用矩阵的初等变换求逆矩阵

1、2007年11月16日至18日，有幸参加了由李尚志教授主讲的国家精品课程线性代数（非数学专业）培训班，使我受益匪浅，在培训中，我见识了一种全新的教学理念。李老师的“随风潜入夜，润物细无声”“化抽象为自然”“饿了再吃”等教学理念很值得我学习。作为刚参加工作的年轻教师，我应该在以后的教学中，慢慢向这种教学理念靠拢，使学生在不知不觉中掌握较为抽象的知识。下面这个教案是根据李老师的教学理念为“三本”学生写的,不知是否能达要求，请李老师指教。用矩阵的初等变换求逆矩阵一、问题提出在前面我们以学习了用公式A=1AA求逆矩阵，但当矩阵A的阶数较大时，求A*很繁琐，此方法不实用，因此必须找一种"简单的

2、方法求逆矩阵，那么如何找到一种简单的方法呢?（饿了再吃）二、求逆矩阵方法的推导（“润物细无声”“化抽象为自然”）我们已学习了矩阵初等变换的性质，如1 .定理2.4对mxn矩阵A,施行一次初等行变换，相当于在A的左边乘以相应m阶初等矩阵；对A施行一次初等列变换，相当于在A的右边乘以相应的n阶初等矩阵。2 .初等矩阵都是可逆矩阵，其逆矩阵还是初等矩阵。3 .定理2.5的推论A可逆的充要条件为A可表为若干初等矩阵之积。即RBRAQQQt=E=A=RP2屋REQQ；QjQ1&RRRm4 .推论A可逆，则A可由初等行变换化为单位矩阵。Rm例R2'BA二EKr;V=a由矩阵初等变换的这些性

3、质可知，若A可逆，构造分块矩阵（A|E）,其中E为与A同阶的单位矩阵，那么A（AE）=（A,AA"E）=（EA,）由（1）式A，=Rm1RR代入（2）式左边，R：R.R/（AE）=（EA“）上式说明分块矩阵（A|E）经过初等行变换，原来A的位置变换为单位阵巳原来E的位置变换为我们所要求的A即n2n(EA-1)nM2n三，讲解例题1 .求逆矩阵方法的应用之一-10，求A。(A32解：（AE）=21-1-1r1'2r313310-10130-2-%1J1-2T-1313013130-%-%1四，知识拓展2 .求逆矩阵方法的应用之二即分块矩阵（A|E）经过初等行利用矩阵的初等行变换

4、也可以判断一个矩阵是否可逆,变换，原来A的位置不能变换为单位阵E,那么A不可逆。求A。解:(AE)-1-2-1-14-2-25-2-2-2-4-1000100010001,A不可逆。而上面分块矩阵的第一块第二行全为零，它不可能变换为单位矩阵，所以3 .求逆矩阵方法的应用之三利用矩阵初等行变换解矩阵方程（“润物细无声”）因为求A,就是求解矩阵方对一般的矢I阵方程AX=B求解，我们可以先求A-,然后求X=A-Bo现在我们介绍另外一种方法求矩阵方程。其实在推导求逆矩阵方法的过程就是求解矩阵方程的过程,程刈=E的解，而对一般的矩阵方程AX=B只要将（AE）中的E换成B,然后利用初等行变换，即（AB）t（eA-1B）nx2nn>2n其中的A,B即为所求矩阵方程AX=B的X。1=B,求X。2<3解：(a|b)10T02<000304-1-1513.>110<02'16T0刃<02-2-23-5-600310-20115-9一120-20-2-5-11-1-12)32_3=X=A,B=-2-33)U3-4-9