数列通项公式求法大全

1、数列通项公式的十种求法一、公式法2n1,a1an23n2(n1)5nan,a13,求数列an的通项公式。二、累加法an1anf(n)例1已知数列an满足an1an例2已知数列an满足an1(an3nn1.)三、累乘法an1f(n)an例3已知数列an满足an1n(n1)(an32n15n!.)1,求数列an的通项公式。ann21,a13,求数列an的通项公式。评注:本题解题的关键是把递推关系an12(n_nan1)5an转化为2(n1)5,进而求an出包包_工L%a2&,即得数列烝的通项公式。an1an2a2a1例4已知数列an满足a11,anai2a23a3L(n1)an(n2),求an的通

2、项/一/n!、公式。(an.)2评注：本题解题的关键是把递推关系式an1(n1)an(n2)转化为n1(n2),an进而求出-a-al生a2,从而可得当n2时，an的表达式，最后再求出数列an的an1an2a2通项公式。四、待定系数法an1panqan1panfnan2pan1qan(其中p,q均为常数)。例5已知数列an满足an12n12an35n,ai6,求数列为的通项公式。评注：本题解题的关键是把递推关系式45n的通项公式，最后再求出数列an12an35n转化为加i5n12(加5n),从而可知数列an5n是等比数列，进而求出数列an的通项公式。例6已知数列an满足an13an52n4,a

3、11,求数列an的通项公式。(an133n152n2)评注：本题解题的关键是把递推关系式an13an52n4转化为an152n123(an52n2),从而可知数列an52n2是等比数列，进而求出数列an52n2的通项公式，最后再求数列an的通项公式。例7已知数列an满足an12an3n24n5,a11,求数列an的通项公式。_n42(an2n43n210n18)评注：本题解题的关键是把递推关系式an12an3n24n5转化为,、2,、一22一an13(n1)10(n1)182(an3n10n18),从而可知数列22an3n10n18是等比数列，进而求出数列an3n10n18的通项公式，最后再求

4、出数列an的通项公式。五、递推公式为Sn与an的关系式(或Snf(an)S1解法：这种类型一般利用an1SnSn1(n(n1)2)例8已知数列an前n项和Sn4.(1)求an1与an的关系；(2)求通项公例9已知数列an满足an13an3,求数列an的通项公式。解：an123n1两边除以0n17日an13，仔力3an3n则上3n1an23n3上,故3n1因此新3n2(n1)蒋(13n1)32n33n3n评注：本题解题的关键是把递推关系式an3an23n1转化为an1an23n13n3a进而求出（3nan1an1an2x3n13n13n2(亘3n2a_2)L3n3(曳3231an3n的通项公式，

5、最后再求数列an的通项公式。七、对数变换法（当通项公式中含哥指数时适用）n5例10已知数列an满足an123an,7,求数列an的通项公式。解：因为an123na；,0,an1n500在an123an式两边取常用对数得lgan15lgannlg3lg2设lgan1x(n1)y5(lganxny)11将式代入5lgannlg3lg2x(n1)y5(lganxny),两边消去5lgan并整理,得(lg3x)nxlg25xnlg3x5x4y,故xylg25ylg34lg3lg2164蛆n鲂_监1gan4n1645,代入旧式，得lga峋(n1)里史5(lgan吗幽暨IIIn416441641g31蛆跖

6、/1/跖。及416441641g3n1g31g2信1gan彳1而彳,1gan11g2所以数列1gan由3n1g303是以1g7监幽旦2为首项，以5为公比的等416441641g31g31g21g31g31g2n1,tt比数列，则1gann士一(1g73)5,因此n416441641g31g31g2xrn11g31g31g21gan(1g7)5n-4164464111n11(1g71g341g361g24)5n11g3%1g3行1g2，111n111g(7343石24)5n11g(373语2b111n111g(733行24)5n11g(33行2”)5n1n5n115n11以75n13-3元2丁)

7、5n4n15n111g(75n13162丁)5n4n15n11则an75n13162k评注：本题解题的关键是通过对数变换把递推关系式an123nan转化为1gam(n1)蛇庭5(1gan蛇n蛇监)，从而可知数列41644164.1g31g31g2.1g31g31g2、1ga-n是等比数列，进而求出数列1gan-n士一的通项41644164公式，最后再求出数列an的通项公式。八、迭代法3(n1)2n3n2n13(n1)2n23n2n1解：因为an1摩)，所以anan1an2又a15,所以数列an的通项公式为an5n(n1)3n1n!2-2)。评注：本题还可综合利用累乘法和对数变换法求数列的通项公

8、式。即先将等式an1an(n1)2n两边取常用对数得lgan13(n1)2nlgan,即1gan1lgan3(n1)2n,再由累乘法可推知,lganlgan1.lganLlgan1lgan2lga3lga2|ga2igaIgain(n1)3n1n!2-2-ig5n1n(n1)3n1n!2：_一,从而an52。九、数学归纳法例12已知数列an满足an1an8(n1)(2n1)2(2n3)-,求数列an的通项公式。9解：由an1an8(n1)(2n1)2(2n3)2由此可猜测an(2n1)212(2n1)2,往下用数学归纳法证明这个结论。(1)当n1时,(211)21现-(211)28,所以等式成

9、立。9(2)假设当nk时等式成立，即akk1时,由此可知，当nk1时等式也成立。根据(1),(2)可知，等式对任何nN都成立。n项，进而猜出数列的通项评注：本题解题的关键是通过首项和递推关系式先求出数列的前公式，最后再用数学归纳法加以证明。十、换元法例13已知数列an满足an1(14anM24an),&16一/-：12解：令*J2倏，则品不1)一121.故an1-(bn11),代入an1(14anJ124an)得2416即4b：1(03)2因为bn/24an0,故bn1*24%0i13则2bn1bn3,即bn1必一,22一，、，1可化为bn13(b3),2所以bn3是以43J124al3W24132为首项，以g为公比的等比数列，因此