直线的倾斜角与斜率

1、课题直线的倾斜角与斜率教学目标掌握倾斜角和斜率的概念，掌握倾斜角和斜率的关系。教学内容一、目标认知1 .了解直线倾斜角的概念，掌握直线倾斜角的范围；2 .理解直线斜率的概念，理解各倾斜角是9Q"时的直线没有斜率；3 .已知直线的倾斜角（或斜率），会求直线的斜率（或倾斜角）；人匕4 .掌握经过两点心（瓦，见和耳（必）的直线的斜率公式：，厂公（工产乙）;5 .熟练掌握两条直线平行与垂直的充要条件二、5用识要点梳理知识点一：直线的倾斜角也J平面直角坐标系中，对于一条与工轴相交的直线，如果把X轴绕着交点按逆时针方向旋转到和直线重合时所转的最小正角记为a,则4叫做直线的倾斜角.规定：当直线和I

2、轴平行或重合时，直线倾斜角为u,所以，倾斜角的范围是u<ci<.要点诠释：1 .要清楚定义中含有的三个条件直线向上方向；轴正向；小于180°的角.2 .从运动变化观点来看，直线的倾斜角是由X轴按逆时针方向旋转到与直线重合时所成的角3 .倾斜角&的范围是口工生4180.当仁士0时，直线与轴平行或与轴重合.4 .直线的倾斜角描述了直线的倾斜程度，每一条直线都有惟一的倾斜角和它对应5 .已知直线的倾斜角不能确定直线的位置，但是，直线上的一点和这条直线的倾斜角可以唯一确定直线的位置.知识点二：直线的斜率也J倾斜角不是90的直线，它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率，常用上表

3、示，即上二tana.要点诠释：1 .当直线'与x轴平行或重合时，Li=0,k=tan0=0;2 .直线与x轴垂直时，3=90°,k不存在.由此可知，一条直线的倾斜角4一定存在，但是斜率k不一定存在.知识点三：斜率公式已知点«(瓦M、月(乐月，且鸟耳与工轴不垂直，过两点脓M、月(孙乃)的直线的斜率公式要点诠释：1 .对于上面的斜率公式要注意下面五点：(1)当X1=X2时，公式右边无意义，直线的斜率不存在，倾斜角4=90。，直线与x轴垂直；(2)k与P1、P2的顺序无关，即Y1,y2和X1,X2在公式中的前后次序可以同时交换，但分子与分母不能交换;(3)斜率k可以不通过

4、倾斜角而直接由直线上两点的坐标求得；(4)当y1=y2时，斜率k=0,直线的倾斜角fl=0°,直线与x轴平行或重合；(5)求直线的倾斜角可以由直线上两点的坐标先求斜率而得到.2 .斜率公式的用途：由公式可解决下列类型的问题：pP一(1)由1、2点的坐标求的值;(2)已知上及中的三个量可求第四个量;(3)已知上及后、片的横坐标(或纵坐标)可求(4)证明三点共线.知识点四：两直线平行设两条不重合的直线的斜率分别为上1他.若1他，则4与4的倾斜角tandj=tanffj即占二也.因此,若则加咕.反之,若占二也，则“要点诠释:2成立的前提条件是两条直线的斜率存在分别为3 .当两条直线的斜率都

5、不存在且不重合时，与。的倾斜角都是90。，则""知识点五：两直线垂直设两条直线M的斜率分别为上.若,则小他二例1.如图，直线11的倾斜角G1=30一，直线11_L12，求11、12的斜率。解：11的斜率k1=tan30：=,312的倾斜角a2=90+30=120,，12的斜率k2=tan«2=tan120'=出.例2.(1)已知直线1的倾斜角的变化范围为_.冗冗、匚，一),求该直线斜率的变化氾围;63(2)已知直线1的斜率kW-1,J3),求该直线的倾斜角的范围一.二二、3斛：(1).3=一,一),.tana丁,13).633,k=tanaw_1,3）,:

6、3二二己n）U0,）.43例3.已知汽和k分别是l的倾斜角和斜率，当（1）sin;3二一；cosa二53;（3）53一cosa=一一时，分别求直5线l的斜率k.解：当3.sina时，=0Ea<180，3k=tana=±一.4当31，cosa=9时，<0<a<180，0"<a<90：/,.4-k=tana=_.3当3.”.<.cosa=一§时，<0<a<180,90：:：180'''k=tana=一4-.3要点诠释：i.公式'J4O尢也二T成立的前提条件是两条直线的斜率都存在

7、；2.当一条垂直直线的斜率不存在，另一条直线的斜率为0时，两条直线也垂直.三、规律方法指导国i1,由斜率的定义可知，当4在（09°范围内时，直线的斜率大于零；当口在仅）J的）范围内时，直线的斜率小于零；当罂=0"时，直线的斜率为零；当费二90”时，直线的斜率不存在.直线的斜率与直线的倾斜角（90除外）为一一对应关系，且在口切和叫叫范围内分别与倾斜角的变化方向一致，即倾斜角越大则斜率越大，反之亦然.因此若需在一。3。）或（90J?。,）范围内比较倾斜角的大小只需比较斜率的大小即可，反之亦然.2 .直线的斜率可用于直线的平行（重合）、垂直等位置关系的判断，直线倾斜角的范围、大小

