高中数学必修一函数概念定义域值域教学方案

1、函数的概念函数的定义:设A, B是非空的数集，如果按某个确定的对应关系f ,使对于集介A中的任意一个X,在集介B中都有唯一确 定的数f(x)和它对应，那么就称f : AB为从集合A到集合B的函数，记作y =f(x), xGA其中x叫自变量，x的取值范闱A叫做函数y = f(x)的定义域；与x的值相对应的y的值叫做函数值，函数值的集 合f(X)I XG a (CB)叫做函数y=f (x)的值域.对函数概念的理解需注意以下几点： 函数首先是两个数集之间建立的对应，A、B都是非空数集，因此定义域(或值域)为空集的函数不存在。 对于x的每一个值，按照某种确定的对应关系f,都有唯一的y值与它对应，这种对

2、应应为数与数之间的一一对 应或多一对应 认真理解y = f(x)的含义：y= f(x)是一个整体，y= f(x)并不表示f与x的乘积，它是一种符号，它可以是 解析式，也町以是图像，也町以是表格 函数符y= f(x)表示“y是x的函数”，有时简记作函数f(x).【例1】判断卜列对应能否表示y是X的函数：(1) y = |x| ； (2) |y| = x ； (3) y = x3： (4) y2 = x ： (5) y2 + x2 = 1 ： (6) y2 - x2 = 1 o【练1判断卜列图象能农示函数图彖的是()(A)IC)(D)区间的概念和记号设a,beR，且ab.我们规定： 满足不等式a&

3、lt;x<b的实数x的集合叫做闭区间，表示为a,b： 满足不等式a<xb的实数x的集合叫做开区间，表示为(a,b)； 满足不等式a<x<b或a<X<b的实数x的集介叫做半开半闭区间，分别表示为a, b) , (a, b.这里的实数a和b叫做相应区间的端点.在数轴上，这些区间都可以用一条以a和b为端点的线段来表示，在图中，用实心点表示包括在区间内的端点，用空心点表示不包括在区间内的端点：定义名称符号数轴表示x|a<x<b闭区间a, bab>x|a<x<b)开区间(a. b)abQ©>(x|a <x<b)

4、左闭右开区间a, bab >x | a<x<b)左开右闭区间(a. b)a b>这样实数集R也可用区间表示为(-s,+s), “ s”读作“无穷人”，读作“负无穷人”，“ + S ”读作“正无穷 人".还可把满足x>a» x>a, x<b, x<b的实数x的集合分别表示为a, +s ) , (a, +co ) , (- co , b , (- co, b). 注意:：书写区间记号时： 有完整的区间外围记兮(上述四者之一)； 有两个区间端点，且左端点小于右端点： 两个端点之间用"，”隔开. 无穷大是一个符号，不是一个数

5、 以“-6 ”或“ + s "为区间一端时，这一端必须是小括号。【练】试用区间表示卞列实数集：(1) x|5Wx<6； (2 ) x|x9) ； (3) x| x_l 0 (x|-5 Wx<：2； (4) xI x<-9)U x19<x<20 o函数的三要素：定义域、对应关系和值域函数的定义域：闻数的定义域是自变最X的取值范用，它是构成函数的觅要组成部分，如果没有标明定义域，则认为定义域是 使函数解析式右意义的或使实际问题有意义的X的取值范鬧函数y=f(Q的定义域的求法： 若f(x)是整式，则函数的定义域是实数集R： 若f (x)是分式，则函数的定义域是

6、使分母不等于0的实数集： 若f (x)是二次根式，则函数的定义域是使根号内的式子大于或等于0的实数集合； 若f&)是由几个部分的数学式子构成的，则函数的定义域是使各部分式子都有意义的实数集合； 若f(x)是由实际问题抽象出來的函数，则函数的定义域应符介实际问题.如为半径r与圆面积S的函数关系为S=TTr，的定义域为(r | r>0) f(X)=x°的定义域是xGR | xHO注意：列不等式(组)求两数的定义域时，考虑问题要全面，要耙所有制约自变最取值的条件都找出来。【例1】求下列函数的定义域： f (x) = : f(x)二 j3x+2 : f (x) = Vx + 1

