数学必修二第二章测试题(含标准答案)

1、第二章综合检测题时间120分钟,总分值150分.一、选择题本大题共12个小题,每题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的1 .假设直线a和b没有公共点,那么a与b的位置关系是A.相交B.平行C.异面D.平行或异面2 .平行六面体ABCDA1B1C1D1中,既与AB共面也与CC1共面的棱的条数为A.3B.4C.5D.63 .平面口和直线1,那么内至少有一条直线与1A.平行B.相交C.垂直D.异面4 .长方体ABCDA1B1C1D1中,异面直线AB,A1D1所成的角等于A.30B.45C.60D.905 .对两条不相交的空间直线a与b,必存在平面&使得A.a?%b?bB.

2、a?&b/aC.aXa,bXaD.a?&bXa6 .下面四个命题：假设直线a,b异面,b,c异面,那么a,c异面；假设直线a,b相交,b,c相交,那么a,c相交；假设a/b,那么a,b与c所成的角相等；假设ab,bc,贝Uac.其中真命题的个数为A.4B.3C.2D.17 .在正方体ABCDA1B1C1D1中,E,F分别是线段A1B1,B1C1上的不与端点重合的动点,如果AiE=BiF,有下面四个结论：EFAAi；EF/AC;EF与AC异面；EF/平面ABCD.其中一定正确的有A.B.C.D.8 .设a,b为两条不重合的直线,%3为两个不重合的平面,下列命题中为真命题的是A.假设a,b与x所成

3、的角相等,那么a/b9 .假设a/&b/&那么a/bC.假设a?&b?&a/b,贝UallBD.假设a,&b,&3,&贝Ua,b10 平面/平面&mB=l,点A6&A?l,直线AB/1,直线ACL1,直线m/&n/&那么以下四种位置关系中,不一定成立B.ACmD.ACB的是()A.AB/mC.AB/B11 .2021大纲版数学文科正方体ABCDAiBiCiDi中,E、F分别为BB1、CC1的中点,那么直线AE与DF所成角的余弦值为B.5D-3A.-45C3C.411 .三棱锥DABC的三个侧面与底面全等,且AB=AC=BC=2,那么以BC为棱,以面BCD与面BCA为面的二面角的余弦值为(_)C

4、.0-3-1A至B.312 .如下图,点P在正方形ABCD所在平面外,PA,平面ABCD,PA=AB,那么PB与AC所成的角是B.60D.30A.90C.45二、填空题本大题共5小题,每题5分,共25分.把答案填在题中的横线上13 .以下图形可用符号表示为./B/14 .正方体ABCDAiBiCiDi中,二面角CiABC的平面角等于.15 .设平面%/平面&A,C6&B,D6&直线AB与CD交于点S,且点S位于平面&B之间,AS=8,BS=6,CS=i2,那么SD16 .将正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角A-BD-C,有如下四个结论：ACLBD;4ACD是等边三角形；AB与平面BCD成6

5、0的角；AB与CD所成的角是60.其中正确结论的序号是.三、解做题本大题共6个大题,共70分,解容许写出文字说明,证实过程或演算步骤17 .i0分如以下图,在三棱柱ABC-AiBiCi中,zABC与AiBQi都为正三角形且AAJ面ABC,F、Fi分别是AC,AiCi的中点.求证：i平面ABiFi/平面CiBF;2平面ABiFi,平面ACCiAi.分析此题可以根据面面平行和面面垂直的判定定理和性质定理,寻找使结论成立的充分条件.18 .(本小题总分值12分)如下图,在四棱锥PABCD中,PAX平面ABCD,AB=4,BC=3,AD=5,/DAB=/ABC=90,E是(1)证实：CD,平面FAE;

6、(2)假设直线PB与平面FAE所成的角和PB与平面ABCD所成的角相等,求四棱锥PABCD的体积.19 .(12分)如下图,边长为2的等边PCD所在的平面垂直于矩形ABCD所在的平面,BC=2,2,M为BC的中点.(1)证实：AMXPM;(2)求二面角PAMD的大小.20 .(本小题总分值12分)(2021辽宁文,19)如图,棱柱ABCA1B1C1的侧面BCC1B1是菱形,B1CXA1B.Ci(1)证实:平面ABC平面AiBCi；设D是A1C1上的点,且AiB/平面BiCD,求AiDDCi的值.221 .(i2分)如图,ABC中,AC=BC=2AB,ABED是边长为i的正方形,平面ABED,底

