经典相似三角形练习的题目(附参考答案详解)

1、实用标准文案相似三角形.解答题(共30小题)1.如图，在ABC中，DE/ BC, EF/ AB,求证： ADa EFC.6.如图，E是？ ABCM边BA延长线上一点，连接 EC,交AD于点F.在不添加辅助 线的情况下，请你写出图中所有的相似三角形，并任选一对相似三角形给予证明.7.如图，在 4X3的正方形方格中， ABC DEF 的顶点都在边长为1的小正方形的顶点上.3.如图,求证：2.如图，梯形 ABCD43, AB/ CD点F在BC上，连DF与AB的延长线交于点 G. (1)求证： CDM BGF(2)当点F是BC的中点时，过 F作EF/CD交AD于点E,若AB=6cmg EF=4cm,求

2、CD的长.点 D, E 在 BC上，且 FD/ AB, FE/ AC.AB8 FDE(1)填空：/ ABC=° , BC=(2)判断 ABC与 DEC是否相似，并证明你的结论.8.如图，已知矩形 ABC曲边长 AB=3cmg BC=6cm某一时刻，动点 M从A点出发沿AB方向以1cm/s的速度向B点匀速运动；同时，动点N从D点出发沿DA方向以2cm/s的速度向A点匀速运动，问:(1)经过多少时间， AMN勺面积等于矩形 ABC面积的?94.如图,已知 E是矩形 ABCD勺边CD上一点，BF±AE于F,试说明： ABM EAD(2)是否存在时刻t,使以A, M N为顶点的三角

3、形与 ACDf似？若存在，求t5.已知:的值；若不存在，请说明理由.如图所示，在 ABC和4ADE中，AB=AC AD=AE / BAChDAE 且点B,A, D在一条直线上，连接 BE, CD M, N分别为BE, CD的中点.(1)求证：BE=CDAMN等腰三角形；(2)在图的基础上，将4AD遴点A按顺时针方向旋转180° ,其他条件不变，得 到图所示的图形.请直接写出(1)中的两个结论是否仍然成立；(3)在(2)的条件下，请你在图中延长ED交线段BC于点P.求证： PBtDA9.如图，在梯形 ABCDK 若AB/ DC, AD=BC对角线BD AC把梯形分成了四个小 三角形.(

4、1)列出从这四个小三角形中任选两个三角形的所有可能情况，并求出选取到的两个三角形是相似三角形的概率是多少；(注意：全等看成相似的特例)(2)请你任选一组相似三角形，并给出证明.AMN10.如图 ABC中，D为 AC上一点，CD=2DA / BAC=45 ,连接AE.(1)写出图中所有相等的线段，并加以证明；(2)图中有无相似三角形？若有，请写出一对;若没有，请说明理由；(3)求 BECf BEA的面积之比.14.已知矩形 ABCD长BC=12cm宽AB=8cm P、Q分别是 AR BC上运动的两点.若P自点A出发，以1cm/s的速度沿AB方向运动，同时，Q自点B出发以2cm/s的速度 沿BC方

5、向运动，问经过几秒，以P、B Q为顶点的三角形与 BDC相似？精彩文档11.如图，在 ABC中，AB=AC=a M为底边BC上的任意一点，过点 M分别作AR AC的平行线交AC于巳交AB于Q(1)求四边形AQMP勺周长；(2)写出图中的两对相似三角形(不需证明)；(3) M位于BC的什么位置时，四边形 AQM的菱形并证明你的结论.12 .已知：P是正方形ABCDW边BC上的点，且 BP=3PC M是CD的中点，试说明: ADMh MCP13 .如图，已知梯形 ABCD43, AD/ BC, AD=2 AB=BC=8 CD=10(1)求梯形ABCM面积S;(2)动点P从点B出发，以1cm/s的速

6、度，沿B? A? D? C方向，向点C运动；动点 Q从点C出发，以1cm/s的速度，沿 C? D? A方向，向点 A运动，过点 Q作QELBC 于点E.若P、Q两点同时出发，当其中一点到达目的地时整个运动随之结束，设运 动时间为t秒.问：当点P在B? A上运动时，是否存在这样的 t ,使得直线PQ各梯形ABCM周长平 分？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由；在运动过程中，是否存在这样的t ,使得以P、A D为顶点的三角形与 CQE相似？ 若存在，请求出所有符合条件的t的值；若不存在，请说明理由；在运动过程中，是否存在这样的 t ,使得以P、D Q为顶点的三角形恰好是以 DQ 为一腰的等