7、 +.x-22-x【练1】求卜列函数的定义域：（3） y= Jx+8 + >/3 - x(1) f(x)=-(2) f(x)二返亘x-4x+2表达式中参数求法：根据定义域或其他的条件找到参数应满足的条件或表达式，从而求出相应参数的取值范围。【例1】若函数y =厂1ax" 一 ax+ Va的定义域是R，求实数a的取值范围.【练1】已知函& f(x) = yjkx2 6kx+(k4 8)的定义域为R.求实数k的范闱复合函数1复合函数定义定义：设函数y= f(u), u = g(K),则我们称y = f(g(x)是由外函数y= f(u)和内函数u二g(X)复合而成的复介函数其

8、中x被称为直接变量，u被称为中间变量。复介函数中直接变最x的取值范用叫做复介函数的 定义域，中间变量u的取值范闱，即是g(x)的值域，是外函数丫= F(u)的定义域。设 f(x)=2x-3. g(x)=x2+2,则称 <g(x) =2(x2+2)-3=2x2+1 (或gf(x) =(2x-3)2+2=4x2-12x+11)为复合函数，这 样把两个函数，或者几个函数套在一起，就称为复合函数.做复介函数的题目，一定要分清几个函数叠套的关系，知道什么是真正的自变量.2 定义域问丿复介函数的定义域，就是复介函数y二f(g(x)中x的取值范|制。题型一、已知F(k)的定义域，求fg(x)的定义域。

9、例1己知函数f (x)的定义域为(0. 1),求f (x2)的定义域.题型二、已知fg(x)«定义域，求f(x)的定义域。例2 f(2x+l)定义域为2,5求f(x)的定义域。题型三、已知一个复合函数求另一个复合函数的定义域例3己知两数f (x+l)的定义域为一2, 3,求f (2x2-2)的定义域.【配套练习】1.若f(x)的定义域为x>2,则f(x+3)的定义域为2设函数f(x)的定义域为0, 1,则函数f(丘一2)的定义域为3. 已知函数y=f (x)的定义域为0, 1,求f (jr-1)的定义域.4. 已知函数y=f (x-1)的定义域为0, 1,求f (x)的定义域.

10、5.己知函数y=f (x-2)的定义域为1, 2,求y=f (x+3)的定义域函数的对应法则： 对应关系f是函数关系的本质特征，y=f(x)的让乂是：y就是x在关系f卜的对应值，而f是“对应“得以实 现的方法和途径如f(X)=3x+4, f表示3倍的自变量加上4, f (8) =3x8+1=28 f(x)与f(a)的区别f(a)表示f(x)在沪a时的函数值，是常量：而f(x)是x的函数，通常是变量.f (町是f(x)的一个特殊值。如一 次函数f(X)=3xM,当w8时，f (8) =3x8+4=28是一个常量。【例 1】己知函数 f(X)=3x3-5x+2,求 f(3), f(-V2 ), f

11、 (a+1).函数的值域：对Py= f(x), xgA,与x的值相对应的y的值叫做函数值，函数值的集合f(x)| xg A)叫做函数 y=f(x)的值域。题型2函数的值域1. 一次函数【例1求f（x）=-3x+2,xw-3）的值域2. 二次函数（配方法）特征：f<x>ax，+bx+c 对策： 先找二次函数的对称轴， a、若对称轴在定义域内，y的两个最值点分别出现在顶点处及距对称轴较远处b、若对称轴不在定义域内，则将定义域两端点代入函数，即得y的两个最值点 【例1】求函数y=x3-2X+5的值域。【例 2】f(x)=2x2 + 4x-l,XG-3,0)的值域【例 3】f(x)=-2x

12、2 + 4x-l,xe(2的值域。【练1】函数f（x） = x+l,xe-1,1,2的值域是 （）A. 0,2,3B. 0 <y<3C. 0,23D. 03【练2】函数y二3-仮的值域是【练3】f（x） = x2 + 2x+l, xg-2,2的最大值是【练4】函数y二2- J_x，+4x的值域是（）A. -2,2 B. 1,2 C. 0,2 D. JI, JI【练5】若函数y=x2-3x-4的定义域为0,m,值域为4则m的取值范闱是(4A (0,4Bc |3D 严)1 3【练6】若函数y =-x2-x + 的定义域和值域都是则实数b的值为 【练 7】已知函数 f(x)= ax? +

