河北衡水中学2021届全国高三第一次联合考试数学试题(含答案和解析)(2020.09)

1、绝密启用前河北衡水中学2021届全国高三第一次联合测试数学本试卷4页.总分150分.测试时间120分钟.考前须知：1 .答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在做题卡上2 .答复选择题时,选出每题答案后,用铅箔把做题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号.问答非选择题时,将答案写在做题卡上.写在本试卷上无效3 .测试结束后,将本试卷和做题卡一并交回.一、选择题:此题共8小题,每题5分,共40分.在每题给出的四个选项中,只有一项为哪一项符题目要求的.1 .设集合,=x|x2-4x+3<0,8=«£2|1<%<5,那么08

2、=A.2B.3C.2,3D.1232 .假设复数z=l-i,那么|工卜1-zA.lB.V2C.2>/2D.43 .某班级要从6名男生、3名女生中选派6人参加社区宣传活动,如果要求至少有2名女生参加,那么不同的选派方案种数为A.19B.38C.55D.654 .数列1,1,2,3,5,8,13,21,34,称为斐波那契数列,是意大利著名数学家斐波那契于1202年在他撰写的?算盘全书?中提出的,该数列的特点是:从第三项起,每一项都等于它前面两项的和在该数列的前2021项中,偶数的个数为A.505B.673C.674D.10105 .非零向量.,力满足|.|=|川,且|"+b|=|2

3、a-b|,那么.与b的夹角为A.-ttB.-C.-D.-32366.为加快新冠肺炎检测效率,某检测机构采取合并检测法,即将多人的拭子样本合并检测,假设为阴性,那么可以确定所有样本都是阴性的,假设为阳性,那么还需要对本组的每个人再做检测.现对20名密切接触者的拭子样本进行合并检测,每份样本的检测结果是阴性还是阳性都是相1 /4互独立的,每人检测结果呈阳性的概率为p,旦检测次数的数学期望为20,那么p的值为1-L2011B.1-()21201±C.1-()202111D.1-()21217 .未成年男性的体理G(单位:kg)与身高(单位:cm)的关系可用指数模型G“常来描述,根据大数据统

4、计计算得到"2.004,5=0.0197.现有一名未成年男性身高为110cm,体里为17.5kg,预测当他体重为35kg时,身高约为Qn2力.69)A. 155cmB. 150cmC. 145cmD. 135cm8 .正方体ABCD-4BCR的棱长为2,M为CG的中点,点N在侧面ADDA内,假设14N.那么48N面积的最小值为A.B.C.1D.555二、选择题:此题共4小题,每题5分,共20分.在每题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,有选错的得.分,局部选对的得3分.9 .cos(a+二)=',贝!Jsin(2a,n)=24八12-12八24A.B.C.D.

5、2525252510 .抛物线C:/=4x,焦点为F,过焦点的直线/抛物线C相交于人为,乂),B(x2fy2)两点,那么以下说法一定正确的选项是A.MB|的最小值为2B.线段四为直径的圆与直线x=相切C.不声为定值D.假设M(-1,0),11 ./(x)是定义在R上的奇函数,其图象关于直线x=l对称,那么A./(x+4)=/(x)B./(x)在区间(-2,0)上单调递增C.f(x)有最大值D.x)=sin号是满足条件的一个函数12 .假设存在实数匕对任意的(o,s,不等式(2x-V_41一_幻0恒成立,那么S的值可以为小-1V?+13-乖3+小A.B.C.D.2222三、填空题:此题共4小题,

6、每题5分,共20分.13 .£,外为双曲线x?-=1的左、右焦点,P为双曲线右支上一点,且|P用=21P6|那么尸耳鸟的面积为.14 .实数."ea+oo,且满足工-与In2,那么*6,而的大小关系是cTba15 .数学多项选择题有ABCQ四个选项,在给出选项中,有多项符合题目要求全部选对的得5分,局部选对的得3分,有选错的不得分.某道数学多项选择题正确答案为B,D,小明同学不会做这道题目,他随机地填涂了至少一个选项,那么他能得分的概率为.16 .在三棱维一彳8.中,PA=4,48=3,二面角P-48-C的大小为30.,在侧面2PAB内含边界有一动点M,满足Af到PA的距离

7、与M到平面ABC的距离相等,那么的轨迹的长度为.四、解做题:此题共6小题,共70分.解容许写出文字说明、证实过程或演算步骤.10分在对任意1,满足S川+Si=2+1,S川一2=S,+勺S=M用一心+1这三个条件中任选一个,补充在下面问题中.问题：己知数列4的前项和为S,诙=4,假设数列an是等差数列,求数列凡的通项公式;假设数列4不一定是等差数列,说明理由.注:如果选择多个条件分别作答,那么按第一个解答计分18. 12分振华大型电子厂为了解每位工人每天制造某种电子产品的件数,记录了某天所有工人每人的制造件数,并对其进行了简单随机抽样统计,统计结果如下：制造电子产品的件数40,50)50,60)

