第3讲充满活力的韦达定理

1、第三讲 充满活力的书达定理一元二次方程的根与系数的关系，通常也称为韦达定理，这是因为该定理是由16世纪法国最杰出的数学家韦达发现的.韦达定理简单的形式中包含了丰富的数学内容，应用广泛，主要体现在：运用韦达定理，求方程中参数的值；运用韦达定理，求代数式的值；利用韦达定理并结合根的判别式，讨论根的符号特征；利用韦达定理逆定理，构造一元二次方程辅助解题等韦达定理具有对称性，设而不求、整体代入是利用韦达定理解题的基本思路韦达定理，充满活力，它与代数、几何中许多知识可有机结合，生成丰富多彩的数学问题，而解这类问题常用到对称分析、构造等数学思想方法【例题求解】【例1】已知支、P是方程x2 x1 =0的两个

2、实数根，则代数式 口2+ot(P2 2)的值为.思路点拨：所求代数式为a、P的非对称式，通过根的定义、一元二次方程的变形转化为(例【例2】如果a、b都是质数，且a213a+m=0, b213b+m =0 ,那么B fa的值为()a bA、123 B、125或 2 C. 125 D、或 222222222思路点拨：可将两个等式相减，得到a、b的关系，由于两个等式结构相同，可视a、b为方程x2 -13x+m =0的两实根，这样就为根与系数关系的应用创造了条件注：应用韦达定理的代数式的值，一般是关于x1、x2的对称式，这类问题可通过变形用 x1+x2、x1x2表示求解，而非对称式的求值常用到以下技巧

3、：(1)恰当组合；(2)根据根的定义降次；(3)构造对称式.2【例3】 已知关于x的方程：x2 (m2)xm=04(1)求证：无论m取什么实数值，这个方程总有两个相异实根.(2)若这个方程的两个实根 x1、x2满足x2 = x1 +2,求m的值及相应的x1、x2.思路点拨：对于(2),先判定不、x2的符号特征，并从分类讨论入手.【例4】 设x1、x2是方程2x2 -4mx+2m2 +3m-2 =0的两个实数根，当 m为何值时，x12+x22有最小值？并求出这个最小值.思路点拨：利用根与系数关系把待求式用m的代数式表示，再从配方法入手，应注意本例是在一定约束条件下(刃)进行的.注：应用韦达定理的

4、前提条件是一元二次方程有两个实数根，即应用韦达定理解题时，须满足判别式用这一条件，转化是一种重要的数学思想方法，但要注意转化前后问题的等价性1 c 7【例5】 已知：四边形ABCD中，AB /CD ,且AB、CD的长是关于x的万程x2 2mx+(m)2+=02 4的两个根.(1)当m=2和m2时，四边形ABCD分别是哪种四边形？并说明理由.(2)若M、N分别是 AD、BC的中点，线段MN分别交 AC、BD于点P, Q, PQ= 1,且ABCD，求AB、 CD的长.思路点拨：对于(2)，易建立含AC、 BD 及 m 的关系式，要求出m 值，还需运用与中点相关知识找寻CD 、 AB 的另一隐含关系

5、式.形 ”向注：在处理以线段的长为根的一元二次方程问题时，往往通过韦达定理、几何性质将几何问题从“数 ”(方程)转化，既要注意通过根的判别式的检验，又要考虑几何量的非负性2充满活力的韦达定理学历训练1、已知x1和x2为一元二次方程 2x2 2x+3m1 =0的两个实根，并应和*2满足不等式 竺2一1 , X1 x2 - 4则实数m取值范围是.(2)已知关于 x的一元二次方程8x2+(m+1)x+m 一7 =0有两个负数根，那么实数m的取值范围是.2、已知a、P是方程的两个实数根，则代数式a3+u2pWB2+P2的值为.3、CD是RtA ABC斜边上的高线，AD、BD是方程x2 6x+4 =0的

6、两根，则4ABC的面积是.4、设x1、x2是关于x的方程x2 +px+q =0的两根，x1+1、x2 + 1是关于x的方程x2+qx+p =0的两根， 则 p、q 的值分别等于() A. 1, -3 B. 1, 3 C. -1, -3 D . -1 , 35、在 RtA ABC 中，/ C=90, a、b、c 分别是/ A、/B、/ C 的对边，a、b 是关于 x的方程x2 7x+c+7=0的两根，那么 AB边上的中线长是()A. 3 B. 5 C. 5 D. 2 226、方程x2 +px+1997=0恰有两个正整数根 xi、x2,则 p的值是()(x1 1)(x2 1)A. 1 B. -l

