).O 判断正误(正确的打“,错误的打“X)(1)离散型随机变量的方差越大,随机变量越稳定.()(2)假设a是常数,那么D(a)=0.()(3)离散型随机变量的方差反映了随机变量偏离于期望的平均程度.()答案：(1)X(2)V(3)VX的分布列为X1234P11114364那么口X)的值为()A.29B.詈 C.窈 D.葛1214414412答案：CX的分布列为X012111P333设 Y=2X+3,那么D(Y)=3 随机变量 X 服从二项分布 B(n,p).假设 E(X)=30,D(X)=20,那么 p=-,l、,c、,一np=30,解析：由E(X)=30,RX)=20,可得

3、np(吁 20,一 1解得 p=%3答案：金3探究点 1 求离散型随机变量的方差例国袋中有 20 个大小相同的球,其中记上 0 号的有 10 个,记上n号的有n个(n=1,2,3,4).现从袋中任取一球,士表示所取球的标号.求 E 的分布列、均值和方差.【解】由题意得,己的所有可能取值为 0,1,2,3,4,1011RE=0)=25=2,P(=1)=20,21-3RE=2)=-=,RE=3)=,20102041R 己=4)=20=5.故E的分布列为01234P113122010205所以 E(E)=0X1+1X2+2E(Y,说明在一次射击中,甲的平均得分比乙高,但D(X)D(Y,说明甲得分的稳

4、定性不如乙,因此甲、乙两人技术水平都不够全面,各有优势与劣势.利用均值和方差的意义解决实际问题的步骤(1)比拟均值：离散型随机变量的均值反映了离散型随机变量取值的平均水平,因此,在实际决策问题中,需先计算均值,看一下谁的平均水平高.(2)在均值相等的情况下计算方差：方差反映了离散型随机变量取值的稳定与波动、集中与离散的程度.通过计算方差,分析一下谁的水平发挥相对稳定.(3)下结论：依据均值和方差的几何意义做出结论.跟踪避愫最近,李师傅一家三口就如何将手中的 10 万元钱进行投资理财,提出了三种方案.第一种方案：李师傅的儿子认为：根据股市收益大的特点,应该将 10 万元全部用来买股票.据分析预测

5、：投资股市一年后可以获利 40%也可能亏损 20%(只有这两种可能),且获利的概一,1率为 2；第二种方案：李师傅认为：现在股市风险大,基金风险较小,应将 10 万元全部用来买基金.据分析预测：投资基金一年后可能获利 20%可能损失 10%也可能不赔不赚,且这三种情况311发生的概率分别为 5,定于第三种方案：李师傅的妻子认为：投资股市、基金均有风险,应该将一年,现在存款年利率为 3%.针对以上三种投资方案,请你为李师傅家选择一种合理的理财方案,并说明理由.解：假设按方案一执行,设收益为己万元,那么其分布列为4-211P2211E 的数学期望日 E)=4X+(2)X,=1.假设按方案二执行,设

6、收益为刀万元,那么其分布列为:假设按方案三执行,收益y=10X3 险 0.3,因此E(H=E(Y)y.O1o1又DE)=(41)2X+(21)20(7).这说明虽然方案一、二收益均相等,但方案二更稳妥.所以建议李师傅家选择方案二投资较为合理.1.某离散型随机变量X服从的分布列如下表所示,那么随机变量X的方差QX)等于()X01Pm2m210 万元全部存入银行201P311555刀的数学期望E(T)=2X5+0 x5+(-1)X5=1.1A.91311-、,1222解析：选 B.由题意可知：奸 2F1,所以亦可,所以日 X)=0XK+1XG=K,所以D(X)=0-33333E=12 表布取出的

7、3 张卡片上两张标有 5,一张标有 2,NTTC8C21那么P(己=12)=C=15.所以己的分布列为x3+1-32,23=29.2.A,A为两所高校举行的自主招生测试,某同学参加每所高校的测试获得通过的概1、.,一、,、,一率均为2,该同学一旦通过某所高校的测试,就不再参加其他高校的测试,设该同学通过高校的个数为随机变量X,那么D(X)=(3A.165B.-425C.6419D.64解析：选 A.由于X的取值为 0,1,一、,111RX=0)=2-x 厂 4,1113RX=1)=-+-X-=-,2224133所以 0XfJ+WlMZ,91133X)=16*4+而 X4=记.应选A.3.有 1