7、腰三角形？若存在， 请求出所有符合条件的t的值；若不存在，请说明理15 .如图，在 ABC中，AB=10cm BC=20cm点P从点A开始沿 AB边向B点以2cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以4cm/s的速度移动，如果P、Q分别从A B同时出发，问经过几秒钟， PBQ与 ABC相似.16 .如图，/ ACB=/ ADC=90 , AC=/E , AD=2.问当AB的长为多少时，这两个直角 三角形相似.17 .已知，如图，在边长为 a的正方形ABCN, M是AD的中点，能否在边 AB上找 一点N (不含 A B),使得 CD% MAN目似？口C若能，请给出证明，若不能，请说明理由

8、.里A NS18 .如图在 ABC中，/C=90° , BC=8cm AC=6cm 点 Q从 B 出发，沿 BC方向以 2cm/s 的速度移动，点P从C出发，沿CA方向以1cm/s的速度移动.若Q P分别同时从 R C出发，试探究经过多少秒后，以点 C、P、Q为顶点的三角形与 CBAf似？19 .如图所示，梯形 ABCM, AD/ BC, / A=90° , AB=7, AD=2 BC=3,试在腰 AB 上确定点P的位置，使得以 巳A, D为顶点的三角形与以 P, B, C为顶点的三角形相 似.20 . 4ABC和4DEF是两个等腰直角三角形，/ A=Z D=90°

9、; , DEF的顶点E位于边BC的中点上.（1）如图1,设DE与AB交于点 M, EF与AC交于点N,求证： BEMh CNE（2）如图2,将 DEF绕点E旋转，使得 DE与BA的延长线交于点 M, EF与AC交于 点N,于是，除（1）中的一对相似三角形外，能否再找出一对相似三角形并证明你 的结论.21 .如图，在矩形 ABCM, AB=15cmg BC=10cm点P沿AB边从点 A开始向B以2cm/s 的速度移动；点Q沿DA边从点D开始向点A以1cm/s的速度移动.如果P、Q同时出 发，用t （秒）表示移动的时间，那么当 与 ABC相似.t为何值时，以点 。A、P为顶点的三角形22 .如图，

10、路灯（P点）距地面8米，身高1.6米的小明从距路灯的底部（。点）20 米的A点，沿OA所在的直线行走14米到B点时，身影的长度是变长了还是变短了？ 变长或变短了多少米？23 .阳光明媚的一天，数学兴趣小组的同学们去测量一棵树的高度（这棵树底部可以到达，顶部不易到达），他们带了以下测量工具：皮尺，标杆，一副三角尺，小平面 镜.请你在他们提供的测量工具中选出所需工具，设计一种测量方案.（1）所需的测量工具是：;（2）请在下图中画出测量示意图；（3）设树高AB的长度为x,请用所测数据（用小写字母表示）求出 x.24 .问题背景在某次活动课中，甲、 乙、丙三个学习小组于同一时刻在阳光下对校园 中一些物

11、体进行了测量.下面是他们通过测量得到的一些信息： 甲组：如图1,测得一根直立于平地 ,长为80cm的竹竿的影长为 60cm. 乙组：如图2,测得学校旗杆的影长 为900cm.丙组：如图3,测得校园 景灯（灯罩视为球体，灯杆为圆柱体心其粗细忽略不计）的高度为 200cm, 影长为156cm.任务要求：（1）请根据甲、乙两组得到的信息计算出学校旗杆的高度；（2）如图3,设太阳光线 NH与。相切于点M请根据甲、丙两组得到的信息，求 景灯灯罩的半径.（友情提示：如图3,景灯的影长等于线段 NG的影长；需要时可采 用等式 1562+2082=2602）25 .阳光通过窗口照射到室内，在地面上留下2.7m

