双曲线综合题(含答案)

1、精心整理双曲线综合题(含答案)22、p(x y0)( X0产土 a)是双曲线 E :、当=1(a>0,b>0)上一点, a bM,N分别是双曲线E的左、右顶点，直线PM,PN的斜率之积为1.5L 二-八一工(1)求双曲线的离心率；r|5 (2)过双曲线E的右焦点且斜率为1的直线交双曲线于 A,BI - i.:两点，O为坐标原点，C为双曲线上一点，满足OC =KOA+OB，求九的值.22解：(1)点P(Xo,yo)(X0 # ±a)在双曲线与-与=1上，a b22有"-*=1由题意又有.“=工a bx0 -a x0 a 5 ,j. "XTTT4曰 222

2、2, 22C 30川彳寸 a =5b,c = a +b =6b，则 e =二a 52 -5 2 =5b2(2)联立 «，得 4x -10cx +35b = 0,设 A(x1，y1)，Bd, y2)y =X -c、r rr r Tx3 二，x,x2V2设 OC =(为,y1),OC =九OA +OB,即 3精心整理又 C 为双曲线上一点，即x25y2=5b2,有,、2_ ,、22( Xi X2) -5( yi y2) =5b化简得：九2(x2 5y；)+(x2 5y2)+2K(XiX2 5y1y2)=5b2 (2)又 A(x1, y1), B(x2, y2)在双曲线上，所以 x；5y2

3、 =5b2,x25y； =5b2由(1 )式又有I l/彳得：入2 +4九=0,解出九=0,或九=一4.二、已知以原点O为中心，F(x/5,0 )为右焦点的双曲线C的离心率 ill,1 I I I I，I . 1; * / / /5e o 2(I) 求双曲线C的标准方程及其渐近线方程；(II) 如题(20)图，已知过点M(Xi,yi )的直线li：Xix + 4yiy = 4与过点N(x2,y2 )(其中X2#x)的直线I2: x?x + 4y2y =4的交点E在-一|1 I X 双曲线C上，直线MN与两条渐近线分别交与 G、H两点，求AOGH的面积。22I)设C的标准方程为三-*=1(aA0

4、,bA0),则由题意 a b因止匕 a =2,b = Vc2 -a2 =1 ,2c的标准方程为Tyi1 一C的渐近线方程为y=±-x,即x-2y =0和x+2y=0.2(II)解法一：如答(20)图,由题意点E(XeTe)在直线li：XiX 4yy = 4 和12: x2x+4y2y =4 上， 因止匕有 x1xE+4y1yE =4, x2xE+4y2yE = 4 .故点 M、N均在直线XEx+4yEy=4上，因此直线MN的方程为i x.x XeX 4yEy =4.I I-4 ,2!Xe|Xe| xR -4yE解法二：设E(Xee),由方程组!XlX'4y1y =4X2X 4

5、y2y =4,解得 Xe = 4(yyi) . = x12 . xiy2 -x2y1xy2 -x2因X2#x1，则直线MN的斜率k="y2"=一生".X2 -X14yE-1 j->I，1I；故直线MN的方程为y - y1 =-2E(x-x1)4yE注意到xXe+4yyE =4 ,因此直线MN的方程为XeX+4yEy=4.下同解法一.三、已知定点A( 1 , 0) , F(2 , 0),定直线l: x=1,不在x轴 上的动点P与点F的距离是它到直线l的距离的2倍.设点P的轨 迹为E,过点F的直线交E于B、C两点，直线AB、AC分别交l 于点M、N(I )求E的

6、方程；(II)试判断以线段 MN为直径的圆是否过点F,并说明理由.解:(1)设 P(X,y),则 J(x_2)2+y2 =2|x_g|化简得x2-r2二=i(y*0)3I /> j4 分.(2)当直线BC与x轴不垂直时，设 BC的方程为y = k(x 2)( k?0)工 122、J 乏 J ki 门/ I2与双曲线 x2 =1 联立消去 y得(3 k)2x2 +4k2x (4k2 + 3) =03由题意知 3 k2*0 且4。 设 B(x1, y1), C(x2, y2),4k2乂22k2 -3=4k2 3一 k2 -3+ 4k2(4k2 3 _ 8k2 k2 -3 k2 -3+ 4)=

7、2匚因为x1、X2，-1y1y2 = k2(x1 2)( x2 2) = k2x1x22(x1 + x2)所以直线 AB的方程为y=(x+1) 因此 M点的坐标为(1,)2 2(x1 1)3y133FM =(一，2 2(xi 1)同理可得FN=(十七)二帚=(中诉%9 4(-81k2k2 -34k2 3 4k2 八2- - 1) k2 -3 k2 -3=0I I f )当直线BC与x轴垂直时，起方程为x = 2,则B(2,3), C(2,T.二一 ；K-'I JI I3)AB的方程为y = x + 1,因此M点的坐标为(二:)，FM =(-,-) 2 22 2同理可得/=(-3, -3

