第一章线性空间剖析

1、1第一章线性空间第一章线性空间Made By QQIR邱启荣邱启荣华北电力大学数理系华北电力大学数理系QQIR2第一章线性空间第一章线性空间Made By QQIR3第一章线性空间第一章线性空间Made By QQIR4第一章线性空间第一章线性空间Made By QQIR第一章第一章 线性空间线性空间 线性空间是线性代数的中心内容，它是线性空间是线性代数的中心内容，它是几何空间的抽象和推广几何空间的抽象和推广 在线性代数中，定义了在线性代数中，定义了n维向量的加法和维向量的加法和数量乘法运算，讨论了向量空间中的向量关数量乘法运算，讨论了向量空间中的向量关于线性运算的线性相关性，完满地阐明了线于

2、线性运算的线性相关性，完满地阐明了线性方程组的解的理论性方程组的解的理论5第一章线性空间第一章线性空间Made By QQIR现在把现在把n n维向量抽象成集合中的元素，撇开维向量抽象成集合中的元素，撇开向量及其运算的具体含义，把集合对加法和数向量及其运算的具体含义，把集合对加法和数量乘法的封闭性及运算满足的规则抽象出来，量乘法的封闭性及运算满足的规则抽象出来，就形成了抽象的线性空间的概念，这种抽象将就形成了抽象的线性空间的概念，这种抽象将使我们进一步研究的线性空间的理论可以在相使我们进一步研究的线性空间的理论可以在相当广泛的领域内得到应用当广泛的领域内得到应用6第一章线性空间第一章线性空间M

3、ade By QQIR本章内容本章内容1.1 集合与映射集合与映射1. 2 线性空间的定义与性质线性空间的定义与性质1.4 线性空间的子空间线性空间的子空间1.5 内积空间内积空间7第一章线性空间第一章线性空间Made By QQIR1.1集合与映射集合与映射8第一章线性空间第一章线性空间Made By QQIR一、集合一、集合 把一些事物汇集到一起组成的一个整体就叫做集合；把一些事物汇集到一起组成的一个整体就叫做集合；常用大写字母常用大写字母A、B、C 等表示集合；等表示集合；当当a是集合是集合A的元素时，就说的元素时，就说a 属于属于A，记作：，记作： ； aA 当当a不是集合不是集合A的

4、元素时，就说的元素时，就说a不属于不属于A，记作：，记作： aA 1、定义、定义组成集合的这些事物称为集合的元素组成集合的这些事物称为集合的元素 用小写字母用小写字母a、b、c 等表示集合的元素等表示集合的元素 9第一章线性空间第一章线性空间Made By QQIR集合的表示方法一般有两种：集合的表示方法一般有两种：描述法描述法、列举法列举法 描述法描述法：给出这个集合的元素所具有的特征性质：给出这个集合的元素所具有的特征性质.列举法列举法：把构成集合的全部元素一一列举出来：把构成集合的全部元素一一列举出来.例例122( , )4, ,Mx y xyx yR例例2 N ，0,1,2,3,0,

5、2, 4, 6, 2Z 例例3210, 1,1Mx xxR Mx | x具有性质具有性质P Ma1，a2，an10第一章线性空间第一章线性空间Made By QQIR2 2、集合间的关系、集合间的关系 如果如果B中的每一个元素都是中的每一个元素都是A中的元素，则称中的元素，则称B是是A的的子集子集，记作，记作 ，（读作，（读作B包含于包含于A）BABA当且仅当当且仅当 xBxA 空集：不含任何元素的集合，记为空集：不含任何元素的集合，记为注意：注意： 如果如果A、B两集合含有完全相同的元素，则称两集合含有完全相同的元素，则称 A与与 B相等相等，记作，记作AB .AB当且仅当当且仅当 且且 A

6、BBA约定：空集是任约定：空集是任意集合的子集合意集合的子集合.11第一章线性空间第一章线性空间Made By QQIR3、集合间的运算、集合间的运算 交交： ； ABx xAxB且并并： ABx xAxB或显然有，显然有，;ABAAABBbAabaBA,设A，B是两个数集，集合称为A与B的和集和集。12第一章线性空间第一章线性空间Made By QQIRBbAabaBA,称为A与B的积积。设A，B是两个集合，集合13第一章线性空间第一章线性空间Made By QQIR定义定义1.1.1 1.1.1 设设A A，B B是两个非空集合，是两个非空集合，A A到到B B的的一个映射一个映射 , ,

7、是指一个对应法则，是指一个对应法则，通过这一法通过这一法则，对于集合则，对于集合A A中的每一个元素中的每一个元素x x，都有集合，都有集合B B中的一个唯一确定的元素中的一个唯一确定的元素y y与之对应。与之对应。用记号用记号 : AB表示，表示，简记为简记为 xy( )yx二、映射二、映射14第一章线性空间第一章线性空间Made By QQIRyxxy叫做元素在下的象象，叫做在下的原象原象。 ( )( )Ax xAA在下的象的集合记作 某个集合某个集合A到自身的映射也称为到自身的映射也称为A的的一个一个变换变换。15第一章线性空间第一章线性空间Made By QQIR问题：1。映射与大学中