12、宽的亮区(如图所示)，已知亮区到窗口下的墙脚距离 EC=8.7m,窗口高AB=1.8m,求窗口底边离地面的高BC.(4)类比(1), (2), (3)的结论，请你总结出一个更具一般意义的结论.28.已知：如图， ABS ADE AB=15, AC=9, BD=5.求 AE.26 .如图，李华晚上在路灯下散步.已知李华的身高AB=h,灯柱的高 OP=O P' =l ,两灯柱之间的距离 OO =m.(1)若李华距灯柱 OP的水平距离 OA=q求他影子AC的长；(2)若李华在两路灯之间行走，则他前后的两个影子的长度之和(DA+AC是否是定值请说明理由；(3)若李华在点A朝着影子(如图箭头)的

13、方向以vi匀速行走，试求他影子的顶端在地面上移动的速度 V2.29,已知：如图 RtAABC RtABD(C 若 AB=3, AC=4.(1)求BQ CD的长；(2)过B作BE, DC于E,求BE的长.560cm,27 .如图，分别以直角三角形 ABC三边为直径向外作三个半圆，其面积分别用 S, G, 8表示，则不难证明 S尸S+S.(1)如图，分别以直角三角形 ABC三边为边向外作三个正方形，其面积分别用 S,4表示，那么S, 3, 4之间有什么关系；(不必证明)(2)如图，分别以直角三角形ABC三边为边向外作三个正三角形，其面积分别用S、$、&表示，请你确定 Si, S2, $之间

14、的关系并加以证明；(3)若分别以直角三角形 ABC三边为边向外作三个一般三角形，其面积分别用S,4表示，为使S, 3, S3之间仍具有与(2)相同的关系，所作三角形应满足什么 条件证明你的结论；30. (1)已知乌，且 3x+4z 2y=40,求 x, y, z 的值；2 3 5(2)已知：两相似三角形对应高的比为3: 10,且这两个三角形的周长差为求它们的周长.一.解答题(共30小题)1 .如图，在 ABC中，DE/ BC, EF/ AB,求证： AD EFC. 解答：证明：.DE/ BCDE/ FC, / AED= C.又 EF/ AB,EF/ AD, / A=Z FEC.4.如图，已知

15、E是矩形 ABCDW边CD上一点，BF±AE于F,试说明： ABD EAD解答:证明：二.矩形ABC邛,AB/ CD，/BAF=/ AED （4 分）-.BF± AE,，/AFB=90 .，/AFB=/ D. （5 分）.ABF EAD （6 分）/ D=90° , （ 2 分）点评:考查相似三角形的判定定理，关键是找准对应的角. .AD曰 EFCBFC点评：本题考查的是平行线的性质及相似三角形的判定定理.E 图2 .如图，梯形 ABCD43, AB/ CD点F在BC上，连DF与AB的延长线交于点 G.(1)求证： CDM BGF(2)当点F是BC的中点时，过 F

16、作EF/CD交AD于点E,若AB=6cm EF=4cm)求CD的长.解答：（1）证明：二.梯形 ABCD AB/ CD /CDFh FGB / DCFh GBF （2 分） . CDS BGF （3 分）（2）解：由（1） CDM BGF 又F是BC的中点，BF=FC CD白 BGFDF=GF CD=BG （6 分）. AB/ DC/ EF, F 为 BC中点,E为AD中点，£5是4 DAG的中位线，2EF=AG=AB+B GBG=2EF- AB=2X 4-6=2, CD=BG=2cm （8 分）3 .如图，点 D, E在 BC上，且 FD/ AB, FE/ AC. 求证： ABS

17、FDE解答：证明：FD/ AB, FE/ AC/ B=Z FDE, / C=Z FED. AB6 FDE5.已知：如图所示，在 ABC和4ADE中，AB=AC AD=AE / BAChDAE 且点 B, A, D在一条直线上，连接 BE, CD M N分别为BE, CD的中点.(1)求证：BE=CD AMN等腰三角形；(2)在图的基础上，将4AD遴点A按顺时针方向旋转180° ,其他条件不变，得 到图所示的图形.请直接写出(1)中的两个结论是否仍然成立；(3)在(2)的条件下，请你在图中延长ED交线段BC于点P.求证： PBtDAAMN解答： (1)证明：.一/ BAC=/ DAE

