微观经济学计算题练习精讲

1、河南洛阳(平顶山)李恒运微观经济学计算题1.某君对消费品x的需求函数为P=100-;Q,分别计算价格P= 60和P= 40时的价格 弹性系数。解：由 P=100-R,得 Q=(100 P)2,E这样，dP P=2(100-p)(-1)总彳-2P26100 -P-2 60100 -60-12040-3-80 _ 460 一 3-2 40P 40 二100-40即，当价格为60和40时的点价格弹性系数分别为-3和-4/32.假设某商品的50%为75个消费者购买，他们每个人的需求弹性为-2,另外50%为25 个消费者购买，他们每个人的需求弹性为-3,试问这100个消费者合计的弹性为多少？解：设被这1

2、00个消费者购得的该商品总量为 Q其市场价格为Po据题设，其中75人购买了其总量的一半，且他们每人对该商品的需求弹性为-2,这样，他们每人的弹性EdidQi dPPQidQi dPQi i ,i =1,2 ,7575且、Qi =Q/2i 1又，另外25人购买了其总量之另一半，且他们每人对该商品的需求弹性为-3,这样，他们每人的弹性EdjdQj P dQjQj一3二市 Q?市二一3mL1,2, ,2525且 、Qj =Q/2 j 1由此，这100个消费者合计的弹性为EddQ P dQi 八 Qj） PdP QdP=（ 咀+ ） Pi4 dP j4 dP Q将式(1)、(3)代入，得75Qi25Q

3、jPEd （-2 ）- （-3 ）-i 1Pj 4 PQ_ n 75_ o 25Px/Py时，角解是预算线与横轴的交点，如图 319(a)所示。这时，y = 0由预算方程得，x=M/Px最优商品组合为(M/Px , 0)当b0,求：(1)当价格为P1时的消费者剩余是多少？ 当价格由P1变到P2时消费者剩余变化了多少？解：(1)由g = a-bP,得反需求函数为P =?qlb设价格为pl时，需求量为q1, q1=a-bP1a -q消费者剩余)dq - piqi =12aq -2qqio - piqiLapi bPi2 2b 2(2) 设价格为p2时，需求量为q2, q2= a-bp2 消费者剩余

4、变化量q2 a - q 2 24aq= o(P)dq-pq -1。(干)方-明i 2_ aq4qbq2厅b 2、。一匹一加一吨2pi)一 i 一22,aq2 _2 q2ab 2= p2q2 - (- - apipi)b2b22.2.a 2 b 2 zab 2、app2 -(apipi)2b 2 2b 2b 2 b 2=2 p2 2 pi -a。？ api5. X 公司和Y公司是机床行业的两个竞争者。这两家公司的主要产品的需求曲线分别为：公司 X: Px= i 000-5Qx ,公司 Y: Py= i 600-4Qy。这两家公司现在的销售量分别为 I00单位X和250单位Y。(I)求X和Y当前的

5、价格弹性。(2)假定Y降价后，使Qy增加到300单位，同时导致X的销售量Qx下降到75单位，试问X公司产品X的交叉价格弹性是多少？解：(a)由题设，Qx= I00, Qy=25Q 则Px = i 000-5Qx = i 000-5 X i00= 500Py = i 600-4Qy = i 600-4 X 250= 600于是x之价格弹性匚 dQx Pxi 6003d-dxdPx Qy4 2505y 之价格弹性dQy Py1 6003Edyd dPy Qy4 2505(b)由题设，Q y = 300, Q x=75这样， p y=i 600-4Q y=1 600-4 义 300=400 Qx=

6、Qx-Qx= 75-100= -25 Py=Py-Py=400-600=-200于是，X公司产品x对Y公司产品y的交叉价格弹性nx (Py Py)/2E 二韦(Qx Qx)/2_ -25(6000 400)/2-200(100 75)/21 1000=一 X8 175125175=5/7即交叉价格弹性为5/7。6.令消费者的需求曲线为p=a-bp, a、b0,并假定征收lOOt %的销售税，使得他支付 的价格提高到P(1+t) o证明他损失的消费者剩余超过政府征税而提高的收益。解：设价格为p时，消费者的需求量为q1,由p=a-bq1 ,得q1又设价格为P(1+t)时，消费者的需求量为q2,由