8、60,70)70,80)80,90)90J00工人数1311X41假设去掉70,80内的所有数据,那么件数的平均数减少2到3即大于等于2,且小于3,试求样本中制造电子产品的件数在70,80的人数x的取值范围；同一区间数据用该组区间数据的中点值作代表假设电子厂共有工人1500人,且每位工人制造电子产品的件数XN70产,试估计制造电子产品件数小于等于48件的工人的人数.附:假设XNn,£,那么P一.xW+cr=0.681P-2.xW+2.=0.9619. 12分如图,在四边形ABCD中,力C与8£)相交于点0,OBsin"BD=ODsinZADB乙4BC,AB=3BC

9、=3.3求sinNZMC;2假设ZADC=y,求四边形ABCD的面积.20. (12分)如图,在四棱锥尸-中,底面ABCD为菱形,平面PAC,底面ABCD,PA=PC=AC.(1)证实：4C1PB.(2)假设PB与底面所成的角为45.,求二面角B-PC-A的余弦值.2L12分知椭圆C的焦点在五轴上,并且经过点(0,1),离心率为理(D求椭觊C的标准方程;动直线/与圆.:丁+必=1相切于点“,与椭圆.相交于力,6两点,线段池的中点为D,求OWQ面积的最大值,并求此时点D的坐标.22.(12分)函数/(x)=-xhixe(1)求函数y=/(x)在x=l处的切线方程证实：(i)/(x)<2；(

10、ii)意wN*,广|<(2n-ln/)w.隅；专专詈案及解析河北衡水中学2021届全国高三第一次联合测试数学9.AD【解析】sinpa-1-sin(2a+-|-穴)11.AD【解析】由,工是定义在R上的奇函数得八工=一/一"3图象关于直找X=1对称可得/一工=/2+工所B/2+x=-/<x>/l+上=-/2+i=/J故A正确；无法判断单训性故B.C错误:/Cr=4n5是奇函数旦/2-工=/Q,故D正确.一、选择题1. C【解析】由于A-i|小一41+340>14工?3.8=2,3,4,所以A=2,3.Ii2. B【解析】IIIt=l一i,得六=一=-l-i那么

11、1-CI=-,-i3. D【解析】至少有2名女生参加包括2名女生4名男生与3名女生3名51生两种情况所以不同选派方案种数为C；C：+C：CJ=65.I.B【解析】山斐波那奥数列的特点,可得此数列只有第3A«W、项为偶数所以前2020项中偶数的个效为673.5. C【解析】设.与b的夹角为0由In+川=12.-bl将ab=所以cosJ=；'所以d=g/laIIpIL36. A【解析】假设合并检测检测次数取值为1,21,对应的概率分别为.一.产1一?1一产,较学期里为IX1-少产+21口一1一户户】由2O-1X1-1O+2111?1一?产,解得户=1-阂,.7. C【解析】将工1

12、10,6175代人.2004/川f!117.5-2.OOlenoIMx,l°,将G-35代人62.00,Wmi得35-2.OOieowfM.由/得2即0.0197x-110=In2.Wf!8. B【解析】如图.取DDi的中点为M'易加AM'BM点P为AD的中点,那么在正方形AA.DiD中,A/1AM',CPAiAlBM.所以,点N的轨迹为线段AJ,.易知A8N为直向三角形.当NALAd时.n/c-NA取最小值为争此时AABN面积最小最小值O二选择题-2sin(a+/)cw(q+(").由于CO5以§in(a+5).±卷所以*in(

13、2ak)士得.10.BCD【解析】抛物纹C：/=4,的焦点坐标为1.0,麻线方程为I=一】过焦点的弦中通往最短所以1八8|最小值为2户=4故A不正确,如图,设线段AB中点为D过点.作准纹的垂线垂足分别为Ai,Bi,Di,由抛物线定义可知IAAiI-IAFMBB.IIBFL所映|DDJ?所以以线段AB为真径的网与真线,=-1相切故B正确：设AB所在四线的方程为工=+1,由/工=+1消去工,得y'一4"y-4=0,所以yi=一4皿八=,刀*一1故C正确,乂yi=4y扎»5+1)+%5+1)+A"7TH+J7+1=-5+D5+D-Ji(nyt+2)+%(,Ui+

14、2)2/iyyt+2(i+*)一,一-0,(xi4"l)Crt+l)(xi+IXX2+I)D正确.】2.ABC【解析】不等式2I一工一,1-II&0可化为1一,一工一1?1一八一工,0,同您转化为,存在实数,使得在区间0“上函数3=/一1户与函数了=工的图象恒在直线y=l一,的两他如图画出函数y=1一1尸与函数3=1的图象.y=l,与y=工一1图象的右边交点的横坐标为耳匚.故在区间0.上3上.函数y=Cr-l与函效,="的图象M在直线3=1-,的两解,所以实数§的取值范用为0,誓1即选项ABC符合M意.三、埴空题13.4【解析】由题意相|PF"=