8、的函数有什么区别联系？: ABxy( )yf x映射 函数2。对应于函数，象集是什么？16第一章线性空间第一章线性空间Made By QQIR关于两个集合间的映射有以下几点需要注意：关于两个集合间的映射有以下几点需要注意：1）A、B可以是相同的集合，也可以是不同的可以是相同的集合，也可以是不同的集合；集合；2）对于）对于A中的每一个元素中的每一个元素x，B中必有一个中必有一个唯一唯一确定确定的元素与之对应；的元素与之对应；3）一般说来，）一般说来，B中的元素不一定都是中的元素不一定都是A中元素中元素的象；的象；4）A中不同元素的象可能相同。中不同元素的象可能相同。17第一章线性空间第一章线性空

9、间Made By QQIR18第一章线性空间第一章线性空间Made By QQIR例例7判断下列映射的性质判断下列映射的性质1）Ma，b，c、M 1,2，3：(a)1，(b)1，(c)2 （既不单射，既不单射，也不是满射也不是满射） ：(a)3，(b)2，(c)12）M=Z，M Z，：(n)|n|1,nZ （是满射，但不是单射是满射，但不是单射） 3）Mn nP，M P，（，（P为数域）为数域） ：(A)|A|，n nAP （是满射，但不是单射是满射，但不是单射） （双射双射）19第一章线性空间第一章线性空间Made By QQIR对于有限集来说，两集合之间存在对于有限集来说，两集合之间存在1

10、1对对应的充要条应的充要条 件是它们所含元素的个数相同；件是它们所含元素的个数相同； 对于有限集对于有限集A及其子集及其子集B，若，若BA（即（即B为为A的真子集），则的真子集），则 A、B之间不可能存在之间不可能存在11对应；但对应；但是对于无限集未必如此是对于无限集未必如此.注：注：20第一章线性空间第一章线性空间Made By QQIR21第一章线性空间第一章线性空间Made By QQIR22第一章线性空间第一章线性空间Made By QQIR23第一章线性空间第一章线性空间Made By QQIR第二节第二节线性空间的定义与性质线性空间的定义与性质24第一章线性空间第一章线性空间Ma

11、de By QQIR线性空间是线性代数最基本的概念之一，线性空间是线性代数最基本的概念之一，也是一个抽象的概念，它是向量空间概念的推也是一个抽象的概念，它是向量空间概念的推广广线性空间是为了解决实际问题而引入的，线性空间是为了解决实际问题而引入的，它是某一类事物从量的方面的一个抽象，即把它是某一类事物从量的方面的一个抽象，即把实际问题看作向量空间，进而通过研究向量空实际问题看作向量空间，进而通过研究向量空间来解决实际问题间来解决实际问题一、线性空间的定义一、线性空间的定义25第一章线性空间第一章线性空间Made By QQIR一一.线性空间的定义线性空间的定义 设设V 是一个非空集合是一个非空

12、集合, P 是一个数域是一个数域, 在集合在集合V 中中 的的和和，记为，记为 ；在；在P与与V的元素之间还的元素之间还与 定义了一种运算，叫做定义了一种运算，叫做数量乘法数量乘法：即：即,VkP 在在V中都存在唯一的一个元素中都存在唯一的一个元素与它们对应，称与它们对应，称为为 的的数量乘积数量乘积，记为，记为 如果加法和数量乘如果加法和数量乘k与.k法还满足下述规则，则称法还满足下述规则，则称V 为数域为数域P上的上的线性空间线性空间：定义了一种代数运算，叫做定义了一种代数运算，叫做加法加法: : 即即对对,V 在在V 中都存在唯一的一个元素与它们对应，称为中都存在唯一的一个元素与它们对应

13、，称为 26第一章线性空间第一章线性空间Made By QQIR, ,; ,VP 设;0, 0)3( 都有都有对任何对任何中存在零元素中存在零元素在在VV;)1( ;)2( 如果上述的两种运算满足以下八条运算规律，那如果上述的两种运算满足以下八条运算规律，那么么 就称为数域就称为数域 上的向量空间（或线性空间）上的向量空间（或线性空间）VP27第一章线性空间第一章线性空间Made By QQIR;1)5( ;)6( .)8( ;)7( ; 0 ,)4( 使使的的负负元元素素都都有有对对任任何何VV28第一章线性空间第一章线性空间Made By QQIR2 2 向量空间中的向量不一定是有序数组向

14、量空间中的向量不一定是有序数组3 3 判别线性空间的方法：一个集合，对判别线性空间的方法：一个集合，对于定义的加法和数乘运算不封闭，或者运算不于定义的加法和数乘运算不封闭，或者运算不满足八条性质的任一条，则此集合就不能构成满足八条性质的任一条，则此集合就不能构成线性空间线性空间 说明说明1 1 凡满足以上八条规律的加法及乘数运凡满足以上八条规律的加法及乘数运算，称为线性运算算，称为线性运算29第一章线性空间第一章线性空间Made By QQIR（）一个集合，如果定义的加法和乘数运（）一个集合，如果定义的加法和乘数运算是通常的实数间的加乘运算，则只需检验对运算是通常的实数间的加乘运算，则只需检验