18、1 / BAE=/ CAD . AB=AC AD=AE .ABEAACtD BE=CDc由ABHAACD 得ZABE=Z ACD BE=CD M N分别是BE, CD的中点，.BM=CN 又 AB=AC图而 .ABM AAChN.AM=AN即4 AMN等腰三角形.(2)解：(1)中的两个结论仍然成立.(3)证明：在图中正确画出线段PD,由(1)同理可证 ABW ACN / CAN=/ BAM，. / BAC=/ MAN 又. / BAC= DAE / MAN= DAE=Z BACAMN 人口£和4 ABCtB是顶角相等的等腰三角形. PBD和 AMNO为顶角相等的等腰三角形， ./

19、PBD=/ AMN / PDB=/ ANM PB必 AMN6 .如图，E是？ ABCDW边BA延长线上一点，连接 EC,交AD于点F.在不添加辅助线的情况下，请你写出图中所有的相似三角形，并任选一对相似三角形给予证明.分析:解答:解答:根据平行线的性质和两角对应相等的两个三角形相似这一判定定理可证明图中相似三角形有： AED BEC AED DCF BE8 DCF解：相似三角形有 AED BECC AED DCF; BE8 DCF （3 分）如：4AE匕 BEC在? ABCD43, AD/ BC1 = Z B, / 2=73. （6 分） .AEM BEC （7 分）7 .如图，在4X3的正方

20、形方格中， ABC DEF的顶点都在边长为 1的小正方形的顶点上.（1）填空：/ ABC= 135°° , BCj2近（2）判断 ABC与4DE爱否相似，并证明你的结论.解答：解：（1） /ABC=135 , BC3加；（2）相似；BC=y2+2? ECW1+1 = ;. AB 2 r- BC 2V2 r. 五祠坛，DE- 2事 鳗区 CE-DE'又/ ABCh CED=135 , . AB6 DEC8 .如图，已知矩形 ABCD勺边长AB=3cm BC=6cm某一时刻，动点 M从A点出发沿 AB方向以1cm/s的速度向B点匀速运动；同时，动点N从D点出发沿DA方向

21、以2cm/s 的速度向A点匀速运动，问：（1）经过多少时间， AMN勺面积等于矩形 ABC面积的工？9（2）是否存在时刻t,使以A, M N为顶点的三角形与 AC"目似？若存在，求t 的值；若不存在，请说明理由解：（1）设经过x秒后， AMN勺面积等于矩形 ABC面积的工，9则有：1 （6 2x） x=-x 3X6, 29即 x2-3x+2=0, （2 分）解方程，得xi=1 , x2=2, （3分）经检验，可知Xi=1, x2=2符合题意，所以经过1秒或2秒后， AMN勺面积等于矩形 ABC而积的工.（4分）9（2）假设经过t秒时，以A, M N为顶点的三角形与 AC"目

22、似，由矩形ABCD可彳导/ CDA=/ MAN=90 ,因此有鲤口或鲤口（5分）AH-DA 蝴一DC即一/，或一一4（6分）6- 2t 66- 2t 3解，得t=-；解，得t= （7分）25经检验，t=或t=都符合题息，25所以动点M N同时出发后，经过 金秒或型秒时，以A, M, N为顶点的三角形25与4ACD相似.（8分）9 .如图，在梯形 ABCDK 若AB/ DC, AD=BC对角线BD AC把梯形分成了四个小三角形.（1）列出从这四个小三角形中任选两个三角形的所有可能情况，并求出选取到的两个三角形是相似三角形的概率是多少；（注意：全等看成相似的特例）（2）请你任选一组相似三角形，并给

23、出证明.解：（1）任选两个三角形的所有可能情况如下六种情况：，（2分）其中有两组（，）是相似的.选取到的二个三角形是相似三角形的概率是P （4分）J证明：(2)选择、证明.在 AOBW CO邛，时CD55CDBW DBA / DCAW CAB/. .AO歆 COD (8 分)选择、证明.二工，川B四边形ABC比等腰梯形，/ DAB= CBA，在 DAB与4CBA中有AD=BC / DABh CAB AB=AB.DA望 CBA (6 分) / ADOW BCO又/ DOA= COB . DOM COB(8 分).点评：此题考查概率的求法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件

