必修一函数与其表示讲义

1、1.2.1函数及其表示、映射根据题意填空。映射概念：一般地，设 A, B是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应关系f,使对于集合A中的任意一个元素 x,在集合B中都有唯一确定的元素 y与之对应，那么就称 对应f: A-B是集合A到集合B的映射。如上图：是映射。象与原象：给定一个集合 A到集合B的映射，且a C a, b e b,如果元素a和元素 b对应，那么我们把元素 b叫做元素a的象，元素a叫做元素b的原象。注意：(1)集合A、B、对应关系是一个整体；(2)对应关系有“方向”，强调从A到 B; (3)集合A中元素在集合B中都有象并且是唯一的， 这个唯一性是构成映射的核心；(4) 集合A中不

2、同的元素，在集合B中对应的象可以是同一个，集合 B中元素对应集合 A中的 元素可能不止一个。对应可以为“ 一对一”或“多对一”，但不能是一对多；(5)集 合B中的元素在 A中不一定有原象。(6)如果 A 有 m 个元素,.B有n个元素，则从 隼介Aa耳隼介B叼帙叼(不力口限制),有 nm上。例1:设集合A = N + , B=N+,对应关系f: x-y = 2x,则(1)集合A中元素2所对应的象是。(2)集合B中元素2所对对应的原象是 。【解析】：(1) 4 (2) 1变式练习：设f： A-B是从集合A到集合B的映射，A = B = (x , y) | xC R, y C R,若 f: (x,

3、 y) ( x y, x+ y)(1)求集合 A中元素(一1, 2)在集合 B中对应的元素 。(2)求集合B中元素(一1, 2)在集合 A中对应的元素 。【解析】：(1) (3, 1) (2) (L 3)22二、函数(一)、函数的概念： 设A、B是非空的数.集.，如果按照某个确定的对应关系f,使对于集合 A中的任意一个数 x,在集合B中都有唯一砚定的数 f(x)和它对应,那么就称f: A-B为从集合A到集合B的一个函数。记作：y = f(x) , xCA。其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域(集合)；与*的值相对应的y 值叫做函数值，函数值的集合f(x) |xCA 叫做函数的值域

4、(集合)。定义域、值域与对应关系f统称为函数的三要素。【解析】：B 变式练习：设 A = x | 0WxW2, B = y |1y2,如下图，能表示从集合A到集合（二）区间的概念：设a, b是两个实数，而且 av b我们规定：（1）满足不等式awxw b的实数x的集合叫做闭区间，表示为 a, b； （2）满足不等式avxvb的实数x 的集合叫做开区间，表示为 （a, b）； （3）满足不等式ax b或avxw b的实数x的集合叫做半开半闭区间，分别表示为左闭右开b,b）和左开右定义名称符号数轴表示x | a x b闭区间a,b1(ra4 bx a x b开区间(a,b)Jbx | a x b左

5、闭右开区间a,b)a3bx | a x E b左开右闭区间(a,ba3b闭a,b 1区间。定义符号x x a（a尸）xxEb(-0,bxx0且2W1), y = sin x, y=cos x, te义域均为 R;(5) y = tan x 的定义域为x |xCR 且 xwkn 十二，kCZ;(6) 对数函数的定义域是真数大于0;(7) 函数f(x)= xa的定义域与指数a的关系，对于不同的 a值，定义域不同。(8) 由实际问题建立的函数，还要符合实际问题的要求。(9) 于抽象函数定义域的求法：(1)若已知函数f(x)的定义域为a, b,则复合函数fg(x)的定义域由不等式 awg(x)- (2

6、) xw 5 (3) x1 且 xw323(4) x2 或 xW3 (5) -4x1变式练习 1:设 A = x I y= log2(x2 +5x -4) , B = x | y=、；x2 5x + 6,则 An B o【解析】：(1,2Lb,4)1 、变式练习2:函数f(x) = log 05(cosx十一)的定义域为。2【解析】：(2k冗一2元,2kn + 2n), kCZ33变式练习 3:设 A = x I y=、sinx , B = x I y= 4-x2 - x + 12 ,则 A n b =。 【解析】：A = (2k n , 2kn + n ), B=-4, 3,则 A n B

7、= L 4,冗2(3,n 】例4:已知等腰三角形的周长为20,请将底边y表示为腰x的函数，并写出x的取值范围。【解析】y=202x, 5vxv10x 0 x 0j x 00 = 0 = x10=5v x y 2x 20 -2x x 5例5: (1)已知函数f(x)的定义域为1, 4,则f (x+2)的定义域为 。(2)已知函数f(2x + 1)的定义域为(一1, 0),则f(x)的定义域为 。【解析】(1)1x+24,1x2(2)- 1x0,22x0,12x+11变式练习：(1)已知函数f(x)的定义域为5, 5,则f(3 2x)的定义域为 。(2)已知函数f(x+1)的定义域为0, 3,则f