15、对运算的封闭性算的封闭性例例 实数域上的全体实数域上的全体 矩阵，对矩阵的加法矩阵，对矩阵的加法和数乘运算构成实数域上的线性空间，记作和数乘运算构成实数域上的线性空间，记作 nm nmR ,nmnmnmCBA ,nmnmDA .是是一一个个线线性性空空间间nmR 线性空间的判定方法线性空间的判定方法30第一章线性空间第一章线性空间Made By QQIR., 0101量空间量空间向向数乘多项式的乘法构成数乘多项式的乘法构成对于通常的多项式加法对于通常的多项式加法即即记作记作的多项式的全体的多项式的全体次数不超过次数不超过RaaaaxaxapxPxPnnnnnn 例2例2通常的多项式加法、数乘多

16、项式的乘法两种运通常的多项式加法、数乘多项式的乘法两种运算满足线性运算规律算满足线性运算规律)()(0101bxbxbaxaxannnn )()()(0011baxbaxbannn xPn )(01axaxann )()()(01axaxann xPn .对运算封闭对运算封闭xPn31第一章线性空间第一章线性空间Made By QQIR.0, , 0101间间空空和和乘乘数数运运算算不不构构成成向向量量对对于于通通常常的的多多项项式式加加法法且且次次多多项项式式的的全全体体 aRaaaaxaxapxQnnnnnn例例3 3p0000 xxnxQn .对运算不封闭对运算不封闭xQn32第一章线性

17、空间第一章线性空间Made By QQIR( ),( )0,nnR Ay yAx xCN Ax AxxC例例1.2.3 给定给定,nmCA记记按按 中的加法和数乘运算，中的加法和数乘运算， 都都是上的线性空间。是上的线性空间。 nC)(),(ANAR33第一章线性空间第一章线性空间Made By QQIR定理定理1.2.1 1.2.1 零元素是唯一的零元素是唯一的负元素是唯一的负元素是唯一的证明证明假设假设 是线性空间是线性空间V中的两个零元中的两个零元素，素，210 ,0.0,021 由于由于,0 ,021V 所以所以.000 ,000121212 则对任何则对任何 ，V 有有.000000

18、212211 二、线性空间的性质二、线性空间的性质34第一章线性空间第一章线性空间Made By QQIR假设假设 有两个负元素有两个负元素 与与 ， 那么那么. 0, 0 则有则有0 0. 向量向量 的负元素记为的负元素记为 . 35第一章线性空间第一章线性空间Made By QQIR2. 00;1;00. 证明证明 ,101010 . 00 , 0011111 .1 10 0 . 0 36第一章线性空间第一章线性空间Made By QQIR3如果如果 ，则则 或或 . 0 0 0 证明证明假设假设,0 那么那么 011 . 0 .11 又又. 0 同理可证：若同理可证：若 则有则有0 .

19、0 37第一章线性空间第一章线性空间Made By QQIR线性空间的元素统称为线性空间的元素统称为“向量向量”，但它可以是，但它可以是通常的向量，也可以是矩阵、多项式、函数等通常的向量，也可以是矩阵、多项式、函数等. .线性空间线性空间 是一个集合是一个集合对所定义的加法及数乘运算封闭对所定义的加法及数乘运算封闭所定义的加法及数乘符合线性运算所定义的加法及数乘符合线性运算线性空间是二维、三维几何空间及线性空间是二维、三维几何空间及 维向量维向量空间的推广，它在理论上具有高度的概括性空间的推广，它在理论上具有高度的概括性. .n四、小结38第一章线性空间第一章线性空间Made By QQIR3

20、9第一章线性空间第一章线性空间Made By QQIR如何把线性空间的全体元素表示出来？如何把线性空间的全体元素表示出来？线性空线性空间中是否有类似于几何空间间中是否有类似于几何空间的坐标系问题？的坐标系问题？线性空间是抽象的，如何使其元素与具体的线性空间是抽象的，如何使其元素与具体的东西东西数发生联系数发生联系,使其能用比较具体的数学使其能用比较具体的数学式子来表达？怎样才能便于运算？式子来表达？怎样才能便于运算？问题问题基的问题（基的问题（basis）问题问题坐标（坐标（coordinate）问题）问题40第一章线性空间第一章线性空间Made By QQIR 设设V 是数域是数域 P 上的

21、一个线性空间上的一个线性空间（1）1212,(1),rrV rk kkP 和式和式 1122rrkkk的一个的一个线性组合线性组合称为向量组称为向量组12,r （2） ，若存在，若存在 12,rV 12,rk kkP则称向量则称向量 可经向量组可经向量组 线性表出线性表出；12,r 1122rrkkk使使41第一章线性空间第一章线性空间Made By QQIR若向量组若向量组 中每一向量皆可经向量组中每一向量皆可经向量组 12,s 12,r 线性表出，则称向量组线性表出，则称向量组12,s 可经向量组可经向量组 线性表出线性表出； 12,r 若两向量组可以互相线性表出，则称这两个向量组若两向量