7、面ABC,假设G,F分别是EC,BD的中点.c(i)求证：GF/底面ABC;(2)求证：AC,平面EBC;(3)求几何体ADEBC的体积V.分析(i)转化为证实GF平行于平面ABC内的直线AC;(2)转化为证实AC垂直于平面EBC内的两条相交直线BC和BE;(3)几何体ADEBC是四棱锥C-ABED.22 .(12分)如以下图所示,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AC=3,BC=4,AB=5,AA=4,点D是AB的中点.Bi(1)求证：ACBC1；(2)求证：AG/平面CDB(3)求异面直线AC1与&C所成角的余弦值.详解答案1答案D2答案C解析AB与CC1为异面直线,故棱中不存在同时与两者

8、平行的直线,因此只有两类：第一类与AB平行与CG相交的有：CD、C1D1与CC1平行且与AB相交的有：BB1、AA1,第二类与两者都相交的只有BC,故共有5条.3答案C解析10直线l与平面口斜交时,在平面口内不存在与l平行的直线,.A错；23 1?%时,在口内不存在直线与l异面,.D错；24 1/寸,在口内不存在直线与1相交.无论哪种情形在平面口内都有无数条直线与l垂直.4答案D解析由于AD/A1D1,那么/BAD是异面直线AB,AQi所成的角,很明显/BAD=90.5答案B解析对于选项A,当a与b是异面直线时,A错误；对于选项B,假设a,b不相交,那么a与b平行或异面,都存在&使a?%b/%

9、B正确；对于选项C,a1%b,&一定有alZb,C错误；对于选项D,a?%b,一定有ab,D错误.6答案D解析异面、相交关系在空间中不能传递,故错；根据等角定理,可知正确；对于,在平面内,a/1c,而在空间中,a与c可以平行,可以相交,也可以异面,故错误.7答案D解析如下图.由于AAi,平面AiBiCiDi,EF?平面AiBiCiDi,那么EFAAn所以正确;当E,F分别是线段ABi,Bi的中点时,EF/AiCi,又AC/AiCi,那么EF/AC,所以不正确；当E,F分别不是线段AiBi,BiCi的中点时,EF与AC异面,所以不正确；由于平面AiBiCiDi/平面ABCD,EF?平面AiBiC

10、iDi,所以EF/平面ABCD,所以正确.8答案D解析选项A中,a,b还可能相交或异面,所以A是假命题；选项B中,a,b还可能相交或异面,所以B是假命题；选项C中,%B还可能相交,所以C是假命题；选项D中,由于a,%/&那么a/B或a?&那么B内存在直线la,又b&那么bl,所以ab.9答案C解析如下图：AB/l/m;ACl,m/1?ACm;AB/l?AB/8、310答案3命题意图本试题考查了正方体中异面直线的所5成角的求解的运用.解析首先根据条件,连接DF,然后那么角DFDi即为异面直线所成的角,设边长为2,那么可以求解得到由=DF=DiF,DDi=2,结合余弦定理得到结论.11答案C解析取

11、BC中点E,连AE、DE,可证BCXAE,BCXDE,/./AED为二面角A-BCD的平面角又AE=ED=V2,AD=2,./AED=90,应选C.12答案B解析将其复原成正方体ABCDPQRS,显见PB/SC,AACS为正三角形,/13答案加+AB14答案45解析如下图,正方体ABCDAiBiCiDi中,由于BCAB,BCiXAB,那么/CiBC是二面角CiABC的平面角.又BCCi是等腰直角三角形,那么/CiBC=45.如以下图所示,连接AC,BD,ASCSSB=SD,.6=Sf,解得SD=9.i5答案9解析那么直线AB,CD确定一个平面ACBD.:all&二AC/1BD,i6答案解析如下

12、图,取BD中点,E连接AE,CE,那么BDLAE,BDXCE,而AEACE=E,.BD,平面AEC,AC?平面AEC,故ACBD,故正确.设正方形的边长为a,那么AE=CE=*2a.由知/AEC=90是直二面角ABDC的平面角,且/AEC=90,/.AC=a,.ACD是等边三角形,故正确.由题意及知,AE,平面BCD,故/ABE是AB与平面BCD所成的角,而/ABE=45,所以不正确.分别取BC,AC的中点为M,N,连接ME,NE,MN.11那么MN/AB,且MN=AB=2a,_一_1-1ME/CD,且ME=2CD=,a,/EMN是异面直线AB,CD所成的角.2在RtzAEC中,AE=CE=2