15、2|FJ又IPF.I-1.玛|-2.所联|尸巴|-4/修|-2.又|刊入|275Jr以IPEP+IPF,P=IF,F?P,所以NHPFL方所以Ser/IPF.IIPFJ=4.H.aVabb【解析】由/一/必£得g+Ina点+ln6设/工+,那么,'工21一2了=-一.当6笈.+8时./'0./*在区间存+8上年调递增故.所以a依a15. j【解析】随机地域涂了至少一个选项共有C：+0C+C；+C=15种涂法.得分的涂法为3种.故他能得分的概率为4.16. 当【斛折】如图.过M作MNJ_PA于NMO_L平而ABC于O过O作QQ_LA3于Q连接A7Q那么NMQO为二面角P

16、AH-C的平面"I,由N.MQO30,得MQ=2MO.又MO=MN.所以MQ=2MN,在PA3中.以AB所在直线为“WI.AP所在直线为3,轴建立平面直角坐标系,那么宜线AM的i程为y=2x.fi.tiPB的方程为41+3,-12=0所以出纹AM与PH的交点坐标为所以M的轨迹四、解做题17.解：选择条件：闪为对任意,】5W、.满足Sh+S.t=2S+1.所以S.|-S.=S-St+2.4分所以*一“二2.6分由于无法瑜定力的值.所以八一批不一定等于2.所以数列不一定是等差数列.10分选择条件,illS“|-2=S.+a得S.1-S.-%=2即a“i=2.£N'.6分

17、乂火为心=4所以町=2.所以数列%是等差数列其公差为2.8分因此数列腐.的通项公式为.=2.10分选界条件,闪为St=a.|一勿+13所以Sw-i=-la.一一92分两式相减得mi.一一】a.一2即a.j6=2储,2.6分又S1=.2-29即uT-d=2»所以a.1-a.=2WN,乂.2=4,.一=2所以2.所以数列是以2为百项.2为公心的等洋数列,8分所以.=2+2“-1=2.10分18 .解：1由密理,当=0时计算其他数据的平均数为-X45XI+55X7+65X11+85X9+95X2-70,故原平均数应满足71W弋乎iV72.3分30十工用得7.5<x<20.xZ.

18、所以件数在70.80的人数的取值范画为84IV20.xEZ.6分2由于件数XN7010'.所以PX50<1-0.96Xy=0.02>9分所以估计I500人中每天制造产品件数小于等于50的人数为0.02X1500-30.112分19 .解：1在ZXABC中NABC=gA3=3,BC=l,由余弦定理得AC1=Alf:+HC2-2AHXIiCXcosZ4/iC-3:4-l2-2X3XlXy-7,所以AC=b.2分由正弦定理得;囱1 /ns«CsinZABC2历二八、sinZBAC-it；-n-.4分AC"14在AOR中,由正弦定理得一寸=七号而.5inHACs

19、inNAI即Oli3inZ4BD-O/MNBAC,同叫在/£"中.ODsinZADB=OA$hNDAC.又由于OBsinZzlBD=ODMnZrlDB.所以OAsinZBAC-O4sinZDAC.所以sin/DAC=sii】NHAC=-77.6分2在ADC中,由正弦定理得白3寸=,»nZ.DACsinZ/A/X即所以CD=L8分721叵TFT.人八.AD2+CD'-AC2又由余弦定理得cokNADC=2ADCD,即一;.吗:A二7.解得AD=2.10分Sn心也3P.Sax+S»ncXADXACXsinZDAC+yABXACXsinZBAC=yAC

20、XsinNDACXAD+AB-T-12分420 .1证实：连接小,交AC于O,由于底面八BCD为菱形.所以ALBD.I分内为PA=C,O为AC的中点,所以人CJ.P52分又川nPO=O,3DU平面PBD.POU平面PHD.所以AUL平面PHD.4分乂P3U平面PHD.所以AC±Pli.5分2斛：由于PA=PCO为AC的中点.所以POLAC.乂平胤,八C1底前ABC",平而PACD底向AllCDAC.POU平面PAC.所以ABCD.所以出.OC.OP两两垂忆6分以O为坐标原点分别以OB.OCOP所在直线为“y轴,建立如下图空间直角坐标系.-5/,与底而所成的角即为NPBO-4

21、5.所以OB=OP.谀OP=V3MX：=1.OH=73,所以B73.O.O,CO,1.O.PO,O.V3.AO>-KO,7JF=->/3,0.73.BC=-V3.1.0.7分设平面山,C的一个法向fit为那么,俞=0；1一".+痒=0.|/>/3?-0.-TTn+jO,令11得nl行,139分乂平面APC的一个法向员为m=Ga00?10分ftjp./内内7375所以cos<mn>-1rr=一一二丁.ImHnl75XV35又由于二面角aPCA为我角.所以二面角iP&A的余弦值为咯.12分O21 .解：1没拥阴C的标准方程为彳+冬=1a>>0ab由题意得,6-1,工当.闪为/=所+/.(2分)所以所以膈1时C的标准方程为(十力=1.(4分)(2)设动直线I的方程为I=<y+(加#0).由直线,与阴.相切得-J4J=1即M=,M+】.(5分)x-9ny+illrl得("1+4)y'+2r,<y+,产-4=0,+y:=1其中4(/+4)04)16(