22、组可以互相线性表出，则称这两个向量组为为等价的等价的 （3）12,rV ，若存在不全为零的数，若存在不全为零的数 12,rk kkP，使得，使得 11220rrkkk则称向量组为则称向量组为线性相关线性相关的的；12,r 42第一章线性空间第一章线性空间Made By QQIR（4）如果向量组如果向量组 不是线性相关不是线性相关的，即的，即12,r 11220rrkkk只有在时才成立，只有在时才成立， 120rkkk则称则称为为线性无关线性无关的的 12,r （1）单个向量单个向量 线性相关线性相关 0.单个向量单个向量 线性无关线性无关 0向量组向量组线性相关线性相关 12,r 12,r 中

23、有一个向量可经其余向量中有一个向量可经其余向量 线性表出线性表出43第一章线性空间第一章线性空间Made By QQIR（2）若向量组线性无关，且可被若向量组线性无关，且可被12,r 向量组向量组 线性表出，则线性表出，则 12,s ;rs若若 与与 为两线性无关的为两线性无关的12,r 12,s 等价向量组，则等价向量组，则 .rs（3）若向量组线性无关，但向量组若向量组线性无关，但向量组 12,r 12,r 线性相关，则线性相关，则 可被向量组可被向量组 线性表出，且表示法是唯一的线性表出，且表示法是唯一的12,r 44第一章线性空间第一章线性空间Made By QQIR1 1、无限维线性

24、空间、无限维线性空间 若线性空间若线性空间 V 中可以找到任意多个线性无关的向量中可以找到任意多个线性无关的向量,则称则称 V 是是无限维线性空间无限维线性空间例例1 1 所有实系数多项式所成的线性空间所有实系数多项式所成的线性空间 Rx 是无限是无限维的维的. 1，x，x2，xn1对任意的正整数对任意的正整数 n，都有，都有 n 个线性无关的向量个线性无关的向量因为，因为，二、线性空间的维数、基与坐标二、线性空间的维数、基与坐标45第一章线性空间第一章线性空间Made By QQIR;, )1(21线线性性无无关关n ., , , 21维维数数的的称称为为线线性性空空间间基基的的一一个个就就

25、称称为为线线性性空空间间那那末末VnVn , 2)( 21表表示示线线性性总总可可由由中中任任一一元元素素nV 定义定义1.3.1 在线性空间在线性空间 中，如果存在中，如果存在 个元素个元素nn ,21满足：满足：V常记作常记作 dimV n .46第一章线性空间第一章线性空间Made By QQIR.,nVnn记记作作维维线线性性空空间间的的线线性性空空间间称称为为维维数数为为当一个线性空间当一个线性空间 中存在任意多个线性无关中存在任意多个线性无关的向量时，就称的向量时，就称 是无限维的是无限维的VV例例 所有实系数多项式所成的线性空间所有实系数多项式所成的线性空间 Rx 是无限是无限维

26、的维的. 1，x，x2，xn对任意的正整数对任意的正整数 n，都有，都有 n 个线性无关的向量个线性无关的向量因为，因为，47第一章线性空间第一章线性空间Made By QQIR注零空间的维数定义为注零空间的维数定义为0.0.48第一章线性空间第一章线性空间Made By QQIRnnxxx2211nnyyy22110)()()(222111nnnyxyxyx49第一章线性空间第一章线性空间Made By QQIR112212|,nnnnVxxxx xxP 50第一章线性空间第一章线性空间Made By QQIR向量向量 在基下的坐标唯一的在基下的坐标唯一的. . 12,n 但是，在不同基下的

27、坐标一般是不同的但是，在不同基下的坐标一般是不同的 51第一章线性空间第一章线性空间Made By QQIR常见线性空间的自然（标准）基常见线性空间的自然（标准）基12( ,),1,2, nniPa aaaP in为为n维的，维的， 12(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)n就是就是 P Pn n 的一组基称为的一组基称为P Pn n的自然基的自然基. . 线性空间线性空间Pxn是是n n +1 +1维的，且维的，且 1，x，x2，xn1，xn为为 Pxn 的一组自然基的一组自然基 52第一章线性空间第一章线性空间Made By QQIR证证:首先，首先，1，x，x2，xn1 ，xn

28、是线性无关的是线性无关的 1，x，x2，xn1 ，xn为为Pxn的一组基，的一组基，从而，从而，Pxn是是n+1维的维的.其次，其次， 1011( ) nnnnnf xaa xaxa xP x可经可经 1，x，x2，xn线性表出线性表出 ( )f x011(,)nna aaa在基在基1，x，x2，xn下的坐标就是下的坐标就是此时，此时，1011( )nnnnf xaa xaxa x53第一章线性空间第一章线性空间Made By QQIR1，xa，(xa)2，(xa)n1，(xa)n也为也为Pxn的一组基的一组基证明：证明：1，xa，(xa)2，(xa)n1，(xa)n是线性无关的是线性无关的