24、 A出现m种结果，那么事件 A的概率P (A)=工，即相似三角形 n的证明.还考查了相似三角形的判定./ECD=30 .在 RtMEF中，AEV3 X , / AED至 DAE=30 , .sin / AEF电，AE1 V3.AF=AE? sin / AEF=. "点评:本题主要考查了直角三角形的性质，相似三角形的判定及三角形面积的求法 等，范围较广.10 .附加题：如图 ABC中，D为 AC上一点，CD=2DA / BAC=45 , / BDC=60 , CE± BD于E,连接AE.(1)写出图中所有相等的线段，并加以证明；11 .如图，在 ABC中，AB=AC=a M为

25、底边BC上的任意一点，过点 M分另作AR AC 的平行线交 AC于巳交AB于Q(1)求四边形 AQMP勺周长；(2)写出图中的两对相似三角形(不需证明)(2)图中有无相似三角形？若有，请写出一对；若没有，请说明理由;(3)求 BECf BEA的面积之比.解答:解：(1) AD=DE AE=CE CE1BD, / BDC=60 ,在 RtCED中，/ ECD=30 .CD=2ED CD=2DAAD=DE / DAEh DEA=30 =/ ECD解答:(3) M位于BC的什么位置时，四边形 AQM的菱形并证明你的结论.解：(1) AB/ MP QM/ AC,，四边形APM虚平行四边形，/ B=Z

26、PMC / C=Z QMB. AB=AC ，/B=/ C,/ PMC=QMB . . BQ=QM PM=PC，四边形 AQMP勺周长=AQ+AP+QM+MP=AQ+QB+AP+PC=AB+AC=2aAE=CE(2)图中有三角形相似， AD曰AEC / CAEh CAE / ADEh AEC . AD曰 AEC(3)作 AF± BD的延长线于 F,设 AD=DE=x 在 RtACED, 可得 CE=/K,故 AE=/3X.(2) PM/ AB, .PCMh AC(B / QM/ AC, .BMQ BCA(3)当点M中BC的中点时，四边形 APMQ1菱形，点 M是 BC的中点，AB/ M

27、P QM/ AC,QM PM三角形 ABC的中位线. AB=AC，QM=PM=AB= AC2 2又由(1)知四边形APM虚平行四边形，平行四边形 APM虚菱形.12 .已知：P是正方形ABCDW边BC上的点，且 BP=3PC M是CD的中点，试说明:解答: ADMh MCP解答：证明：正方形 ABCD M为CD中点, . CM=MD=AD.2 BP=3PC . PC= BC= AD= CM442.色山.CM AD 2 / PCM=ADM=90 , . MCD ADM13 .如图，已知梯形 ABCD43, AD/ BC, AD=2 AB=BC=8 CD=10(1)求梯形ABCM面积S;(2)动点

28、P从点B出发，以1cm/s的速度，沿B? A? D? C方向，向点C运动；动点Q从点C出发，以1cm/s的速度，沿 C? D? A方向，向点 A运动，过点 Q作QHBC于点E.若P、Q两点同时出发，当其中一点到达目的地时整个运动随之结束，设运动时间为t秒.问：当点P在B? A上运动时，是否存在这样的 t ,使得直线PQ各梯形ABCM周长平 分？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由；在运动过程中，是否存在这样的t ,使得以P、A、D为顶点的三角形与 CQE相似？ 若存在，请求出所有符合条件的 t的值；若不存在，请说明理由；在运动过程中，是否存在这样的 t ,使得以P、D Q为顶点的三角形恰

29、好是以 DQ 为一腰的等腰三角形？若存在， 请求出所有符合条件的t的值；若不存在，请说明理 由.解：(1)过D作DH/ AB交BC于H点，1. AD/ BH, DH/ AB, 四边形 ABH虚平行四边形.DH=AB=6 BH=AD=2 . . CH=8- 2=6. . 3=1。 . D曰+C行=Ct!,./ DHC=90 . / B=/DHC=90 .梯形ABCD直角梯形.Sabc匚(AD+BC AB1X (2+8) X 8=40.22(2): BP=CQ=t AP=8- t , DQ=10- t ,. AP+AD+DQ=PB+BC+CQ 8- t+2+10 - t=t+8+t .，t=3 &

30、lt;8.，当t=3秒时，PQ将梯形ABC前长平分.第一种情况：0v t w 8 若 PAD QECW / ADP=/ C z _ g 4 .tan Z ADP=tanZ C=-6 3.8-t 4 . . 16 -,t=-2 33若APAaCEQW/APD=Z C . . tan / APD=tan/C里/，.一=i6 33-t 3，tJ； 2第二种情况：8<t <10, P、A、D三点不能组成三角形；第三种情况：10<t< 124ADW 钝角三角形与 RtCQ环相似；.=9或t=V时， PAD与CQEffi似.32第一种情况：当 0WtW8时过Q点作QEL BC QH

