高中绝对值不等式(精华版)适合高三复习用可直接打印

1、绝对值不等式绝对值不等式|a b|_|a|b|,丨a - b |一| a丨|b |基本的绝对值不等式：|a|-|b| <|a ±b| <a|+|b|y=|x-3|+|x+2| 耳(x-3)-(x+2)|=|x-3-x-2|=|-5|=5所以函数的最小值是5，没有最大值|y|=|x-3|-| x+2| w|(x-3)-( x+2)|=|x-3-x-2|=|-5|=5 由 |y| W5 得-5今W5即函数的最小值是-5，最大值是5也可以从几何意义上理解，|x-3|+|x+2|表示x到3, -2这两 点的距离之和，显然当-2 $ <3时，距离之和最小，最小值是5 ;而|x

2、-3|-|x+2|表示x到3 , -2这两点的距离之差，当x<2时，取最小值-5，当x為 时，取最大值 5变题 1 解下列不等式:(1)| x+1|>2 - x ； (2)| x2 - 2x - 6|<3 x思 路利 用丨 f(x) | <g(x)= -g(x)vf(x)vg(x)和丨f(x) | >g(x)二f(x)>g(x)或f(x)v-g(x)去掉绝对值后转化为我们熟悉的一元一次、一元二次不等式组来处理。解：原不等式等价于 X+1>2 - x或x+1< - (2- x)1 1解得x>2或无解，所以原不等式的解集是 x |x>-原

3、不等式等价于3XVX3x I 1.解不等式(1 )| x-x2-2 | >x2-3x-4 ; (2) |x2二4 仝1解：(1)分析一可按解不等式的方法来解.原不等式等价于：x-x 2-2>x 2-3x-4或 x-x2-2<-(x2-3x-4)解得：1- 2 <x<1+ ' 2解得：x>-3 - 2x - 6<3 x即lx2 _ 2x _ 6 > -3x 1 x2 + x _ 6 > 0g 3)(x _ 2) > 0x2 - 2x- 6 3x x2 - 5x- 6 0(x 1)(x- 6) 02< x<6所以原不等

4、式的解集是x|2< x <6故原不等式解集为 x | x>-3 分析二 *|x-x2-2 | = | x2-x+2 |i 7而 x2-x+2 = (x- 4 )2+ 4 >0所以| x-x2-2 |中的绝对值符号可直接去掉故原不等式等价于 x2-x+2>x 2-3x-4解得：x>-3原不等式解集为 x>-3 3x(2)分析 不等式可转化为-1 w二<1求解，但过程x - 43x较繁，由于不等式 尹匸 < 两边均为正，所以可平方后求解原不等式等价于3xx2 - 4-9x2 <x2-4）2 （x 工±）-x4- 17x2+16

5、初 二 x2 <1 或 x2 羽6=-1< 或 x 羽或 x <4注意：在解绝对值不等式时，若| f(x) |中的f(x)的值的 范围可确定(包括恒正或恒非负，恒负或恒非正 )，就可直接 去掉绝对值符号，从而简化解题过程 .第2变含两个绝对值的不等式变题 2解不等式(1) |x 1|<| x + a| ； (2 )| x-2 |+ | x+3 | >5.思路(1 )题由于两边均为非负数，因此可以利用|f(x)丨丨g(x) u f2(x)g2(x)两边平方去掉绝对值符号(2 )题可采用零点分段法去绝对值求解。解题(1 )由于|x - 1|初,|x+a|初，所以两边平

6、方后有:2 2I x -1| <|X+a|2 2 2即有 x - 2 x+1< x +2 ax+ a，整理得(2a+2)X>1 -1当2a+2>0即a>- 1时，不等式的解为 x> 2 (1 - a )；当2 a +2=0即a = - 1时，不等式无解；1当2 a +2<0即a<- 1时，不等式的解为 x<2(1-a)(2)解不等式丨 x-2 | + | x+3 | >5.解：当 x < -3 时，原不等式化为(2-x)-(x+3)>5 二-2x>6 二 xv-3.当-3<x<2时，原不等式为(2-x)+