29、又对又对 ( ) nf xP x，按泰勒展开公式有，按泰勒展开公式有 ( )( )( )( )( )()()!nnfaf xf afa xaxan即即, ,f(x)可经可经1，xa，(xa)2，(xa)n线性表出线性表出. .54第一章线性空间第一章线性空间Made By QQIR1，xa，(xa)2，(xa)n为为Pxn的一组基的一组基 在基在基1，xa，(xa)2，(xa)n下的坐标是下的坐标是 ( )( )( ),( ),!Tnfaf af an55第一章线性空间第一章线性空间Made By QQIR56第一章线性空间第一章线性空间Made By QQIR一般来说，线性空间及其元素是抽象

30、的对象，一般来说，线性空间及其元素是抽象的对象，不同空间的元素完全可以具有千差万别的类别不同空间的元素完全可以具有千差万别的类别及性质。但坐标表示却把它们统一了起来，坐及性质。但坐标表示却把它们统一了起来，坐标表示把这种差别留给了基和基元素，由坐标标表示把这种差别留给了基和基元素，由坐标所组成的新向量仅由数域中的数表示出来。更所组成的新向量仅由数域中的数表示出来。更进一步，原本抽象的进一步，原本抽象的“加法加法”及及 “数乘数乘”经经过坐标表示就演化为向量加法及数对向量的数过坐标表示就演化为向量加法及数对向量的数乘。乘。 57第一章线性空间第一章线性空间Made By QQIR例例1-3-1

31、证明证明112-12-211-202141340-131-435-10 ，是是 的基，并求的基，并求 在该基下在该基下的坐标。的坐标。R2 35817266458第一章线性空间第一章线性空间Made By QQIR1112212210010000,00001001EEEE下的坐标分别是下的坐标分别是 12(1,1,2, 2) ,(2,4,4, 2) ,TT 34(3,4,6, 3) ,( 1,3,4,4)TT 59第一章线性空间第一章线性空间Made By QQIR123112311443021424640006123400031231021400010000 112

32、413,214244 60第一章线性空间第一章线性空间Made By QQIR例例1.3.11、求、求 中的多项式组中的多项式组 3( )P t231( )142,f tttt 232( )1 932 ,f tttt 33( )56f ttt 234( )5752ftttt的秩和一个极大线性无关组。的秩和一个极大线性无关组。61第一章线性空间第一章线性空间Made By QQIR解：解：1234( ),( ),( ),( )f tftftft在在 的自然基下的坐标的自然基下的坐标3( )P t分别是分别是 121,4, 2,1,1,9, 3,2TT 345,6,0,1,5,7, 5,2TT 1

33、155496723051212A 11550132613051050363 1155012100000000 1234( ),( ),( ),( )f tftftft的秩是的秩是2，向量组向量组12( ),( )f tft是它的一个极大线性无关组。是它的一个极大线性无关组。62第一章线性空间第一章线性空间Made By QQIR63第一章线性空间第一章线性空间Made By QQIR在在n维线性空间维线性空间V中，任意中，任意n个线性无关的向量都个线性无关的向量都可取作线性空间可取作线性空间V的一组基的一组基V中任一向量在某一组中任一向量在某一组基下的坐标是唯一确定的，但是在不同基下的坐标基下

34、的坐标是唯一确定的，但是在不同基下的坐标一般是不同的因此在处理一些问题是时，如何选一般是不同的因此在处理一些问题是时，如何选择适当的基使我们所讨论的向量的坐标比较简单是择适当的基使我们所讨论的向量的坐标比较简单是一个实际的问题一个实际的问题问题：同一向量在不同基下的坐标之间有什么关系，问题：同一向量在不同基下的坐标之间有什么关系，即随着基的改变，向量的坐标是如何变化的？即随着基的改变，向量的坐标是如何变化的？64第一章线性空间第一章线性空间Made By QQIRV为数域为数域P上的上的 n 维线性空间，维线性空间， 为为12,n V 中的一组向量，中的一组向量， ，若，若 V1122nnxx

35、x 则形式地记作则形式地记作1212(,)nnxxx 约定向量矩阵65第一章线性空间第一章线性空间Made By QQIR11112121212122221122nnnnnnnnnnaaaaaaaaa 则形式地记作则形式地记作 V为数域为数域 P 上上 n 维线性空间，维线性空间， ；12,n 12,n 为为V中的两组向量，若中的两组向量，若1112121222121212(,)(,)nnnnnnnnaaaaaaaaa 66第一章线性空间第一章线性空间Made By QQIR在形式书写法下有下列运算规律在形式书写法下有下列运算规律 121212,nnnV a aab bbP 111122221

36、21212(,)(,)(,)nnnnnnnabababababab 若若 12,n 线性无关，则线性无关，则 111122221212(,)(,)nnnnnnabababababab 67第一章线性空间第一章线性空间Made By QQIR ；为；为V中的两组向量，中的两组向量，12,n 12,n 矩阵矩阵 ，则，则 ,n nA BP 1212(,) )(,)()nnA BAB ； 1212(,)(,)nnAB ； 1212(,)(,)nnAA ；1122(,)nnA 若若 12,n 线性无关，则线性无关，则1212(,)(,).nnABAB 12(,)()nAB 68第一章线性空间第一章线性