13、 (b-8)x-a-ab,当xg(-3,2)时，f(x)>0,当 xw(-s)U(2,+s)时，f(x)<0(1) 求f(X)&XGOj上的值域。(2) 当c取何值时，aF + bx+c<0恒成立。带参数的二次函数：函数中带有参数或定义域里有参数，均已讨论对称轴在区间的位置为方向【例1】(1)求函数f (x) = x2 + ax-l,xe-2,2的值域:【例2】对于二次函数y =疋+ 4*+3,当in<x<m+2时，求出函数的最小值。【练1】已知函数f(x) = x2 + ax+3 ,当xw-2刀时，f(x) > a恒成立，求a的最小值.【练2】设函

14、数f(x) = x2-4x+LxGtt+l,求f(x)的故小值g(t)的解析式.M反比例函数【例1】求尸2 j2在xw -JL上的值域一3x+43【练1】求y =32x+l在xw -,4上的值域。4.分离常数法【练】y诗2x+l x35打勾函数法【例 1 (1) y = x+ 丄.(2) y=x+2 + + 3xx+2【练1】己知x>2,求y=x+丄的最小值为X- 2【练2】求y=2x+ (x23)的值域。x-2【练3】当x>-l时，求f(x)=X 3x + 1的最小值是X + 16.次根式函数换元法：f (x) = ax+ Vbx+c解题方法：换元法，取t =则将原函数改写为二次

15、函数求值域，记得写新定义域b【例1】求函数y =x+>/口的值域。【练1】求函数求两数y =x+2后1的值域7.带绝对值或分段函数【例】求函数y=|x+l| + |x-2|的值域.【练1】求函数f(x)=|x-2| + |3-x|的值域:【练2】求分段函数f(x)J"-x(°83)的值域 lx2 + 6x(-2 <x<0)函数的解析式K待定系数法【例】(1)己知二次函数f(x)满足f(l) = l, f(-l) = 5，图象过原点，求f(x)；【练1】已知yi= f (x)表示过(0,-2)点的一条直线，ypg(x)表示过(0,0)点的另一条直线，又f g

16、 (x)= gf (x)=3x2,求这两条直线的交点坐标。【练2】己知f (/ (x) =2x1.求一次函数/ (x)【练3】设次函数f(©满足f(x+2)= f(2-x)Jl f(x)=0的两实根平方和为10,图象过点(0,3),求f(x)的解析式。【练巾】 己知b为常数，若f(x) = X，+ 4x+3，f(x+b)=亍+ 10*+24 ,则b =【练5】已知二次函数f(x)的二次项系数为a,且不等式f(x)>-2x的解集为(1,3)。(1) 若方程f(x) + 6a=0有两个相等的根，求f(x)的解析式；(2) 若f(x)的最人值为正数，求a的取值范帼。2、代入法【练 1

17、】己知 f(x) = 3x2+l. g(x) = 2x-l,求 fg(x)和gf(x).【例】己知f(x-b=x' + = ,求换数f(x)的解析式。 XX*3、配凑法【例】已知f(x+l) =云一2乳，求f(x).【练1】己知f(仮+1) = x+2仮.求f(x+1).【练2】已知f(x+l)=x3 +4换元法【例】己知f(®+l) = 3x,求f(x)的解析式。X【练 1】己知f (x+1) =x2+3x+4,求f (x)【练2】己知f ()=+1，求f(X)X5、构造方程法：若己知抽象函数的表达式.则常用解方程组消参的方法求出f(x) 【例】己知f(x)满足2f(x)+

18、f(Z) = 3x,求f(x).X【练1】己知f(x)满足3f(x)-f(-x) = 2x-l,求f(x)的解析式。【练 2】己知2f(-x) + f(x) = 3x-l,求 f(x) o【配套练习】1.己知函数 f (x) =4x+3» g(x)=x3 9 求 f f (x) f g (x) > gf (x), gg (x) o2.设函数 f (x) = 2x+ 3,g(x) = 3x-5 ,求 f (g(x),g(f (x).3己知 f (2x+l) =x2 + x-2 ,求 f(x)的解析式.4已知 f (jr-1) =,-3x+4,求 f (2x-3)的解析式。5.已知