7、P= a-bq2q2 =a -(1 t)Pb消费者剩余损失qiq2=0 (a-bq)dq-pqi 0 (a bq)dq P(1+t) qqi二 i (a -bq)dq P(1 t) q2 - pqi q2b 2 q二 (aq-2q ： (1 t) pq? - pqi二(aqi bq2) -(aq2 - bq2) (i t)pq2 - pqi22政府征税而提高的收益=(i+t)pq 2-pqi消费者剩余亏损一政府征税而提高的收益b 2b 2二(aqi -qi ) -(aq2 一二 qz) (i t) pq22 1q22一 pq 一(1 t)pq2 - pq1 二(aq/ b 2、 a(a -b)

8、 b ,a - p、2-(aq2 -q2)()2b 2 baa -(i t)p b a (i t)p 2 b 2 b_ 2tp t . 进而得，q= 2 ,这就是需求曲线。 i6p2p22b_222tp t p .b,t, p 002b因此，消费者剩余损失总是超过政府征税而提高的收益。7.假定效用函数为U= q0.5+2M q为消费的商品量，M为收入。求：(i)需求曲线；(2)反需求曲线；(3)p=0.05 , q= 25时的消费者剩余。解：(i)根据题意可得，商品的边际效用MU = -U- = 0.5q 5-q单位货币的效用为- = =2 2 M若单位商品售价为P,则单位货币的效用九就是商品

9、的边际效用除以价格，即？.=MU/P于是得，=/P,即2=0为. :M ：:qP,1 .一 1(2)由q =2，得p =,这就是反需求曲线。16P4,q 当 p=0.05, q=25 时, 11q 11111洎费者剩余=dq - pq = - q 0 - pq = q2 - pq = - 252 一 0.05 25 = 1.250 4 ；q2228 .若某消费者对X、Y的效用函数如下：U (x) =20X-X2, U (y) = 40Y-4Y2,且Px=2元，Py=4元，现有收入24元，该消费者要花完全部现有收入并获得最大效用，应购买X、Y各多少？2x 4y解： MUX二 24MUYPT2x

10、4y = 2420-2x 40-8y9 .某消费者的效用函数为 U= XY, Px= 1元，Py= 2元，M =40元，现在Py突然下降到1 元。试问：(1)Y 价格下降的替代效应使他买更多还是更少的 Y?(2)Y价格下降对Y需求的收入效应相当于他增加或减少多少收入的效应 ？收入效应使他买更多还是更少的Y?(3)了价格下降的替代效应使他买更多还是更少的X?收入效应使他买更多还是更少的X?Y价格下降对X需求的总效应是多少？对Y需求的总效应又是多少？解：(1)先求价格没有变化时，他购买的 X和Y的量。这时已知，Px= 1, Py= 2, U= XYMU x = y, MU v = Xx a y :

11、yMUx MUy Y X二 ,Px Py12预算方程为：X+2Y = 40解Y=X/2X+2Y=40得X=20 (即图中0X1)Y=10 (即图中0Y1)再求购买20单位的X、10单位的Y在新价格下需要的收入。M=Px x+Py y= 1 X20+1X10= 30(元)最后，求在新价格和新收入(30元)下他购买的X和Y的量v Px=1 , Py= 1, MUx= Y, MU卢XMUx/Px=MUy/Py 即为：Y/1=X/1预算约束为：X+仁30解Y=XX+Y=30得X=15Y=15因此，Y价格下降使他购买更多的y,多购买(15-10)=5单位，在图中从OY1增力口至I OY2(2) 先求y价

12、格下降后，他实际购买的 X和Y的量。v Px=1 , Py= 1, M= 40, MU京Y, MU卢XMUxMUyPxPy即为：Y/1=X/1预算方程为：X+仁40解Y=XX+Y=50得X=20Y=20可见，Y价格下降的收入效应使他购买更多的Y即在图中从OY2增加到OY3购买(20-15)=5 单位。由于在新价格和收入为30元时，他购买15单位的X、15单位的Y。在新价格下，要使 他能购买20单位X、20单位Y,需增加10元收入，即收入为40元。所以，要增购5单位Y 的话，必需增加10元收入，即图中预算线上升到 AB。因此，Y价格下降对Y需求的收入效应相当于他增加10元收入的效应。(3)Y 的

