定性和稳定性理论简介

1、第 5 章 定性和稳定性理论简介在十九世纪中叶 , 通过 Liouville 等人的工作 , 人们已经知道绝大多数微分方程不能用初等积分法求解 . 这个结果对微分方程理论的发展产生了极大的影响 , 使微分方程的研究发生了一个转折 . 既然初等积分法有着不可克服的局限性 , 那么是否可以不求微分方程的解 , 而从微分方程本身来推断其性质呢 ?定性理论和稳定性理论正是在这种背景下发展起来的. 前者由法国数学家 Poincare(1854-1912) 在 19 世 纪 80 年 代 所 创 立 , 后 者 由 俄 国 数 学 家 Liapunov(1857-1918) 在同年代所创立 . 它们共同的

2、特点就是在不求出方程解的情况下 , 直接根据微分方程本身的结构与特点 , 来研究其解的性质 . 由于这种方法的有效性 , 近一百多年以来它们已经成为常微分方程发展的主流. 本章对定性理论和稳定性理论的一些基本概念和基本方法作一简单介绍.第一讲§ 5.1稳定性（ Stability）概念 (5 课时 )一、教学目的： 理解稳定、渐近稳定和不稳定的概念；掌握零解的稳定、渐近稳定的概念；学会判定一些简单微分方程零解的稳定和渐近稳定性。二、教学要求： 理解稳定、渐近稳定和不稳定的概念；掌握简单微分方程零解的稳定和渐近稳定性的判定。三、教学重点： 简单微分方程零解的稳定和渐近稳定性的判定。四、

3、教学难点： 如何把一般解的稳定性转化为零解的稳定性。五、教学方法： 讲练结合教学法、提问式与启发式相结合教学法。六、教学手段： 传统板书与多媒体课件辅助教学相结合。七、教学过程：1稳定性的定义考虑微分方程组dx( ,)（5.1 ）ftxdt其中函数 f (t, x) 对 x D Rn 和 t( ,) 连续，对 x 满足局部 Lipschitz条件。设方程（ 5.1 ）对初值 (t0 , x1 ) 存在唯一解 x(t, t0 , x1 ) ，而其它解记作 x x(t ,t0 , x0 ) 。现在的问题是：当 x0x1 很小是，差 x(t ,t0 , x0 )(t ,t 0, x1 )n1( x1

4、 , x2 ,L , xn )T 的范数取 x2xi2的变化是否也很小？本章向量x。i 1如果所考虑的解的存在区间是有限区间，那么这是解对初值的连续依赖性，在第二章的定理2.7 已有结论。现在要考虑的是解的存在区间是无穷区间，那么解对初值不一定有连续依赖性，这就产生了Liapunov意义下的稳定性概念。定义 5.1如果对于任意给定的0 和 t00都存在( , t0 ) 0 ,使得只要 x0 x1，就有 x(t ,t0 , x0 )(t ,t 0 , x1 )对一切 tt0 成立，则称（5.1 ）的解 x(t, t0 , x1 ) 是稳定的。否则是不稳定的。定义 5.2假定 x(t, t0 ,

5、x1 ) 是稳定的，而且存在1(01) ，使得只要x0x11，就有lim( x(t,t0 , x0 )(t, t0 , x1 )0，则称 （5.1 ）的t解 x(t, t0 , x1 ) 是渐近稳定的。为了简化讨论，通常把解x(t ,t0 , x1 ) 的稳定性化成零解的稳定性问题. 下面记 x(t )x(t, t0 , x0 ) ， (t)(t, t0 , x1) 作如下变量代换 .作如下变量代换 .令则yx(t )(t )(5.2)dydx(t )d (t)f (t, (t )dtdtf (t , x(t )dtf (t,(t )y)f (t,(t)F (t , y)于是在变换 (5.2)

6、下，将方程 (5.1)化成dy(5.3)F (t, y)dt其中 F (t, y)f (t,(t)y)f (t,(t) 。这样关于 (5.1)的解 x(t ) 的稳定性问题就化为 (5.3)的零解 y=0 的稳定性问题了。因此，我们可以在下文中只考虑 (5.1)的零解 x 0 的稳定性，即假设 f (t,0) 0 ，并有如下定义：定义 5.3若对任意0和 t00 ，存在( ,t0 )0 ，使当 x0时有x(t ,t0 , x0 )(5.4)对所有的 tt0 成立，则称 (5.1)的零解是稳定的，反之是不稳定的。定义 5.4若(5.1)的零解是稳定的，且存在01( 为定义 5.1中的) ，使当x

7、01 时有lim x(t, t0 , x0 )0t则称 (5.1)的零解是渐近稳定的。的零解的稳定性例 1 考察系统dxydt的零解的稳定性。dxdtx解 不妨取初始时刻t00 ，对于一切 t0 ，方程组满足初始条件x(0)x0 , y(0)y0 (x02y020) 的解为x(t )x0costy0 sin ty(t )x0 sin ty0 cost1对 任一0 ，取，则当 (x02y02 ) 2时，有11x2 (t )y2 (t ) 2( x0costy0 sint )2( x0 sin t y0 cost )2 2122( x0y0 )2故该系统的零解是稳定的。然而，由于11lim x2

8、(t ) y 2 (t) 2( x02y02 ) 20t所以该系统的零解不是渐近稳定的。例 2 考察系统dxxdtdxdt的零解的稳定性 .y解在 t0 上，取初值为 (0, x0 , y0 ) 的解为：x(t)x0 e ty(t )y0e t其中 x02y0201对任一0，取，则当 ( x02y02 ) 2时，有11x2 (t) y2 (t ) 2( x02 e 2ty02e 2t )21(x02y02 ) 2(t 0)故该系的零解是稳定的.又因为11lim x2 (t ) y2 (t ) 2( x02e 2ty02e 2t ) 20t可见该系统的零解是渐近稳定的.例 3考察系统dxxdtd

9、xdty的零解的稳定性 .解 方程组以 (0, x0 , y0 ) 为初值的解为x(t )x0et(t0)y(t )y0et其中x02y020111x2 (t ) y2 (t) 2( x02e2ty02 e2t ) 2(x02y02 )2 et由于函数 et 随 t的递增而无限地增大 . 因此，对于任意0 ，不1管 ( x02y02 ) 2 取得怎样小，只要t 取得适当大时，就不能保证1x2 (t)y2 (t) 2 小于预先给定的正数，所以该系统的零解是不稳的.例4考虑常系数线性微分方程组dxAx(5.5)dt其中 xRn ,A 是 n×n 阵.证明：若 A 的所有特征根都具严格负实部，则(5.5)的零解是渐近稳定的 .证明不失一般性，我们取初始时刻 t 00 ,设 (t)是(5.5)的标准基本解矩阵，由第3 章内容知满足 x(0)x0 的解 x(t) 可写成x(t )(t) x0(5.6)由 A 的所有特征根都具负实部知lim(t ) 0(5.7)t于是知存在 t1 0 ，使 tt1 时 (t )1 .从而对任意0，取 0则当x00 时，由 (5.6)有