13、a,AC=a,一11 .NE=2AC=2a.MEN是正二角形,./EMN=60,故正确.17证实(1)在正三棱柱ABCA1B1C1中,.F、Fi分别是AC、A1C1的中点, BiFi/BF,AF1/C1F.又B1F1nAFLF1,C1FABF=F,平面ABFi/平面CiBF.(2)在三棱柱ABC-A1B1C1中,AAi,平面AiBiCi,BiFiAAi.又BiFJAiCi,AiCiAAAi=Ai, .B1F1,平面ACGAi,而BFi?平面ABFi,平面AB1F1,平面ACC1Al.18解析p(1)如下图,连接AC,由AB=4,BC=3,/ABC=90,得AC5.又AD=5,E是CD的中点,所

14、以CDXAE.PA,平面ABCD,CD?平面ABCD,所以PAXCD.而PA,AE是平面PAE内的两条相交直线,所以CD,平面PAE.过点B作BG/CD,分别与AE,AD相交于F,G,连接PF.由(1)CD,平面PAE知,BG,平面PAE.于是/BPF为直线PB与平面PAE所成的角,且BGXAE.由PA,平面ABCD知,/PBA为直线PB与平面ABCD所成的角.AB=4,AG=2,BGXAF,由题意,知/PBA=/BPF,一.PABF一一由于sin/PBA=而,sin/BPF=而,所以PA=BF.由/DAB=/ABC=90知,AD/BC,又BG/CD,所以四边形BCDG是平行四边形,故GD=B

15、C=3.于是AG=2.在RtBAG中,AB=4,AG=2,BGXAF,所以BG=a/aB2+AG2=2BF=G=2=5.于是PA=BF=8/55.1又梯形ABCD的面积为S=X(5+3)X4=16,所以四棱铤P-8.5128,55=15.ABCD的体积为1-1V=xSXPA=-x16X3319解析(1)证实：如下图,取CD的中点E,连接PE,EM,EA, PCD为正三角形,PE,CD,PE=PDsin/PDE=2sin60=V3. 平面PCD,平面ABCD,PE,平面ABCD,而AM?平面ABCD,.PEXAM. 四边形ABCD是矩形, .ADE,AECM,zABM均为直角三角形,由勾股定理可

16、求得EM=m,AM=a,AE=3, .EM2+AM2=AE2.AM,EM.又PEAEM=E,.AM,平面PEM,/.AMXPM.(2)解：由(1)可知EMXAM,PMXAM,/PME是二面角PAMD的平面角./PME=45.PE3. .tan/PME=-pr7=1,EM3二面角PAMD的大小为45.20解析(1)由于侧面BCCiBi是菱形,所以BiCBCi,又BiCXAiB,且AiBABCi=B,所以BiC,平面AiBCi,又BiC?平面ABiC所以平面ABiC,平面AiBCi.设BCi交BiC于点E,连接DE,那么DE是平面AiBCi与平面BiCD的交线.由于AiB/平面BiCD,AiB?平

17、面AiBCi,平面AiBCiA平面BiCDDE,所以AiB/DE.又E是BCi的中点,所以D为AiCi的中点.即AQDCii.2i解(i)证实:连接AE,如以下图所示. ADEB为正方形, AEABD=F,且F是AE的中点,又G是EC的中点, .GF/AC,又AC?平面ABC,GF?平面ABC, .GF/平面ABC.(2)证实：ADEB为正方形,EBXAB,又平面ABED,平面ABC,平面ABEDA平面ABC=AB,EB?平面ABED,BE,平面ABC,/.BEXAC.2又AC=BC=2AB, .CA2+CB2=AB2,.-.ACXBC.XvBCABE=B,.AC,平面BCE.(3)取AB的中点H,连GH,.BC=AC=乎AB=,1.,.CHXAB,且CH*,又平面ABED,平面ABC .GH,平面ABCD,/.V=xix*!32622解析(1)证实：在直三棱柱ABC-A1B1C1中,底面三