7、(x+3)>5 = 5>5无解.当 x 登 时，原不等式为(x-2)+(x+3)>5 = 2x>4= x>2.综合得：原不等式解集为x | x>2或x<-3 .请你试试4 2:1 解关于 x 的不等式 |loga(V x)| |loga(1 x)|(a>0且a工1)解析：易知1< x <1 ,换成常用对数得：ig(i - x) | ig(v x) |lgalg ax)|2 |lg(1 x) |2于是 lg2(x)- lg2(1 x) 0lg(1 - x) lg(1 x)lg(1 - x) - lg(1 x)02 1 _ x.lg(1-

8、x )lg > 01 + x1< x<12/0<1 x2<1g (i x2)<o1 - x1 x1 - X 011 x解得0< x<1_x2 .不等式|x+3|-|2x-1|< +1的解集为解：4 _ x(x 一 1)1 <4x + 2(-3£ x£)|x+3 卜 |2x -1|=2x 4(x 兰 -3)1xx>2当x - 2 时 4x 211x当-3<x< 2 时 4x+2< -+1,x“才当x乞-3时x - 4石1 .X '综上x 彳或x>2故填（八厂71log1 x3+l

9、og3933-x3 .求不等式-1的解集.-(2/ :)。x 。x 。解：因为对数必须有意义，即解不等式组'x>0丄 °，解得° ” x ” 3- xx 。x 。又原不等式可化为Ilog 3 xlog3 3 -x 。（1）当° x T时-log3x log3 3- x - 1log3 3 x log33x3 x 3x综合前提得：°3x -4(2)当 1<x 总 时，即 logsx logs 3 x - log3 3.x2 - 3x 3 - 0(1)当 2 X 3时，logsx- log3 3- x - logs3x 。（2）.x 一

10、3 3 - x综合得原不等式的解集为9X- 4，结合前提得:目*340，3第3变解含参绝对值不等式变题3 解关于x的不等式 x2 - 4mx 4m2 m3思路本题若从表面现象看当含一个根号的无理根式不等 式来解，运算理较大。若化简成 | x - 2m | m 3，则解题过 程更简单。在解题过程中需根据绝对值定义对m 3的正负进行讨论。解题原不等式等价于 | X - 2m | m 3当m，30 即m3 时 ,x - 2m m 3或 x 2m -（m 3）x 3m 3 或 x m 3当 m 3=0 即 m 3 时， |x 6|0/x-6当 m 3 ” 0即 m ” -3时， x R请你试试4 3:

11、2a21 .解关于x的不等式: 分析：本例主要复习含绝对值不等式的解法，分类讨论的思想。本题的关键不是对参数 a进行讨论，而是去绝对值时必须对末知数进行讨论，得到两个不等式组，最后对两个不等式组的解集求并集，得出原不等式的解集。解：当aax-a时，不等式可转化为2即22l9x（x- a）兰 2ai9x - 9ax- 2a 兰 0当a时不等式可化为x aax(a - x) £ 2a2x a即 9x2 - 9ax 2a2a卡2ax 或 x aI 2a 3"7,a_ 363 3故不等式的解集为（八，a3解题解法一 （1）当a o时，不等式的解集是空集。当k >0时，进一步化

12、为k ,依题意有解题解法一 （1）当a o时，不等式的解集是空集。解题解法一 （1）当a o时，不等式的解集是空集。丄一36k 二6=2k4k =3，此时无解。k =3当k=o时，显然不满足题意。解题解法一 （1）当a o时，不等式的解集是空集。解题解法一 （1）当a o时，不等式的解集是空集。64当k<0时，k "X k，依题意有2k 二 k 263k解题解法一 （1）当a o时，不等式的解集是空集。综上，k = 一 2。第4变 含参绝对值不等式有解、解集为空与恒成立问题变题4若不等式|X 4|+|3 - X|<a的解集为空集， 求a的取值范围。思路此不等式左边含有两个

13、绝对值符号，可考虑采 用零点分段法，即令每一项都等于o，得到的值作为讨论的分区点，然后再分区间讨论绝对值不等式，最后应求出解集 的并集，这是按常规去掉绝对值符号的方法求解，运算量较 大。若仔细观察不等式左边的结构，利用绝对值的几何意义 用数形结合方法或联想到绝对值不等式|a + b|<|a|+|b|,便把问题简化。（2）当a>o时，先求不等式|x -4|+|3 -X|< a有解时a的取值范围。令 X - 4=0 得 X=4，令 3 -x=0 得 x=3当X期时，原不等式化为x -4+ x - 3<a，即 2 x -7< aX工47a解不等式组 2x 7广4、x2x