19、 f(2x+l) = x2-2x,求 f(2jl + l)和 f(2V2+3).6. 已知r (卍)"+夕,求f 3的解析式7. 己知函数f(x)满足2f(x)+ f(-x)=x2+2x,贝ijf(x)的解析式8已知函数f(X)是一次函数.且满足关系式3/(x+l) 2f (x1) =2才+17,求f(x)的解析式.相同函数的判定:只有为对应法则、定义域、值域.这三要素完全相同时两个函数才能称为同一函数. 卜列函数屮哪个与函数y =xJ同一个函数？【例 1 】(l)y=(妖；(2)y = V?： (3)y= V?【练1】卜列各组函数表示同一函数的是()A. f(x) = >/?

20、 , g(x) = (>/x)2C f(x)= V? , g(x) = (/x)2B f(x)=l, g(x) = x°D.f(x) = x+l , g(x) =x2-!x-1【练2】下列各组函数中，表示同一函数的是()(A) y =| x|,y = V?(B) y = y/x-2 x/x + 2,y = >/x2 -4(D) y=i x|,y = (Vx)2作业1.求卜列函数的值域:(2) y - a/-2 - 6x- 52.判断题：（1）函数值域中的每一个数都有定义域中的数与之对应（）（2）函数的定义域和值域一定是无限集合；（）（3）定义域和对应关系确定后，函数值域也

21、就确定；（）（4）若函数的定义域只有一个元素，则值域也只有一个元素：（）（5）对于不同的x, y的值也不同：（）（6）f （a）表示当x二a时，函数f （x）的值，是一个常量。（）2. 给出如下 3 个等式：f(x+y)= f(x)+f(y) ,f(x)+F(y) , f(取)=f(x) f(y)，则函数 f(x)= x2 f(x)=3xf(x)=if(x)=O 都满足上述3个等式的是DXA f(x)= x3B f(x)= 3xC f(x)= D f(x) = 06-若函数 y = f (x )的定义域是x| 0 < x < 1则函数 F (x) = f (x+n) + f ( 2

22、 x 4- a ) ( 0 < a < I ) 的定 义域是( A)a1 _ aa1 aA. x|- <x< B. x|-<x<l-a C . x|-a <x<l-a) D. x|-a <x<)2 2 2 23. 函数f(x) = x2-2x + 3在0,m的最人值为3,瑕小值为2,则实数m的取值范開是10.函数f (x) = -x2 + 4x在>m)的值域是-5,4,贝ijn+m的最大值为7 .4. 坷,冷是关于x的一元二次方程x2-2(m-l)x+m+l = 0的两个实根，又y =彳+衬，求=f(m)的 解析式及此因数的定义

23、域5.对于任悲实数K,函数f（x） = （5-a）x-6x4-a4-5恒为正值，求a的取值范国6 己知怖数f(x) = axr-2ax+3-b(a >0)在1、3有最大值5和最小值2 求a、b的值7设一个矩形周长为80.其中一边长为/求它的面积关于x的惭数的解析式并写出定义域8己知怖数f (x) = x2 + ax+3 >当xg-2,2时.f (x) > a恒成立.求a的最小值.9若函数f(x)的定义域是0, 1,求fQ-2x)的定义域;10.若f(2x-l)的定义域是-b 1,求函数f(x)的定义域:11. 己知f(x+3)定义域是-4J),求f(2x-3)定义域.12. 己知f(x) = x2+l,求f(x-l)的解析式13. 己知 f(x-l) = (x+l)2+l> 求 f(x)的解析式14. 己知f(x-l) = x+Z ,求f(x)的解析式X15. 已知 f(x-i) = x2 +求 f(x+l)的解析式XX-16 .己知a、b为常数.若 f(x) = x2 + 4x+3, f(ax+b) = x2+10x+24,则求5a -b 的值17.若二次函数的图彖与x轴交于A(-2,0),B(4