37、空间Made By QQIR设设V为数域为数域P上上n维线性空间，；维线性空间，； 12,n 12,n 为为V中的两组基，若中的两组基，若111 12121212122221122nnnnnnnnnnaaaaaaaaa 即，即， 69第一章线性空间第一章线性空间Made By QQIR则称矩阵则称矩阵 111212122212nnnnnnaaaaaaAaaa 为由基为由基 到基到基 的的过渡矩阵过渡矩阵；12,n 12,n 称称 或或 为由基为由基 到基到基12,n 12,n 的的基变换公式基变换公式 1112121222121212(,)(,)nnnnnnnnaaaaaaaaa 70第一章线

38、性空间第一章线性空间Made By QQIR 引理 设 n ,21是一组线性无关的向量，A是一个n阶矩阵，令1212(,)(,)nnA 则 线性无关的充要条件是A可逆。n ,2171第一章线性空间第一章线性空间Made By QQIR1）过渡矩阵都是可逆矩阵；反过来，任一可逆过渡矩阵都是可逆矩阵；反过来，任一可逆矩阵都可看成是两组基之间的过渡矩阵矩阵都可看成是两组基之间的过渡矩阵设为设为P P上任一可逆矩阵，上任一可逆矩阵，()ijn nAa 任取任取V的一组基的一组基12,n 1212(,)(,)nnA 于是有，于是有，1,1,2,nijiiajn j j令令72第一章线性空间第一章线性空间

39、Made By QQIR11212(,)(,)nnA 由由A可逆，有可逆，有1212,nn 与与等等价价. .即，即， 也可由也可由 线性表出线性表出. .12,n 12,n 故故 线性无关，且线性无关，且V中任一向量都可以中任一向量都可以用线性表示，从而也为用线性表示，从而也为V 的一组基的一组基. .12,n 12,n 73第一章线性空间第一章线性空间Made By QQIR证明：若证明：若 为为V的两组基的两组基, ,1212,;,nn 且由基且由基 的过渡矩阵为的过渡矩阵为A，1212,nn 到到又由基又由基 也有一个过渡矩阵也有一个过渡矩阵, ,1212,nn 到到即即1212(,)

40、(,)nnA 设为设为B，即，即1212(,)(,)nnB 2）若由基）若由基 过渡矩阵为过渡矩阵为A,1212,nn 到到基基则由基则由基 过渡矩阵为过渡矩阵为A-1.1212,nn 到到基基74第一章线性空间第一章线性空间Made By QQIR都是线性无关的都是线性无关的, ,1212,;,nn .ABBAE 即，即，A是可逆矩阵是可逆矩阵, ,且且比较比较 、两个等式，有、两个等式，有 1212,nnBA 1212,nnAB 1212(,)(,)nnA 1212(,)(,)nnB 1BA 75第一章线性空间第一章线性空间Made By QQIR3）若由基）若由基 过渡矩阵为过渡矩阵为A

41、,1212,nn 到到基基由基由基 过渡矩阵为过渡矩阵为B，则，则1212,nn 到到基基由基由基 过渡矩阵为过渡矩阵为AB.1212,nn 到到基基1212(,)(,)nnB 1212(,)(,)nnA 事实上事实上, ,若若1212(,)(,) )nnA B 则有，则有，12(,)nAB 76第一章线性空间第一章线性空间Made By QQIR若两个基满足关系式若两个基满足关系式 Pnn ,2121 ,) , , ( ,),( , 121212121nTnnTnnxxxxxxV下下的的坐坐标标为为在在基基为为下下的的坐坐标标在在基基中中的的元元素素设设定定理理 二、坐标变换公式二、坐标变换

42、公式77第一章线性空间第一章线性空间Made By QQIR则有坐标变换公式则有坐标变换公式,2121 nnxxxPxxx.21121 nnxxxPxxx或或78第一章线性空间第一章线性空间Made By QQIR证明证明 nnxxx2121, ,2121nnxxx Pnn ,2121 .,21212121 nnnnxxxPxxx 79第一章线性空间第一章线性空间Made By QQIR. 2121 nnxxxPxxx即即. ,21121 nnxxxPxxxP所以所以可逆可逆由于矩阵由于矩阵80第一章线性空间第一章线性空间Made By QQIR121212103AA321321,81第一章线

43、性空间第一章线性空间Made By QQIR3127Ax 2031463312717xA 82第一章线性空间第一章线性空间Made By QQIR例例1.3.15、设、设 的两组基为：的两组基为： 2 2RI） 12341011111 1,0000101 1AAAAII）123410011111,11111001BBBB 试求：（试求：（1）由基（）由基（I）到基）到基(II)的过渡矩阵的过渡矩阵（2）求在基（）求在基（I）与基）与基(II)下有相同坐标的矩阵。下有相同坐标的矩阵。83第一章线性空间第一章线性空间Made By QQIR 1234111221221,A A A AEEEEC 解

44、：解： 1234111221222,B B B BEEEEC 其中其中121111101101110111,0011111000011101CC 因此因此 11234123412,B B B BA A A AC C 所以由基（所以由基（I）到基）到基(II)的过渡矩阵为的过渡矩阵为 1121100100100111101CC C 84第一章线性空间第一章线性空间Made By QQIR0100110100011100CE 1100110100010100 1000010000010000该齐次线性方程组的通解为该齐次线性方程组的通解为 (0,0, ,0)Txk 在基（在基（I）与基）与基(II

