最短路线（一）

1、.最短道路一在学习几何知识时，同学们已经学过如下两个结论：1连结两点的所有线中，直线段是最短的；2直线外的一个定点与直线上的各点的连线以垂线为最短利用这两个结论可以解决许多实际生活中求最短道路的问题例1 甲、乙两村之间隔一条河，如图131如今要在小河上架一座桥，使得这两村之间的行程最短，桥应修在何处？分析：设甲、乙两村分别用点a、b表示要在河上架桥，关键是要选取一个最正确建桥的位置，使得从甲村出发经过桥到乙村的路程最短即从甲村到甲村河边的桥头的间隔 加上桥长相当于河的宽度，再加上乙村到乙村河边的桥头的间隔 尽可能短，这是一个求最短折线的问题直接找出这条折线很困难，能否可以把它转化为直线问题呢？

2、由于河的宽度不变，不管桥修在哪里，桥都是必经之路，且桥长相当于河宽，是一个定值，所以可以预先把这段间隔 扣除，只要使两镇到河边桥头的间隔 最短就可以了所谓预先将桥长扣除，就是假设先走完桥长，即先把桥平移到甲村，先过了桥，到c点，如图132，找出c到b的最短道路，实际上求最短折线问题转化为直线问题解：如图132过a点作河岸的垂线，在垂线上截取ac的长等于河宽连bc交与乙村的河岸于f点，作ef垂直于河的另一岸于e点，那么ef为架桥的位置，也就是ae+ef+fb是两村的最短道路例2 如图133，a、b两个学校都在公路的同侧想在这两校的附近的公路上建一个汽车站，要求车站到两个学校的间隔 之和最小，应该

3、把车站建在哪里？分析：车站建在哪里，使得a到车站与b到车站的间隔 之和最小，仍然是求最短折线问题，同例1一样关键在于转化成直线问题就好办了采用轴对称直线对称作法解：作点b关于公路将公路看作是一条直线的对称点b，如图134，即过b点作公路直线的垂线交直线于o，并延长bo到b，使bo=ob连结ab交直线于点e，连be，那么车站应建在e处，并且折线aeb为最短为什么这条折线是最短的呢？分两步说明：1因为b与b关于直线对称，根据对称点的性质知，对称轴上的点到两个对称点的间隔 相等，有be=be，所以ab=ae+eb=ae+eb2设e是直线上不同于e的任意一点，如图135，连结ae、eb、eb，可得ae

4、+eb=ae+ebab两点之间线段最短上式说明，假如在e点以外的任意一点建车站，所行的路程都大于折线aeb所以折线aeb最短例3 如图136，河流ef与公路fd所夹的角是一个锐角，某公司a在锐角efd内如今要在河边建一个码头，在公路边修建一个仓库，工人们从公司出发，先到河边的码头卸货，再把货物转运到公路边的仓库里去，然后返回到a处，问仓库、码头各应建在何处，使工人们所行的路程最短分析：工人们从a出发先到河边码头，再到公路的仓库，然后回到a处，恰好走一个三角形，如今要求三角形的另外两个顶点分别建在河岸与公路的什么位置能使这个三角形的三边之和为最小，利用轴对称原理作图解：过a分别作河岸、公路的对称

5、点a、a，如图137，连结aa，交河岸于m，交公路于n，那么三角形amn各边之和等于直线aa的长度，所以仓库建在n处，码头建在m处，使工人们所行的路程最短例4 如图138是一个长、宽、高分别为4分米、2分米、1分米的长方体纸盒一只蚂蚁要从a点出发在纸盒外表上爬到b点运送食物，求蚂蚁行走的最短路程分析：因为是在长方体的外表爬行，求的是立体图形上的最短道路问题，往往可以转化为平面上的最短道路问题将蚂蚁爬行经过的两个面展开在同一平面上，如图139，在展开图中，ab间的最短道路是连结这两点的直线段，但要注意，蚂蚁可沿几条道路到达b点，需对它们进展比较解：蚂蚁从a点出发，到b点，有三条道路可以选择：1从

6、a点出发，经过上底面然后进入前侧面到达b点， 将这两个平面展开在同一平面上，这时a、b间的最短道路就是连线ab，如图1391，ab是直角三角形abc的斜边，根据勾股定理，ab2=ac2+bc2=1+22+42=252从a点出发，经过左侧面，然后进入前侧面到达b点，将这两个面展开在同一平面上，如图1392，同理ab2=22+1+42=293从a点出发，经过上底面，然后进入右侧面到达b点，将这两个面展开在同一平面上，如图1393，得ab2=2+42+12=37比较这三条道路，25最小，所以蚂蚁按图1391爬行的道路最短，最短路程为5分米例5 如图1310，在圆柱形的木桶外，有一个小甲虫要从桶外的a

7、点爬到桶内的b点a点到桶口c点的间隔 为14厘米，b点到桶口d点的间隔 是10厘米，而c、d两点之间的弧长是7厘米假如小甲虫爬行的是最短道路，应该怎么走？路程是多少？分析：先设想将木桶的圆柱展开成矩形平面，如图1311，由于b点在桶内，不便于作图，利用轴对称原理，作点b关于直线cd的对称点b，这就可以用b代替b，从而找出最短道路解：如图1311，将圆柱体侧面展成平面图形作点b关于直线cd的对称点b，连结ab，ab是a、b两点间的最短间隔 ，与桶口边交于o点，那么ob=ob，ab=ao+ob，那么a、b之间的最短间隔 就是ao+ob，所以小甲虫在桶外爬到o点后，再向桶内的b点爬去，这就是小甲虫爬

8、行的最短道路延长ac到e，使cebd，因为aeb是直角三角形，ab是斜边，eb=cd=7厘米，ae=14+10=24厘米，根据勾股定理：ab2=ae2+eb2=242+72=625所以ab=25厘米其实,任何一门学科都离不开死记硬背,关键是记忆有技巧,“死记之后会“活用。不记住那些根底知识,怎么会向高层次进军?尤其是语文学科涉猎的范围很广,要真正进步学生的写作程度,单靠分析文章的写作技巧是远远不够的,必须从根底知识抓起,每天挤一点时间让学生“死记名篇佳句、名言警句,以及丰富的词语、新颖的材料等。这样,就会在有限的时间、空间里给学生的脑海里注入无限的内容。日积月累,积少成多,从而收到水滴石穿,绳

9、锯木断的成效。死记硬背是一种传统的教学方式,在我国有悠久的历史。但随着素质教育的开展,死记硬背被作为一种僵化的、阻碍学生才能开展的教学方式,渐渐为人们所摒弃;而另一方面,老师们又为进步学生的语文素养煞费苦心。其实,只要应用得当,“死记硬背与进步学生素质并不矛盾。相反,它恰是进步学生语文程度的重要前提和根底。即小甲虫爬行的最短路程是25厘米课本、报刊杂志中的成语、名言警句等俯首皆是,但学生写作文运用到文章中的甚少,即使运用也很难做到恰如其分。为什么?还是没有彻底“记死的缘故。要解决这个问题,方法很简单,每天花3-5分钟左右的时间记一条成语、一那么名言警句即可。可以写在后黑板的“积累专栏上每日一换,