8、0 张卡片,其中 8 张标有数字2,2 张标有数字 5,从中随机地抽取 3 张卡片,设 3张卡片数字之和为己,求日己)和D(解：己的可能取值为 6,9,12.七=6 表示取出的 3 张卡片上都标有 2,C87那么 R6)=了=而己=9 表不取出的 3 张卡片上两张标有 2,一张标有 5,C8dC3o=715.6912P7711515T57_7_1_所以 EH)=6Xm+9X 行+12EH)=1,那么口 E)=.5解析：设RE=1)=a,RE=2)=b,1312所以 Dnxg+gxo+D.-2答案：558 .随机变量己的分布列如下,其中a,b,c成等差数列.假设E()=-,那么D(己)的值为31

9、23Pabc所以a+c=2b.又由于a+b+c=1,所以b=q.又由于E()35 一 111=a+2b+3c所以 a=2,b-,c/,所以 E 的分布列为123111解得a+2b=1,3a=,5解析：由于a,b,c成等差数列,P一2365215215215所以口 6)=(13)X/+化-3)x+(3-3)XQ=9-5答案：599 .T的分布列为01020506012121P35157575(1)求刀的方差及标准差；(2)设丫=2 刀一E(刀),求口用.解：(1)E(刀)=0X1+10 x|+20X 工+50E(刀),说明甲平均射中的环数比乙高；又口 E)D(刀),说明甲射中的环数比乙集中,比拟

10、稳定,所以甲的技术比乙好.12.为预防风沙危害,某地决定建设防护绿化带,种植杨树、沙柳等植物.某人一次种植了n株沙柳,各株沙柳成活与否是相互独立的,成活率为p,设己为成活沙柳的株数,数学期望 E(E)=3,标准差 VD(O=坐2049(2)结合第一问中W,T的分布列可得(1)求 n,p的值并写出 E 的分布列；(2)假设有 3 株或 3 株以上的沙柳未成活,那么需要补种,求需要补种沙柳的概率.解：由于每一株沙柳成活率均为p,种植了n株沙柳,相当于做n次独立重复试验,因此 I服从二项分布 ERn,p).3由E(E)=np=3,D(己)=np(1p)=2,11得 1p=2,从而 n=6,P=/.E

11、 的分布列为：0123456P161520156164646464646464(2)记“需要补种沙柳为事件 A,那么P(A)=RW3),1+6+15+206413.(选做题)根据以往的经验,某工程施工期间的降水量X(单位：mm 对工期的影响如下表:降水量XX300300WX700700WX900工期延误天数Y02610历年气象资料说明,该工程施工期间降水量X小于 300,700,900 的概率分别为 0.3,0.7,0.9,求：(1)工期延误天数Y的均值与方差；(2)在降水量至少是 300 的条件下,工期延误不超过 6 天的概率.解：(1)由条件有RX300)=0.3,P(300X700)=R

12、K700)RX300)=0.7-0.3=0.4,R7000X900)=P(X900)RX900)=1-P(X300)=1RX300)=0.7,又 R300WX900)=P(X900)-P(X300)=RK900|X300)=P(300wX300)0.767.故在降水量X至少是 300 的条件下,工期延误不超过口 66 天的概率是-.离散型随机变量的均值与方差(强化练)所以 E 的分布列是卜 60X+240X-=20.15120A4XA21RX=4)=A6=15.随机变量X的分布列为03060240P11247151112011一,7所以曰 E)=30X15(2)由(1)可得,乙一次抽奖中奖的概

13、率是11131万=24,四次抽奖是相互独立的,13所以中奖次数刀B4,24,1311143所以口 P)=4*24*27=144.3.为了丰富学生的课余生活,促进校园文化建设,我校高二年级通过预赛选出了6 个班(含甲、乙)进行经典美文诵读比赛决赛.决赛通过随机抽签方式决定出场顺序.求:(1)甲、乙两班恰好在前两位出场的概率;(2)决赛中甲、乙两班之间的班级数记为X,求X的均值和方差.解：(1)设“甲、乙两班恰好在前两位出场24XXA41那么口内=2=行.为事件 A,所以甲、乙两班恰好在前两位出场的概率为(2)随机变量X的可能取值为 0,1,2,3,4.25A2XA51RX=0)=6-=3,RX=