45、)下有相同坐标的矩阵下有相同坐标的矩阵123431100010AAAkAAkAk85第一章线性空间第一章线性空间Made By QQIR例例1.3.16、 1234(,)Tx xx x是是P3(t)中的多项式中的多项式f(t)在基在基232312232334( )443,( )7752 ,( )2533 ,( )3855f ttttf ttttf ttttf tttt 下的坐标下的坐标 .1234(,)Ty yyy是是P3(t)中的多项式中的多项式f(t)在基在基1234( ),( ),( ),( )g tg tg tg t下的坐标下的坐标 .11221233443435,2,23,58yxx

46、yxxyxxyxx 86第一章线性空间第一章线性空间Made By QQIR试求：（试求：（1）由基）由基 1234( ),( ),( ),( )g tg tg tg t到基到基1234( ),( ),( ),( )f tf tf tf t的过渡矩阵；的过渡矩阵； （2）求基）求基 1234( ),( ),( ),( )g tg tg tg t3）求多项式）求多项式 23( )1g tttt 在基在基 1234( ),( ),( ),( )g tg tg tg t下的坐标。下的坐标。 87第一章线性空间第一章线性空间Made By QQIR112233443500120000230058yxy

47、xyxyx 由基由基 1234( ),( ),( ),( )g tg tg tg t到基到基1234( ),( ),( ),( )f tf tf tf t的过渡矩阵的过渡矩阵3500120000230058C 88第一章线性空间第一章线性空间Made By QQIR 12341234( ),( ),( ),( )( ),( ),( ),( )f tf tf tf tg tg tg tg tC （2）由）由可得可得 112341234( ),( ),( ),( )( ),( ),( ),( )g tg tg tg tf tf tf tf tC 12500130000830052C 112( )2

48、( )( )g tf tft 21tt 212( )5( )3( )g tf tft 31tt 334( )8( )5( )g tftft 321tt 434( )3( )2( )g tf tf t 32ttt89第一章线性空间第一章线性空间Made By QQIR11223344( )( )( )( )( )g tx g tx g tx g tx g t(3) 设设即即2312(1)(1)x ttx tt 323234(1)()x ttx ttt 321ttt 比较两边同次幂的系数得到：比较两边同次幂的系数得到： 2341341241231111xxxxxxxxxxxx 90第一章线性空间第

49、一章线性空间Made By QQIR解得解得 12341,1,1,1xxxx 在基在基 因此，因此， ( )g t1234( ),( ),( ),( )g tg tg tg t下的下的坐标为坐标为( 1,1, 1,1)Tx 91第一章线性空间第一章线性空间Made By QQIR线性空间的子空间线性空间的子空间一、线性子空间一、线性子空间92第一章线性空间第一章线性空间Made By QQIR线性子空间的判定线性子空间的判定 ()W ，若，若W对于对于V中两种运算封闭，即中两种运算封闭，即 ,;WW 有有则则W是是V的一个子空间的一个子空间 证明：要证明证明：要证明W也为数域也为数域P上的线性

50、空间，即证上的线性空间，即证 W中的向量满足线性空间定义中的八条规则中的向量满足线性空间定义中的八条规则 定理定理：设：设V为数域为数域P上的线性空间，集合上的线性空间，集合 WV ,WkPkW 有有93第一章线性空间第一章线性空间Made By QQIR ， . . 且对且对 ， W W W 由数乘运算由数乘运算封闭，有封闭，有 1()W ，即，即W中元素的负元素就是中元素的负元素就是它在它在V中的负元素，中的负元素，4）成立）成立就是就是V中中的零元，的零元， 3）成立）成立由于由于 WV ，规则，规则1）、）、2）、）、5）、）、6）、）、7）、）、8）是显然成立的下证是显然成立的下证3

51、）、）、4）成立）成立 由加法封闭，有由加法封闭，有 , ,即即W中的零元中的零元0()W 94第一章线性空间第一章线性空间Made By QQIR,.Wa bP abW 推论推论：V为数域为数域P上的线性空间上的线性空间, , (),WV W 则则W是是V的子空间的子空间95第一章线性空间第一章线性空间Made By QQIR96第一章线性空间第一章线性空间Made By QQIR11111212121212222ababABVabab 111211121121222122,aabbAVBVaabb111221220aaaa 111221220bbbb1111121221212222()()

52、()()0abababab 1112212211122122()0aaaaaaaaa aaaa 1aAV 97第一章线性空间第一章线性空间Made By QQIR12det()det()0AA12101001AA 98第一章线性空间第一章线性空间Made By QQIR例例 判断判断Pn的下列子集合哪些是子空间：的下列子集合哪些是子空间： 11212(,)0,nniWx xxxxxxP 21212(,)1,nniWx xxxxxxP 3121(,0),1,2,1niWx xxxP in 若为若为Pn的子空间，求出其维数与一组基的子空间，求出其维数与一组基. .99第一章线性空间第一章线性空间M