14、 - 7 £ a< 2,.a>i当3< x<4时，原不等式化为4 -x + x -3< a 得 a >1当X <3时，原不等式化为4 -x+3 -x< a 即 7-2 x< ax 乞 37 -a7 - a门解不等式.7- 2x舟a2x乞3 =< 32 ， a>i综合可知，当a >1时，原不等式有解，从而当0<a <1时，原不等式解集为空集。由知所求a取值范围是a <1解法二由|X - 4|+|3 - X|的最小值为1得当a>1时,| X -4|+|3 - x|<a 有解从而当a &l

15、t;1时，原不等式解集为空集。解法三：a>| X - 4|+|3 - x| 耳 X - 4+3 - x|=1当a>1 时,| x -4|+|3 - x|< a有解从而当a <1时，原不等式解集为空集。请你试试44:1. 对任意实数x，若不等式|X+1| - |X 2|> k恒成立，求k的取值范围。思维点拨：要使|X+1|X 2|> k对任意实数x恒成立，只要|X+1| I X 2|的最小值大于k。因|X+1|的几何 意义为数轴上点 X到1的距离,I X 2|的几何意义为数轴 上点X到2的距离，|X+1| |X 2|的几何意义为数轴上点X到一1与2的距离的差，

16、其最小值可求。此题也可把不等式的左边用零点分段的方法改写成分段函数，通过画出图象，观察k的取值范围。解法一 根据绝对值的几何意义，设数 X , 1,2在数轴 上对应的点分别为 P、A、B,贝U原不等式即求|PA| |PB|> k 成立|AB|=3，即 |X+1| | X 2| >-3故当k< 3时，原不等式恒成立-3,x' Tv = 2x TTvx£2解法二令v=ix+1i|x2|，则v 2X !, 1 x 22要使|X+1|X - 2|>k恒成立，从图象中可以看出，只要k< 3即可。故k < 3满足题意2. 对任意实数x,不等式|x+1|

17、+|x-2|>a恒成立，求实数a 的取值范围。分析：经过分析转化，实质上就要求|x+1|+|x-2|的最小值， a应比最小值小。解：由绝对值不等式：|x+1|+|x-2| _|(x+1)-(x-2)|=3 ,当且 仅当(x+1)(x-2) <0,即-V X乞2时取等号。故a<3说明：转化思想在解中有很重要的作用，比如：恒成立问题、定义域为R等问题都可转化为求最大、最小值问题。(在这些问题里我们要给自己提问题，怎样把一般性的问题转化 到某个特殊的值的问题，常问的问题是：要使，只3 .已知a>0,不等式|x-4|+|x-3|va 在实数集R上的解集不是空集，求a的取值范围分

18、析（一）|x-4|+|x-3| _|x-4 （x-3）|=1当|x-4|+|x-3|va 在实数R上非空时，a须大于 |x-4|+|x-3|的最小值，即 a>1（二）如图，实数x、3、4在数轴上的对应点分别为P、A、B则有：y=|x-4|+|x-3|=|PA|+|PB|PA|+|PB| _1恒有 y_1数按题意只须a>1A BPllllll034（四）考虑|z-4|+|z-3|va（z c）的几何意义（五）可利用零点分段法讨论.以上三种情况中任一个均可满足题目要求，故求它们的并集，即仍为a>1.变题：1、若不等式|x-4|+|x-3|>a对于一切实数x恒成立，求a 的取

19、值范围2、若不等式|x-4|-|x-3|<a的解集在R上不是空集，求a的取值范围3、若不等式|x-4|-|x-3|>a在R上恒成立，求a的取值范围第5变绝对值三角不等式问题变 题 5:已 知 函 数2f (x)二 ax + bx+ c (a,bc R)，当 i,i时I f (x) F 1，求证:|b；2 _若 g(x)二 bxax c(a,b,c R)，则当 x 1,1时，求证：|g(x)F2。思路本题中所给条件并不足以确定参数a,b , c的值，但应该注意到：所要求的结论不是b或g(x)的确定值，而是与条件相对应的“取值范围”因此，我们可以用f 、f (0)、 f 1来表示a,b