14、1)=r4XA2XA：415A4XA2XA31RX=2)=A6=5,RX=3)=FA4XA2*A2215X01234此,E(X)=0X77+1x；jT-+2X-+3X+4X=-.315515153一一 1424421420-3+记1-3+52-3+2421421434153 十 1539.4.一家面包房根据以往某种面包的销售记录,绘制了日销售量的频率分布直方图,如图所示.将日销售量落入各组的频率视为概率,并假设每天的销售量相互独立.(1)求在未来连续 3 天里,有连续 2 天的日销售量都不低于 100 个且另 1 天的销售量低于 50 个的概率；(2)用X表示在未来3

15、天里日销售量不低于100个的天数,求随机变量X的分布列,期望E(X)及方差D(X).A 表示事件“日销售量低于 50 个,B表示事件“在未来连续 3 天里有连续 2 天日销售量都不低于 100 个且另 1 天销售量低于 50个.因此RA)=(0.006+0.004+0.002)X50=0.6,RAz)=0.003X50=0.15,RB)=0.6X0.6X0.15X2=0.108.(2)X可能取的值为 0,1,2,3,相应的概率为RX=0)=C3-(1-0.6)3=0.064,RX=1)=C30.6X(10.6)2=0.288,RX=2)=40.62X(10.6)=0.432,RX=3)=C3,

16、0.63=0.216.所以X的分布列为P0.0640.2880.4320.216由于XR3,0.6),所以期望E(X)=3X0.6=1.8,方差D(X)=3X0.6X(10.6)=0.72.5.现有如下投资方案,一年后投资盈亏的情况如下；投资股市投资结果获利 40%不赔不赚亏损 20%概率121838购置基金投资结果获利 20%不赔不赚亏损 10%概率p13q甲、乙两人分别选择了“投资股市和“购置基金进行投资,如果一年后他们中4至少有一人获利的概率大于求p的取值范围；5(2)丙要将家中闲置的 20 万元钱进行投资,决定在“投资股市“购置基金这两种方案中一,1选择一种,p=2,那么丙选择哪种投资

17、方案,才能使一年后投资收益的均值较大？给出结果并说明理由.解：(1)记事件A为“甲投资股市且获利,事件B为“乙购置基金且获利,事彳C为“一年后甲、乙两人中至少有一人投资获利,那么C=ABUABJAB且A,B独立.1由题表可知,P(A)=2,P(B)=p.111114-3所以RC)=P(AB)+P(AB)+RAB)=2X(1p)+2P+5P=2+p5,解得p、又由于 p+；+q=1,q0,所以 pw.33所以p的取值范围是I,2.53(2)假设丙选择“投资股票方案进行投资,且记X为丙投资股票的获利金额(单位：万元),所以随机变量X的分布列为X80一 4P113288那么 E(X)=8x+0 x+

18、(-4)x=.2882假设丙选择“购置基金方案进行投资,且记Y为丙购置基金的获利金额(单位：万元),所以随机变量Y的分布列为Y402P121316那么 E(Y)=4义+0X+(2)X=.2363由于E(X)E(Y),所以丙选择“投资股市,才能使得一年后的投资收益的均值较大.6.某市为了鼓励市民节约用电,实行“阶梯式电价,将该市每户居民的月用电量划分为三档,月用电量不超过 200 度的局部按 0.5元/度收费,超过 200度但不超过 400 度的局部按 0.8元/度收费,超过 400 度的局部按 1.0 元/度收费.(1)求某户居民用电费用y(单位：元)关于月用电量x(单位：度)的函数解析式；(2)为了了解居民的用电情况,通过抽样,获得了今年 1 月份 100 户居民每户的用电量,统计分析后得到如下图的频率分布直方图,假设这 100 户居民中,今年 1 月份用电费用不超过260 元的占 80%求 a,b的值；(3)在满足(2)的条件下,假设以这 100 户居民用电量的频率代替该月全市居民用户用电量的概率,且同组中的数据用该组区间的中点值代替,记Y为该居民用户 1 月份的用电费用,求Y的分布列和数学期望.解：(1)当 0WXW200 时,y=0.5x；当 200400 时,