8、(x f(x) =x 与 g (x)= (Vx)2 (3) f(x) = | x | 与 g(x)=衣)的定义域为 。【解析】(1) 1, 4,(2)0x3, 1x+10时，值域是产一b D;a0且a wi)的值域为(0,十8)5、对数函数y=logax (a 0且a wi)的值域为R；6、正弦y= sin x,余弦函数 y= cos x的值域1, 1;7、正切函数y= tan x的值域为R;8、函数f(x) = xa的值域与指数a的关系，对于不同的a值，值域不同。(三)求值域的具体方法1、观察法(直接法)：例8:求函数f(x)=2x+1, xe 1, 2, 3, 4, 5【解析】：yC 3

9、, 5, 7, 9, 111变式练习： 求函数的值域：(1)f(x)=Jx + 1(2) f(x)=x 1【解析】：(1) y 1yW02、配方法：利用二次函数 求值域【二次函数的对称轴x=-,顶点坐标(一-b- , 4ac -b ”；2a2a 4a例9:求函数f(x) =x2 6x 7, x R的值域解：f(x) =x2-6x-7=(x-3)2-16- 16,所以函数的值域y I y16或16,十8变式练习：求函数的值域(1) f(x) =x2-4x- 3, xe R(2) f(x) =-x2-6x + 7, xe R(4) f(x) =-x2-6x + 7, x -1, 3(5)设a、B是

10、方程4x2 4mx+ m+2 (xC R)的两实根，当 m为何值时，G2 + B 2有最小值？求出这个最小值。 2-2 = (一( ；)2 -2： - = m2 - f(x) = 4x + 6X 2x 3 m -1【解析】： =16m2 16(m+2)之 0,m 之 2或 mW1,2当 m = -1 时，卜2 + P2)min23、分离常数法：【形如反比例函数的值域 y=k(kw0),】x 2x _1 例10:求函数f(x)=的值域。x 12x -12(x 1) -3 3【斛析】：f(x) = = = 2- yw3x 1 x 1x 15x _ 1变式练习：求函数f(x) = 5x的值域。x -

11、29【解析】：f(x)=5+ yW5x -24、单调法：先判断函数f(x)的区间上的单调性，再代入端点求值域的方法。一 一，一2例11：已知函数f(x) =(x w 2,6),求函数的最大值和最小值。x - 1【解析】：函数f(x)在2, 6上是减函数，所以函数在区间上的两个端点分别取得最大值与最 小值，当x=2函数取最大值2,当x = 6函数取最小值0.4。3x变式练习1:求函数f(x) =(x 4,6)的值域。x -3【解析】：9, 12变式练习2:求下列函数的值域x2 _2x 5/ 1 -x2 2x 5(1) f(x) = 2(2) f(x)=()2212【解析】：(1) f(x) =

12、2( )(2) f(x)=(一)25、换元法例 12：求函数 f(x) =x+ V2x -1变式练习1:分别求下列函数的值域(1) f(x) =2x+ J2x -3(2) f(x) =2x- *3x-1变式练习2:分别求下列函数的值域(2) f(x) = sin2x+2cosx 36、基本不等式法【基本不等式章节重点讲解】例13:求函数f(x) =xd3- (x - 1)的最小值 3 一一 ,一例14:求函数f(x) =xX(32x) (0vxv )的取大值27、三角函数法【三角函数章节重点讲解】8、导数法【导数章节重点讲解】9、三角代换法(参数法)【极坐标与参数方程章节重点讲解】四、函数的表

13、示法(一)表示函数的方法有 ：有解析法、列表法和图象法三种。(1)、解析法：如果函数y=f(x) (xCA)中，f(x)是用代数式(或解析式)来表达的，则这种表达函数的方法叫做解析法(公式法)。(2)列表法：通过列出自变量与对应函数值的表格来表示函数关系的方法叫做列表法。(3)、图象法：用函数图象表示两个变量之间的函数关系的方法，叫做图像法。1、拼凑法：已知f g(x)的解析式,(二)求函数解析式要求f(x)的解析式，从fg(x)的解析式中拼凑出“g(x)”,两边用“ x”代替“ g(x)”即可得到f(x)的解析式。1 x例 13:若 f()=-,求 f(2)x 1 - x12222 -131

14、 xVx【解析】 f (-)=x-. f (x)=f(2)x 1 -x P)2 1X -1x121变式练习：(1)已知f (x+ -)=x2+ ,求f (x)x x(2)已知 f(4+1) = *+2 Jx ,求 f (x)【解析】：(1) f(x)=x22(2) f (x) =x212、换元法：已知函数f g(x)的解析式，令g(x)=t,求f的解析式，用x代替两边所有 的t,即可。例 14:已知函数 f(2x + 1) =x2-2x,求 f(1)一“一 t -1t -1 2 t -1 t2 -6t 512 -6 1 5=04【解析】令 2x+1 = t,则 x = = f (t ) = c