8、)因此大京14(-3)2 3 M(-3)= 0综上22222fMu"fin= 0,即FM XFN故以线段 MN为直径的圆经过点F12 分二 四、已知F1 (-2, 0), F2(2, 0),点P满足| PR |-| PF21= 2 ,记点P的轨迹为-II I E. ,j .Jr -.(I )求轨迹E的方程；(II)若直线l过点F2且与轨迹E交于P、Q两点.(i)设点M(m, 0),问：是否存在实数m ,使得直线l绕点F2无论一 r上 a 、一- tw怎样转动，都有MP MQ=0成立？右存在，求出头数 m的值；若不存在，请说明理由.(ii)过P、Q作直线x=1的垂线PA、QB ,垂足分

9、别为A、B,2记九= |PA|+|QB|求九的取值范围.| AB| '解：(I)由|PFJ-|PF2| = 2c|FiF2|知，点P的轨迹E是以Fi、F2为焦点的双曲线右支，由c = 2, 2a =2 ,b2 =3 ,故轨迹E的方程为2x2 -匕=1(x 21).(3 分)3(H)当直线l的斜率存在时，设直线l方程为y = k(x-2),与双曲线方程联立消 y 得(k2 -3)x2 -4k2x + 4k2 +3=0 ,设 P(x1, y1)、Q(x2,y2),2k2 -30A >04k2八x1 + x2 = 2> 0，k2 -324k2 3xi x2 =2k2 -3k23(

10、7分)(5分)(1) MP MQ =(x1m)(x2m) + y1y2一. 23 -(4m - 5)k2mk - 3假设存在实数m ,使得MP MQ = 0 ,故得3(1-m2) +k2(m2 -4m-5)=0对任意的k2 >3恒成立,1 -m2 = 0 2,解得 m = -1m -4m -5 = 0/.当 m = -1 时，MP MQ = 0.当直线l的斜率不存在时，由P(2,3), Q(2, -3)及M (T,0)知结论也成立,综 上 ， 存 在 m = -1, 使 得（8分）MP1 MQ =0 .（ii ） ; a =1 c = 2, .二直线x =是双曲线的右准2线，（9分）由双

11、曲线定义得：FaTp&Tpr1，侬T*1，|PQ| J k2 |x2 -x1 | 1 k2 |x2 -x1 |2|AB|21y2-yJ21k乂 -x1）|“1 k21=2|k|10分）k2 3、33C 110 、2 :k 3（11 分）注意到直线的斜率不存在时,gg,此时",1 、3 儿一2, 3（12分） 五、设四点A、B、C、D均在双曲线x2-y2 =1的右支上。（1 ） 5 AB = >CD （实数九 #0）,证明：OA'OB=OCOD （ O 是坐标精心整理精心整理原点)；(2)若| AB | =2, P是线段AB的中点，过点P分别作该双曲线的两条渐近线

12、的垂线，垂足为 M、N ,求四边形OMPN的面积的最大 值。、I '1解：(1) ,/ AB = ?.CD, /. AB / CD311直线AB的斜率不存在日寸，设方程为x=m (m>1),设A (m, y1), 贝U B ( m,-y1)且 m2- y2 = 1. oA oB =m2- y12=1 同理 oC .oD=if I I I/. OA OB =OC OD直线AB斜率存在日寸，设方程为y = kx +b与 x2 -y2 =1 联立得(1 -k2)x2 -2kbx -b2 -1 = 0_22kbb2 1设 A(x1,y1)B(x2, y?)贝U Xi +x2 =2 , X

13、iX2=1 k，k -1则 OA OB = XiX2y1y2 = xx2+(kx1 +b )( kx2 +b )2 , 2 k 1=(1 k ) x1x2+kb(x1x2)+b = 2k -1AB "CD J.直线CD与直线AB斜率相等,同理前而二总/. OA OB =OC OD 综上，OA OB =OC OD(2) AB 斜率存在时，4=AB2=(1+k2)(刈 + x2)2 -4xx222由(1)得 b2 =2 < x1 x2 >0 . k2 > 1,设 P(x0, y0),则1 kXo1-(Xi X2)2kb1 -k2y° =kx° b1

14、- k22c Xoyo Xo+yo 1 b2iS = = _ .=1 _222 k2 一11 k2n1 k2>1. _<S<1 ; AB斜率不存在时，易得S=12综上，四边形OMPN面积的最大值为1。22六、已知双曲线二一二=1的右焦点是F,右顶点是A,虚轴的上端 a b点是B,且aB aF = -1,/BAF=12。°, （1）求双曲线C的方程；（2） .r I i过点P（o,4）的直线l交双曲线C于M,N两点，交X轴于点Q （点Q与双曲线C的顶点不重合），当PQ = %dM = K2QN ,且及+% =-当时,7求点Q的坐标。2七、设F1F2分别是双曲线 J-y2 =1的两焦点，点O为坐标原点， 3-' I X圆。是以FF2为直径的圆，直线l:y=kX+b与圆O相切，（1）求b ,j .Jr1和k之间满足的关系式；（2）若直线l与已知双曲线交于M,N两点,向量AN在向量FF；方向的投影是 m,当（OM,ON） m2 =力时，求| MN22直线l的方程；（3）当（OM ON