20、 , c。因为由已知条件得丨f (一 1)F 1 ,I f (0) P 1, I f F 1。解 题 证 明： 由1f 1 二 a b c, f -1 二 a b c= b f1 f - 1 2,从而有1 1|b 卜 2【f 一 f(J)2 2(l f(1)1 I f(1)l)，T f(1)F 1,1 f(-1)卜 1 1|bF 2(l f (1)l I f(-1)l) = 1.由1f 1 = a b c, f 1 = a b c= b f 1 - f - 1 ,21 从而 a = 2【f 1 f -1b f(0)将以上三式代入2g(x)二 bx ax c(a,b,c R)，并整理得2 1 1

21、 |g(x)|=|f(0)(x2-1) J(1)(x 1)-fC1)(V x)|211-|f(0)(x2-1)|2|f(1)(x1)|2|f(1)(x)|211Nf(0)|x2-1|2|f(1 )| x1|2丨f(一1川1一x|2 1 1 21 1-|X2 -1|-|x 1p ?|1 - xF 1 - X2?(X1) -(V xp2-辽2请你试试4 5:. 2 1 .已知函数f(x)=x ， a,b R，且 a - b，求证|f(a)-f(b)|v|a-b|分析：要证| 1 a 1 b2 |a - b|,考察左边, 是否能产生|a-b|。证明：|f(a)-f(b)|=| “ ad b2 |=

22、kb2 |a b| |a-b|Ji + a2 + Vv b2 丨a 丨 + 丨b丨|a|b|a|b|（其中a2'a2 = | a |，同理 1 b2|b|,1 1< r 1 a2 b2|a|b|)咼中不等式习题精选精解一、求取值范围2、已知a b c，且a b0，求c/a的取值范围解：由已知条件，显然 a 0,0b e, a 2c a b c 二 0, a 0, c/ a -1/ 2a b, 2a e a b e = 0,e -2a, a 0, c/a -2综上所述c/a的取值范围是-2,-1/23、正数x, y满足x 2y = 1，求1/x 1/y的最小值。解：1/x 1/y二

23、 1*(1/x 1/y)二(x 2y)(1/x 1/y)二 1 x/y 2y/x 2- 3 2(x/y)(2y/x) = 3 2、2 ( x, y为正数)25、已知函数f (xp ax bx(a 0)满足仁f(-1尸2，2空f(1* 5，求f(-3)的取值范围。解：由习已知得：1乞a 一 b乞2,2乞a b岂5设：m n = 9 m = 3f (-3) = 9a - 3b 二 m(a b) n(a - b)二二Im n= 3 ln= 6f C3p 6* f (一 1) 3* f (1), 1 f (一 3尸 27所以f3）的取值范围是12,27】8、若关于X的方程4x a 2 a V 0有实数

24、解，求实数 a的取值范围。t2 at a V 0在0, *上有解。共有两种情况，一种是有两个根，有一个根（如图所示），由二次函数的图像和是只*，原题转换为求方程解一：设 t = 2X，2X 0, t 02性质，得方程t + at + a + 1二0在（0,+）上有实数解的充要条件为:fA二 a2 - 4(a 1) - 0Fa或f(0) =- 4(a 1)0a V 0f (0p a 10注：两组不等式分别对应两个图解得解得1 a - 2 272或a -1,即a = 2 22解得解得所以a的取值范围是2-22解得解得解二:由方程t2 at a V 0得a1 t-(t 0)函数f (t)二1 t21

25、 t(t 0)的值域就是a的取值范解得解得围。1) - 21 t2- (t21t + 1 一1 t1 t迄 -(22 -2) = 2 - 22所以a的取值范围是,2 22解得解得、解不等式解得解得1、(X2 2x 3解得f(x) - 0解：不等式f (x) lg(x) - 0与g(x) 0 或 g(x)= 0同解，也可以这样理解:符号“一 ”是由符号 >”=“”合成的，故不等式f(x) Jg(x)-O 可转化为 f(x)飞 g(x) 0 或 f (x) 'g(x) = 0。解得：原不等式的解集为'x| x - 3或x二-1X2 3x 22X2 2x 32x 3x 22x