31、L AB,垂足为E、H. AP=8- t , AD=2PD=/AP2 + AD2=/t2- 16td-68 -_ 3_ _3_ _4,. CEt , QE=t ,QH=BE=8 -t , BH=QE=t .5555PH=t-，etpq=/qh2-i-ph£ y|t -胃t+64，DQ=10- t -I ： DQ=DP 10 t=t2_ 16t+6S ,解得 t=8 秒.n： DQ=PQ 10- t=化简彳导:3t2 - 52t+180=0解得：t=t=48t+64 11J” 而326 - 2734>8 (不合题意舍去)3第二种情况：8WtW10 时.DP=DQ=10t.当8wt

32、<10时，以DQ为腰的等腰 DPQ1成立.第三种情况：10vtW12 时.DP=DQ=b 10.当10vtW12时，以DQ为腰的等腰 DPQ值成立.t= ZZ鱼或8wt V10或10vt W12时，以DQ为腰的等腰314.已知矩形 ABCD长BC=12cm宽AB=8cm P、Q分别是 AR BC上运动的两点.若P自点A出发，以1cm/s的速度沿AB方向运动，同时，Q自点B出发以2cm/s的速度 沿BC方向运动，问经过几秒，以P、B Q为顶点的三角形与 BDC相似？解答:解：设经x秒后， PBM BCD 由于/ PBQW BCD=90 ,(1)当/ 1=/2 时，有:8 -1217(2)当

33、/ 1=/3 时，有:整因,DC BCBCDCPB QF一 综上所述,DHQBDPQ立.答0ADD8£5CB Q即入生产2, 12 _ 8，经过2秒或2秒， PB6 BCD7DPB Q15.如图，在 ABC中，AB=10cmg BC=20cm点P从点A开始沿 AB边向B点以2cm/s 的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以4cm/s的速度移动，如果P、Q分别从 A、B同时出发，问经过几秒钟， PBQ与 ABC相似.设缝过秒后t秒后， PBQ4ABC相似，则有 AP=2t, BQ=4t, BP=10- 2t ,当PBM 4ABC时，有 BR AB=BQ BC, 即(10 - 2t)

34、: 10=4t : 20, 解得 t=2.5 (s) (6 分)当 4QB匹 ABC时，有 BQ AB=BP BC,即 4t : 10=所以，经过 解法二：设 分两种情况:(10 2t) : 20,解得 t=1 .2.5s 或 1s 时， PBQf ABC相似(10 分).ts 后， PBQ ABC相似，则有， AP=2t, BQ=4t, BP=10 2t(1)当BP与AB对应时，有当记，即Ad BC(2)当BP与BC对应时，有锣塔，即Ad dC10-2t 4t1020'4t 10-2t1020解得t=2.5st=1s所以经过1s或2.5s时，以P、B Q三点为顶点的三角形与4ABC!

35、似.16.如图，/ ACBW ADC=90 , AC=f£, AD=2.问当AB的长为多少时，这两个直角 三角形相似.当 里g或理，E时，两三角形相似.（3分）CB-CA CA CB解答:解： AC代,AD=2,. CD=Jac21 如2=收.要使这两个直角三角形相似，有两种情况:(1)当1)3)4)当 RtAABC RtACD时，右 AC AB . AD AC2 交有. AB=3;AD AC AD当 RtAACB RtCDAM,有里坦AB=-=3、n. CD AC CDD故当AB的长为3或3注时，这两个直角三角形相似.17.已知，如图，在边长为 a的正方形ABCM, M是AD的中点

36、，能否在边 AB上找 一点N （不含A、B）,使得 CD巾MAN!似？若能，请给出证明，若不能，请说明 理由.解答：证明：分两种情况讨论：若 CDMh MAIN 则 AN AM边长为a, M是AD的中点， AN=a.4若 CDMh NAM则理卫.姗端边长为a, M是AD的中点， . AN=a即N点与B重合，不合题意.CQ 二 CPCBCACQ 二 CPCACB时,时,8- a8- 2工富所以，经过亚秒或星秒后，两三角形相似.（6分）511所以，能在边AB上找一点N （不含AB),使得 CDMW MANK似.当 AN=a4时，N点的位置满足条件.18.如图在 ABC中，/C=90° ,