7、C. -1D. 1227、若关于x的一元二次方程的两个实数根满足关系式：Xi(Xi +1)+x2(X2 +1)=(Xi +1)(x2 +1),判断2(a +b) BC)的长是关于x的方程的两个根(1)求rn的值；(2)若E是AB上的一点，CFXDE于F,求BE为何值时，4CEF的面积是4CED的面积的1 ,请说3明理由.16、设m是不小于-1的实数，使得关于x的方程工x2 +2(m-2)x+m2-3m+3 =0有两个不相等的实数根C(第17题)x1 x2.22 若x12 +x22 =6,求m的值.（2）求 mJ+UM 的最大值.1 x11 f217、如图，已知在 4ABC 中，/ ACB=90

8、 ,过 C 作 CD LAB 于 D,且 AD = m, BD=n , AC2： BC2=2:一 一 、一 12_21;又关于x的方程-x -2(n -1)x+m -12 =0两实数根的差的平方小于192,求整数m、n的值.418、设a、b、c为三个不同的实数，使得方程和x2+ax+1=0和x2+bx+c=0有一个相同的实数根，并且使方程x2+x+a =0和x2+cx+b =0也有一个相同的实数根，试求a+b+c的值.参考答案HI充满活力的韦达定理【例题求解】例 l 0 摩式二江 + 1-3一24-1-*9=1一1二0例2 选B 当&=占时，厚式=2,当门工乩;3、&为方程工*-13工+盟=。

9、的两个根，。4&=13+*占只能为2成11.原式*?*2 _ 125 n22例3 tl）d式刖-1产+。（2）为6一一9/0，则不即网?0,或力。，为0.若 4 0闭多0,则 r? - - Xj +2.，_t +j工=2y Am-2= 2.得 m = 4,x= 士而：若 h1。0.工?0.则一工士 =xi +2t Axi +xr = - 2.二，舞一2 = 2.得 njOr Ji Ctxi = -2.2例 4 由=( - 4wi)i-4X2X(2m3 + 3m-2)0, m工告2m1 + 3m-2,w二Xi2=(jTr +xt)z 2j| jz 2(-7m)2 +4,40当E=4时/十丁1取得

10、最小值，且最小值为泉 3M例5 当时必=。gCD.故四边形八捌70是平行四边形.当2时,d =相-20,又AE+CU = 2eAB*匚口一所一十好十 .二港叱匚口而力日外以故四边形ARCH是梯形. PQ=yDC-1-ABl,.DC-AB = 27 ( DC-ABY = (D(：+AB)1 -4DC * AH ，印二(2加/一4(m* 一切 + 2),制得加=3 .从而 AH=2,CD=4.【学力训练】1. ( 1) (2)m7 sj6. C Ji xj = 1997 tXi =1 tJi 1997t= (jti +j-2 )= -1998.7.由条件得（力+色尸一3上|立一】=0 A（u+6）

11、s=4a6+1又=90 +匕尸-4 X 3乂 4&6。0二（u+b）2即4“右十竽白方*.4必石3从而4社+10知为血同号，分4050及上口在工0情况讨论，得人也 J U丸 3。,210.5 设,4 = /+3田8=用! 3% 由 4+*=10 及 4一出=0,得 A=5.II.wa 18 设另两边为儿j即由lrl = V(tr r-c)1 4frt；5及自营口，解得B p+q = 99 ,由凶为 2.97,wt = pg=jm*. 13* C4 -4惘)0gIti解得*2I心。C 设三根为1,工一则11厂410?7 m I,结合题设知：-lqmL(1)if + 元=Qi +为尸25工* =2m1 1。桁 + 10=6.解得5 VTy 由于一1用1,故 m 18.设工；十日箱 4-1 =o,j? +百丁.十二一0,降 J, =一同理+由 +jz +&=o*冠 +5 +占=0,得 j-2-故-tz =.。，把代人得工乂 Ji +.r2 =S(?ii 1) fJTi jtz =4(m2