26、一 2x 一 3(x2 - 3x 2)(x2 - 2x - 3尸 02x - 2x - 3 = 0(x T)(x- 2)(x- 3)(x 1)乞 0(x _ 3)(x T) = 0，用根轴法(零点分段法)画图如下：原不等式的解集为x P X空1或2 - x 33、/X2 1 ax T,(a0)解：原式等价于vx V 1 ax- x2 1-1, 1 ax - 1，即 ax - 0 注：此为关键'a 0/ x° .原不等式等价于不等式组x2 V (1 ax)2X - °解得：当° a 1时，原不等式解集为x|° =2a1- a2'当a时，原不

27、等式解集为x| °4、(x- 2)(ax- 2)°解：当a = °时，原不等式化为x2 " °，得x 2 ；2当a °时，原不等式化为(x 一 2)(x - a尸°，得2当o”：a” i时，原不等式化为a-2）（x-a厂0，得2当a = 1时，原不等式化为（x2）当a 1时，原不等式化为（x2）（x；）综合上面各式，得原不等式的解集为:5、关于X的不等式a b 0的解集为1 ，求ax b>x 20的解集。解：由题意得:a R 0，且 a = bax b(ax b)(x 2)0则不等式x 一 2与不等式组 x - 2 =

28、 0同解得所求解集为X|x样一 1或x . 26、已知a 0且a 1，关于X的不等式ax 1的解集1是 xx> 0，解关于X的不等式loga（x X）7 的解集。1 cx 0x1彳x 1x解：关于x的不等式ax > 1的解集是x x> 0,1loga(x - -)0 =X或1 X山或2原不等式的解集是)(1,三、证明题n-1n-1b a+ 2、设a b 0, n为偶数，证明 anbn11 _ (a bn)(a bn_，)a ba 0,bb证：n -1n -1a+nna b当(ab)n0(ab)n n0, (a - bn 1n 1)(a- b )_0 ,n nn-1n-1、(a

29、 - b )(a- b )(ab)nbn"naan"V"-当a,b有一个负值时,不妨设0,即 a |b|.n nn为偶数时，/. (a - b(ab)1> 一 +a-n-1、a 0,b0n 1n 1)(a- b ) - 0n nn-1n T、(a - b )(a- b )(ab)nLTna综合可知，原不等式成立注：必须要考虑到已知条件b 0 ,分类讨论，否n nn-1n-1则不能直接得出(a 一 b )(a_ b ) - o3、求证：'a2 16 /(a- 4)2 36 - , 29证：设向量 P 二(a,4),(4 - a,6),由丨p| |q|丨

30、p q|,得 " Ya2 16 7(a- 4)2 36 J p| |q| - | P q |= |(a,4)(4 - a,6) f|(4,10)F 716 100 二 2、29k注意：当P /q时，即a8 , p二(-8,4), 一 一*q=(-12,6) , p、q方向相同，取等号。当利用公式| p| q| | p - q |证明时，会得：心2一16、,(a-4)2 36 =| p| |q | p- q|=|(a,4) -(a - 4,6) |=|(4, 2)J16 4= 2匕的错误结论，因为这里取等号的条件是p /q，且p、q方向相反，根据题设条件，p/q时，方向相同，故取不到等

31、号，计算的结果也使不等式范围缩小了。4、求证:1221321+2n122132(I 1)12311 11证一：n(n-1)n-1n()原不等式成立，证毕。证二：当n = 2时，原不等式为:2，显然成立;假设当n取k -1时，原不等式成立，即1 f ' 右2亡成立，则1 11 -22321 1 1 12 -(kT)k222 厶2(kT)2 k2 kTk2c k(k-1)1c 11c 1二 2 2 2 -(k-1)k2 (k-1)k2 k (k-1)k2 k，即n取k时原不等式也成立。综上，对于任意n ( n - 2)原不等式成立，证毕。注意：此类证明方法称为数学归纳法25、设f(X)= x - x +13，实数a满足X- a兰1，求证：f (x ) - f ( a) £ 2(|a + 1)证：2 2 2 2| f (x)- f (a) 1= | x