37、 BC=8cm AC=6cm 点 Q从 B 出发，沿 BC方向以 2cm/s 的速度移动，点P从C出发，沿CA方向以1cm/s的速度移动.若。P分别同时从 B C出发，试探究经过多少秒后，以点 C、P、Q为顶点的三角形与 CBAf似？解答：解：设经过x秒后，两三角形相似，则CQ= （8-2x） cm, CP=xcm （1分） / C=Z C=90° ,. x=i ; ( 4 分) 5x= . (5 分) 11点评：本题综合考查了路程问题，相似三角形的性质及一元一次方程的解法.19.如图所示，梯形 ABCD43, AD/ BC, Z A=90° , AB=7, AD=2, B

38、C=3 试在腰 AB 上确定点P的位置，使得以P, A, D为顶点的三角形与以 巳B, C为顶点的三角形相 似.解答： 解：(1)若点A, P, D分别与点B, C, P对应，即 APDABCFBP BC'"JN-唐,/ ”研 3p， AF2- 7AP+6=0, .AP=1 或 AP=6,"、检测：当 AP=1 时，由 BC=3 AD=2, BP=6,AN5C.堇迪, 又. / A=Z B=90° , .APD BCPBC BP当 AP=6 时，由 BC=3 AD=2 BP=1,又.一/ A=Z B=90° , .AP3 ABCP?(2)若点A,

39、 P, D分别与点B, P, C对应，即 AP3ABPC-. 一 二. APJ'一, , AP=一.BP BC 7-AP 35检验：当 ApM时 由BP&, AD=2, BC=3 .1空典,55BP BC又./Am/ B=90° , .AP3 ABPC因此，点P的位置有三处，即在线段AB距离点A的1、M、6处.5变长或变短了多少米?解答:20. 4ABC和 DEF是两个等腰直角三角形，/ A=Z D=90° , DEF的顶点E位于边 BC的中点上.（1）如图1,设DE与AB交于点 M, EF与AC交于点N,求证： BEMh CNE（2）如图2,将 DEF绕点

40、E旋转，使得 DE与BA的延长线交于点 M, EF与AC交于 点N,于是，除（1）中的一对相似三角形外，能否再找出一对相似三角形并证明你 的结论.-证明：（1） . ABC是等腰直角三角形， ./ MBE=45 , .BME廿 MEB=135又DEF是等腰直角三角形，DEF=45 / NEC廿 MEB=135/ BEMh NEC （4 分）而/ MBEW ECN=45 , .BEMhACNE （6分）（2）与（1）同理 BEMh CNE当ABS QAP时，包卫，所以二15 ,解得：t=也；AP AQ 2t 10-12当AQMABAC时，典也，即上二13,所以t=也；BA BC15102当4AQ

41、匹4BCA时，鲤理,即上二13,所以t=30 （舍去）.BC BA1015故当t=6或t=时，以点Q A、P为顶点的三角形与 ABC相似.22.如图，路灯（P点）距地面8米，身高1.6米的小明从距路灯的底部（。点）20米的A点，沿OA所在的直线行走14米到B点时，身影的长度是变长了还是变短了?解：. / MAC= MOP=90 , /AMCW OMP . MA6 MOP . MA ; AC 即 _6 MO -OP 20+MA " 8解得，MA=5米；同理，由 NBD NOP可求得 NB=1.5米, ，小明的身影变短了 5T.5=3.5米.工亘CN NE（8 分）又 : BE=EC三.