13、价格下降的替代效应使他买更少的 X,少买(20-15)=5单位，即图中X的购买量 从0x1降为0x2收入效应使他购买更多的 X,多买(20-15) =5单位，即图中X的购买量从 0x2恢复到0X1 Y价格下降对X需求的总效应为零。y 价格下降的替代效应使他多购买 5单位Y,收入效应使他也多购买5单位Y。故Y价格 下降对Y需求的总效应为10单位，即图中YY3=YY2+YY3。10 .已知生产函数为Q=2L0.6K0.2,请问：(a)该生产函数是否为齐次函数？次数为若干？(b)该生产函数的规模报酬情况。假如L与K均按其边际产量取得报酬，当L与K取得报偿后，尚有多少剩余产值？解：(a) Q = f

14、(L, K) =2L.6K0.2,f( L, K) =2( L)0.6( K)0.2C 0.61 0.6 0.20.2=2、L KC 0.81 0.60.2=2L K该生产函数为齐次函数，其次数为0.8。(b)根据 a)题f(?LKK) = *：8Q可知该生产函数为规模报酬递减的生产函数。对于生产函数Q=2L0.6K0.2MPPl =2K 02 0.6L9.4 =1.2LJ3.4K0.2MPPk =2L0.8 0.218 0.28 =0.4L0.6K08这里的剩余产值是指总产量减去劳动和资本分别按边际产量取得报酬以后的余额，故 剩余产值=Q-L MPRK - MPP= 2L0.6K0.2 -L

15、 1.2LJ).4K0.2 -K 0.4L0.6K 小= 2L0.6K0.2 -1.2L0.6K0.2 -0.4L0.6K0.2-0.4L0.6K0.2 -0.2Q11 .已知生产函数为Q = f(K,L)=& K L(a) 求出劳动的边际产量及平均产量函数。(b) 考虑该生产函数的边际技术替代率函数(MRTS)勺增减性考虑该生产函数劳动的边际产量函数的增减性。解：(a)劳动的边际产量函数MPP= dQ/dLd /10KL、二 ()dL K L10K(K L)-10KL二 (K L)210K2二2(K L)劳动的平均产量函数 APP=Q/L10KL 1K L L 10KK L(b)生产函数边际

16、技术替代率指产量不变条件下一种生产要素增加的投入量与另一种生产要素相应减少的投入量之比，即 -AK/AL或-dK/dL。为此，需要从生产函数中先求得和L之间的关系，然后从这一关系中求得 dK/dL由生产函数Q二叫K L得 QK+QL =1OKLK(Q-10L)=-QL-QLQ -10L则边际技术替代率 MRTS=-dK/dLd -QLdL(Q -10LQ(Q -10L) -QL (-10)Z 72(Q -10L)2Q2(Q -10L)2当 dK/dL0 时，dK/dL0,即dZCAdZR,故 g4是利润最大或亏损最小的产量。利润 冗dQ2dQ2dQ2 = TR-TC= PQ-(d-6Q2+30

17、Q+40)=30X 4-(43 -6x42 +30x4+40) =-8，可见,当价格为 30 元时,厂商会发生亏损，最小亏损额为 8美元。(3) 厂商退出行业的条件是 PAVC勺最小值。V TC =Q3-6Q2+30Q+20 = VC=Q-6Q2+30Q AVC=VC/Q=Q-6Q+30要求 AVC4低点的值，只要令 dAVC/dQ=0 即 dAVC/da 2Q-6 =0,Q= 3当Q= 3时AVC= 326x3 + 30=21,可见，只要价格 Pd,因此利润极大值为：Tt=TR- TC =dQ2dQ2 dQ2PQ-(C3-6Q2+30Q+40)=66X 6-(6 3-6 X 62+30X 6

18、+ 40) =176,即利润极大值为 176 美元。(2)由于市场供求发生变化，新的价格为P= 30美元，厂商是否会发生亏损？仍要根据P= MC9f决定的均衡产量计算利润为正还是为负。不论利润极大还是亏损最小，均衡条件都为P= MC即30=3Q-12Q+30,. Q=4 Q = 0(没有经济意义，舍去)。一般来说，方程只有一个有经济意义的解时可以不考虑充分条件。 需要验证是否满足充分条件也是可以的。当Q= 4时，, 222一91，= 6X4 -12=120,即01，下91,故 g4是利润最大或亏损最小的产量。利润 冗dQ2dQ2dQ2 = TR-TC= PQ-(d-6Q2+30Q+40)=30X4-(43 6父42 +30乂4+40) = 8，可见，当价格为 30 元时，厂商