53、ade By QQIR解：解：W1 、W3是是Pn的子空间，的子空间， W2不是不是Pn的子空间的子空间. .事实上，事实上，W1 是是n元齐次线性方程组元齐次线性方程组的解空间的解空间. . 所以，维所以，维W1 n n1 1，的一个基础解系，的一个基础解系120nxxx就是就是W1 的一组基的一组基. .1(1, 1,0,0), 1(1,0,0, 1)n 2(1,0, 1,0,0), ,100第一章线性空间第一章线性空间Made By QQIR而在而在 W2中任取两个向量，设中任取两个向量，设, 1212(,),(,)nnxxxyyy 1122()()()nnxyxyxy 但但是是1212

54、()()1 12nnxxxyyy 1122(,)nnxy xyxy 2,W 则则故故W2不是不是Pn的子空间的子空间. .101第一章线性空间第一章线性空间Made By QQIR故，故，W3为为V的一个子空间，且维的一个子空间，且维W3 n n1 1 ，1213(,0)nkkx kxkxW 1122113(,0)nnxyxyxyW 则有则有 其次，其次， 3,WkP 121121(,0),(,0)nnxxxyyy 设设330(0,0,0),WW 首首先先下证下证W3是是Pn的子空间的子空间. .(0,0,1,0,0),1,2,1iiin 就是就是W3的一组基的一组基. .102第一章线性空间

55、第一章线性空间Made By QQIR解解(1)不构成子空间不构成子空间. 因为对因为对1000001WBA ?32为为什什么么空空间间的的下下列列子子集集是是否否构构成成子子 R;,001)1(1 RdcbdcbW., 0000)2(2 RcbacbacbaW例例有有,0000021WBA 103第一章线性空间第一章线性空间Made By QQIR即即 对矩阵加法不封闭，不构成子空间对矩阵加法不封闭，不构成子空间.1W,000000)2(2W 因因.2非空非空即即W对任意对任意2222111000,000WcbaBcbaA 有有, 0111 cba, 0222 cba于是于是 2121210

56、00ccbbaaBA104第一章线性空间第一章线性空间Made By QQIR满足满足 , 0212121 ccbbaa, 2WBA 即即有有对任意对任意Rk 111000kckbkakA且且, 0111 kckbka,2WkA 即即.322的子空间的子空间是是故故 RW105第一章线性空间第一章线性空间Made By QQIR106第一章线性空间第一章线性空间Made By QQIR107第一章线性空间第一章线性空间Made By QQIR 12121122,VVVV 108第一章线性空间第一章线性空间Made By QQIR称为称为V的由的由 生成的子空间生成的子空间，12,r 定义定义：

57、V为数域为数域P上的线性空间，上的线性空间， 则子空间则子空间 12,rV ，1122,1,2, rriWkkkkP ir 记作记作 12(,)rL 称称 为为 的一组的一组 生成元生成元.12,r 12(,)rL 12,mspan 或记作或记作 1212,stSpanSpan 1212,stSpan 109第一章线性空间第一章线性空间Made By QQIR 1212,stspan 1212,tsspan 110第一章线性空间第一章线性空间Made By QQIR111第一章线性空间第一章线性空间Made By QQIR112第一章线性空间第一章线性空间Made By QQIR113第一章线

58、性空间第一章线性空间Made By QQIR 证明：对证明：对nm作数学归纳法作数学归纳法当当nm0时，即时，即nm，定理成立定理成立12,m 就是就是V的一组基的一组基.假设当假设当nmk时结论成立时结论成立.下面我们考虑下面我们考虑 nmk1 的情形的情形必定是线性无关的必定是线性无关的121,mm 既然既然 还不是还不是V的一组基，它又是线的一组基，它又是线性无关的，那么在性无关的，那么在V中必定有一个向量不能被中必定有一个向量不能被 线性表出，把它添加进去，则线性表出，把它添加进去，则12,m 1m 12,m 114第一章线性空间第一章线性空间Made By QQIR因因 n( (m1

59、) )( (nm) )1( (k1) )1k，由定理由定理1.4.6 是是m1维的维的121(,)mL 可以扩充为整个空间可以扩充为整个空间V的一组基由归纳原理得证的一组基由归纳原理得证. . 由归纳假设，由归纳假设， 的基的基121(,)mL 121,mm 它扩充为它扩充为P4的一组基，其中的一组基，其中例例 求求 的维数与一组基，并把的维数与一组基，并把12345(,)L 1(1, 1,2,4), 5(2,1,5,6) 4(1, 1,2,0), 3(3,0,7,14), 2(0,3,1,2), 115第一章线性空间第一章线性空间Made By QQIR解：对以为列向量的矩阵解：对以为列向量

60、的矩阵A作作12345, 初等行变换初等行变换10 3121 3 01 12 1 72542 1406A 1 0 3120 3 3030 1 1010 2 2421 0 3120 1 1010 0 0000 0 0441 0 3 1 20 1 1 0 10 0 0 1 10 0 0 0 0B 由由B知，为知，为 的一个极大的一个极大124, 12345, 故，维故，维 3 3，12345(,)L 就是就是 的一组基的一组基.124, 12345(,)L 无关组无关组. .116第一章线性空间第一章线性空间Made By QQIR10 101 31 0.2 12 142 0 0可可逆逆1011