42、亘CN NE（10 分）23.阳光明媚的一天，数学兴趣小组的同学们去测量一棵树的高度（这棵树底部可以 . ECW MEN （12 分）21.如图，在矩形 ABCM, AB=15cmg BC=10cm点P沿AB边从点 A开始向B以2cm/s的速度移动；点Q沿DA边从点D开始向点A以1cm/s的速度移动.如果P、Q同时出发，用t （秒）表示移动的时间，那么当t为何值时，以点 。A、P为顶点的三角形与 ABC相似.解答：解：以点Q A P为顶点的三角形与 ABCffi似,所以 AB8 PAQe ABS QAP当 AB8 PAQ寸，鲤芈,所以至二10,解得：t=6 ;AP AQ 2t 10-t（1）所

43、需的测量工具是：;（2）请在下图中画出测量示意图；（3）设树高AB的长度为x,请用所测数据（用小写字母表示）求出 x.解答：解：（1）皮尺，标杆；（2）测量示意图如图所示；（3）如图，测得标杆 DE=a树和标杆的影长分别为 AC=lb EF=c,DED BAC- DE . a c . ah二, y二BA CA k b c（7分）则4 ECNlWMEIN有区又/ ECNh MEN=45 ,CN EN到达，顶部不易到达），他们带了以下测量工具：皮尺，标杆，一副三角尺，小平面 镜.请你在他们提供的测量工具中选出所需工具，设计一种测量方案.即:口156 208（6分）24.问题背景在某次活动课中，甲、

44、 乙、丙三个学习小组于同一时刻在阳光下对校园 中一些物体进行了测量.下面是他们通过测量得到的一些信息：甲组：如图1,测得一根直立于平地，长为 80cm的竹竿的影长为60cm.乙组：如图2,测得学校旗杆的影长为900cm.丙组：如图3,测得校园景灯（灯罩视为球体，灯杆为圆柱体，其粗细忽略不计）的 高度为200cm,影长为156cm.任务要求：（1）请根据甲、乙两组得到的信息计算出学校旗杆的高度；（2）如图3,设太阳光线NH与。相切于点M.请根据甲、丙两组得到的信息，求 景灯灯罩的半径.（友情提示：如图3,景灯的影长等于线段 NG的影长；需要时可采 用等式 1562+2082=2602）解答：解：

45、（1）由题意可知：/ BAC=/ EDF=90 , / BCA4 EFD.AB6 DEF. .蚂即理!（2分）DE DF DE 900DE=1200 （cm）.所以，学校旗杆的高度是 12m. （3分）（2）解法一：与类似得： 期/,即盘!一!_,GN=208 （4分）GN GH GN 156在RtANGHI,根据勾股定理得：N届1562+2082=2602,NH=260 （5 分）设。的半径为rcm,连接OM. . NH®。于 M，OML NH （6 分）贝U/ OMN = HGN=90 , 又. / ONMg HNG .OMN HGN .（7 分），HG-HN又 ON=OK+KN

46、=OK+GN- GK =r+8 ,. 丁 /+”156260解得：r=12.，景灯灯罩的半径是 12cm. （8分）解法二：与类似得：典萼,GN GH即理!GN 156.GN=208 （4 分）设。的半径为rcm,连接OM. NH切。于M OML NH （5 分）贝U/OMN=HGN=90 , 又. / ONM = HNG .OMN HGN门HG GN4 .MN= r ,3又ON=OK+KN=OK+GN- GK =r+8 . （7 分）在RtAOMhN,根据勾股定理得：r2+ （4） 2= （r+8） 2即 r29r 36=0,3解得：1=12,2=-3 （不合题意，舍去） ，景灯灯罩的半径是

47、 12cm. （8分）25. （2007?白银）阳光通过窗口照射到室内，在地面上留下2.7m宽的亮区（如图所示），已知亮区到窗口下的墙脚距离 EC=8.7m,窗口高AB=1.8m,求窗口底边离地面的 高BC解答：解：AE/ BD, . ECM DCB . .匹厘 AC"EC EC=8.7m, ED=2.7m, CD=6m AB=1.8m, AC=BC+1.8m 国-6BC+L8-8.7BC=4即窗口底边离地面的高为4m.oc由等比性质得:所以人影顶端在地面上移动的速度为（DA+AC是否是，解得：AC=AB=hi,灯柱的高 OP=O P' =l ,（3）根据题意设李华由 A到A', 由（1）可知/，世，即与二空，OC 0P 1 0C同理可得：J-h, 型二B,S即AC 二，即其二.OC - AC - 1 - h0广 l-hAcT0k同理可得：A，1 - n1 - hDA+AC= i h 二（0A+。' A）=" 是定值.1 - h1 - n身高为A'B' , A'C'代表其影长（如图）.OA 0C AC 1 hOC ci A'oc1 OC OC'AAy