8、的判断、求解及直线方程的求解等.3 .我们在判断两直线的平行与垂直时，往往先判断直线的斜率是否存在，然后再根据具体情况进行判断；4 .判断两直线平行时，易忽略两直线重合的情况，需特别注意；5 .平行、垂直的判断中，斜率不存在的情况易忽略致错，需特别注意三：经典例题透析类型一：倾斜角与斜率的关系由bef与、八、/国已知直线）的倾斜角的变化范围为63,求该直线斜率的变化范围；类型二：斜率定义已知ABC为正三角形，顶点A在x轴上，A在边BC的右侧，/BAC的平分线在x轴上，求边AB与AC所在直线的斜率类型三：斜率公式的应用求经过点A（愉,桢）,M切（威*0,加Ml）直线的斜率并判断倾斜角为锐角还是钝

9、角.直线与方程:一、知识要点：1.倾斜角与斜率2 .直线方程式的5种形式：点斜式、斜截式、两点式、截距式、一般式（注意用前四种方程的条件及一般式与其它形式转化的条件）3 .两条直线平行、垂直的条件（与斜率及系数的关系）4 .距离公式：两点间的距离公式、点到直线的距离公式、两平行直线间的距离公式练习1 .已知直线经过点AQ4）和点B（1,2）,则直线AB的斜率为（）A.3B.-2C.2D.不存在2 .过点（-1,3）且平行于直线x-2y+3=0的直线方程为（）A.x2y+7=0B.2x+y1=0C.x-2y-5=0D.2x+y5=03 .在同一直角坐标系中，表示直线y=ax与y=x+a正确的是(

10、)C4.若直线x+ay+2=0和2x+3y+1=0互相垂直，贝UyO)a=(2A.-3D.3C.-25.过（X1,w）和（X2,y2）两点的直线的方程是（y-yi=x-x1y2-yix2-xiy-y_x-xiy2-yixi-x2C.(y2-yi)(x-xi)-(x2-xi)(y-yi)=0D.(x2-)(x-xi)-(y2-yi)(y-y1)=06、若图中的直线LL2、L3的斜率分别为A、K1<K2<K3B、K2<K1<K3C、K3<K2<K1D、K1<K3<K27、直线2x+3y-5=0关于直线y=x对称的直线方程为（）A、3x+2y-5=0B

11、、2x-3y-5=0C、3x+2y+5=0D、3x-2y-5=08、与直线2x+3y-6=0关于点（1,-1）对称的直线是（）A.3x-2y-6=0B.2x+3y+7=0C.3x-2y-12=0D.2x+3y+8=09、直线5x-2y-10=0在x轴上的截距为a,在y轴上的截距为b,则（）A.a=2,b=5;B.a=2,b=一5;C.a=-2,b=5;D.a=-2,b=-5.10、直线2x-y=7与直线3x+2y-7=0的交点是（）A（3,-1）B（-1,3）C（-3,-1）D（3,1）11、过点P（4,-1）且与直线3x-4y+6=0垂直的直线方程是（）A4x+3y-13=0B4x-3y-1

12、9=0C3x-4y-16=0D3x+4y-8=0二填空题（共20分，每题5分）12.过点（1,2）且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程13两直线2x+3yk=0和xky+12=0的交点在y轴上，贝Uk的值是14、两平行直线x+3y-4=0与2x+6y9=0的距离是。课后作业一、选择题1 .设直线ax+by+c=0的倾斜角为口，且sin+cos"=0,则a,b满足（）_A.ab=1B.a-b=1C.ab=0D.a-b=02.过点P（-1,3）且垂直于直线x-2y+3=0的直线方程为（）.A.2xy-1=0B.2xy。5=0C.x2y-5=0D.x-2y7=03 .已知过点A（2,m）和

13、B（m,4）的直线与直线2x+y1=0平行，则m的值为（）.A.0B.-8C.2D.104 .已知ab<0,bc<0,则直线ax+by=c通过（）_A.第一、二、三象限B.第一、二、四象限.C.第一、三、四象限D.第二、三、四象限一5 .直线x=1的倾斜角和斜率分别是（A.450,1B.1350,-1C.90O,不存在D.180O,不存在_226.右万程（2m+m-3）x+（m-m）y-4m+1=0表布一条直线，则头数m满足（）A.mo0B.3m一23八C. m#1D.m#1,m#,m=02课后检测：一、选择题1 .若直线过点（1,2）,（4,2+道），则此直线的倾斜角是（）A30

14、0B450C600D90°2 .如果直线ax+2y+2=0与直线3x-y-2=0平行，则系数a=A、-3B、-6C、，D、2233 .点P(-1,2)到直线8x-6y+15=0的距离为()A2B1C1D7224 .点M(4,nj)关于点N(n,3)的对称点为P(6,9)，则()Am=3,n=10Bm=3,n=10Cm=3,n=5Dm=3,n=55 .以A(1,3),B(5,1)为端点的线段的垂直平分线方程是(A3x-y-8=0B3x+y+4=0C3x-y+6=0D3x+y+2=06 .过点M(2,1)的直线与x轴，y轴分别交于P,Q两点，且|MP|=|MQ|则l的方程是()Ax-2y+3=0B2x-y-3=0C2x+y-5=0Dx+2y-4=07 .直线mx-y+2m+1=0S过一定点，则该点的坐标是A(-2,1)B(2,1)C(1,-2)D(1,2)（B）垂直（C）相交但不垂直