15、4p)2-2X t1= t 6t 5x2 - 6x 5-f (x) = f (1)4变式练习：(1)已知 f (v/x + 1) = x+ 2A/x,求 f (x)1 x21(2)已知 g(x) =12x, f g(x) = 一 (x 0),求 f()x22(3)已知 f (ex)= x-i- ex ?贝u f(1)=o (4)已知 f (3x)=4xX log2 3 + 233,则 f(2) +f(4) + f(8) + + f(28)的值等于 【解析】：(1) f (x) =x2- 1(2) f (1 )= 15(3) f(1) = 12(4)令 3x =t,贝U x= log3 t，贝U

16、 f (t) = 4log2 t + 233,故 f(2) + f(4) + f(8) + + f(28)=4+8+12+ 32+233X8=20083、方程组法：已知f(x)与fg(x)满足的关系式，要求f(x)时，用g(x)代替两边所有的x, 得到关于f(x) , fg(x)的方程组，解方程组得f(x)。1例15:已知函数f(x)满足，f(x) -2 f (1)=3x+2,求f (x)的解析式。 x【解析】：用1代替x得：f (-)-2 f (x) = 3X 1+2 xxx1.1,f (x) -2f (-) =3x +2 x.一1_一解之得：f (x)=x2f(1) -2f(x) =? 2

17、xxx变式练习：已知函数f(x)满足：f (x)+2 f ( x) = x2+ x,求函数f(x)的解析式。【解析】:f(x)2x -3x34、待定系数法：(1)、初中所学一次函数、反比例函数、二次函数解析式的求法。一次函数：f(x) = kx+b (kw0)；反比例函数：f仅)=乂0),x2f (x) = ax + bx + c二次函数：4 f (x) = a(x + h)2 + k (a=0)f (x) = a(x -x1)(x - x2)(2)若已知f(x)函数的类型，求f(x)的解析式，可根据类型设其解析式，然后确定其系数即可。例16:已知一次函数f(x)满足ff(x) =4x + 3

18、,求f (x)的解析式。【解析】设：f(x) = kx + b (k w 0)ff(x) =f(kx + b)= k(kx + b) + b =k2x+kb+b =4x+3b2 =4kb+b =3b =1=2u-2=-3f (x)=2x+1 或 f(x)= 2x 3例 17:已知函数 f(x)是一次函数，且2 f (1) +3 f (2) =3, 2 f (-1)-3 f (0) = 1,求 f (x)的解析式。【解析】设：f(x) = kx + b (k w 0),由题意得kf (x) = - x 92(k 胆 +3(2k+b)=3解之得：92(-k+b)-3(0+b) = -11、b =

19、9变式练习：(1)已知一次函数 f(x)满足ff(x) =9x+8,求f (x)的解析式。(2)已知一次函数 f(x)满足：3f(x+1)2f(x 1)=2x+17,求f (x)的解析式。【解析】(1)f(x)=3x+2 或 f (x) =- 3x-4(2)f(x)=2x+7四、分段函数 :在定义域内，对于自变量 x的不同取值范围，对应关系(对应法则)不同，这样函数通常称为分段函数。由此可知，作分段函数的 图像时，应根据不同定义域上的不同解析式分别作出。注意：(1)分段函数是一个函数；(2)在分段时端点不重也不漏；(3)分段函数的定义域为每段范围的并集，值域也是每个 区域内值域的并集。(一)分

20、段函数的图象例18:作出函数f(x)= | x |的图象。x, x 之 0【解析】：f(x) = I x I = 3-x,x 0变式练习：作出分段函数y = x-1|+|x+2的图像(二)分段函数的求值。-x, x -22例 19:已知函数 f(x) =口，2x22【解析】：:(1) 32, f (3) =3 4X 3=3;(2) - 32,f f (3) =f (-3)= 1x(-3)=-22(3) 2v- 3 2, f f ( 3 ) =f(3)=n22x +2, x -1变式练习1:已知函数f (x)=2x, 1x22(1)求 f f ( -1) (2)若 f( a) =3,求 a的值。

21、【解析】：(1) f f ( -1) =2(2) a=9 或 a=T62，若 f(f( J2 ) = 4,则 f( a)等于()4log2 (x), x 0A： 8 B： 4 C： 2 D： 1课后综合练习1、如下图(1)的函数关系的有(2) (3) (4)四个图象各表示两个变量x, y的对应关系，其中表示 y是xO(3).(4).【解析】：(2) (3)2、函数y=f(x)的图象与直线x= a的交点的个数为()A:必有1个 B: 1个或2个 C:至多1个 D:可能2个以上【解析】：C3、若函数f(x)= Jax2 +2x +1的定义域为R,则实数a的取值范围是 【解析】：a 04、已知f(x)是定义在正整数集上的函数，且 f(x + y) = f(x) + f(y) + xy ,且f(1) = 1,求f (5) 【解析】:f (5) =155、集合 A=x I 0WxW4, B = y | 0y2,下列不表示从 A至U B的函数是()A : f(x) 一y = 1 x B ： f(x) 一y= 1 x C ： f(x) 一y= 2 xD ： f(x) y= xx233【解析】：C6、某物体一天中的温度是时间t的函数：T(t)=t33t + 60,时间单位是小时，温度单位为C,t=0表示12： 00,其后t