数学史话之——希尔伯特的23个问题

1、数学史话之希尔伯特的个问题希尔伯特 （）是二十世纪上半叶德国乃至全世界最伟大的数学家之一。他在横跨两个世纪的六十年的研究生涯中，几乎走遍了现代数学所有前沿阵地，从而把他的思想深深地渗透进了整个现代数学。希尔伯特是哥廷根数学学派的核心， 他以其勤奋的工作和真诚的个人品质吸引了来自世界各地的年青学者，使哥廷根的传统在世界产生影响。希尔伯特去世时，德国自然杂志发表过这样的观点：现在世界上难得有一位数学家的工作不是以某种途径导源于希尔伯特的工作。他像是数学世界的亚历山大，在整个数学版图上，留下了他那显赫的名字。1900 年，希尔伯特在巴黎数学家大会上提出了23 个最重要的问题供二十世纪的数学家们去研究

2、，这就是著名的"希尔伯特23 个问题 " 。1975 年，在美国伊利诺斯大学召开的一次国际数学会议上，数学家们回顾了四分之三个世纪以来希尔伯特 23 个问题的研究进展情况。当时统计，约有一半问题已经解决了，其余一半的大多数也都有重大进展。1976 年，在美国数学家评选的自 1940 年以来美国数学的十大成就中，有三项就是希尔伯特第 1、第 5、第 10 问题的解决。由此可见，能解决希尔伯特问题，是当代数学家的无上光荣。下面摘录的是1987 年出版的数学家小辞典以及其它一些文献中收集的希尔伯特23个问题及其解决情况：1连续统假设1874 年，康托猜测在可列集基数和实数基数之间

3、没有别的基数，这就是著名的连续统假设。1938 年，哥德尔证明了连续统假设和世界公认的策梅洛-弗伦克尔集合论公理系统的无矛盾性。1963 年，美国数学家科亨证明连续假设和策梅洛-伦克尔集合论公理是彼此独立的。因此，连续统假设不能在策梅洛-弗伦克尔公理体系内证明其正确性与否。希尔伯特第1 问题在这个意义上已获解决。2算术公理的相容性欧几里得几何的相容性可归结为算术公理的相容性。希尔伯特曾提出用形式主义计划的证明论方法加以证明。1931 年，哥德尔发表的不完备性定理否定了这种看法。 1936 年德国数学家根茨在使用超限归纳法的条件下证明了算术公理的相容性。1988 年出版的中国大百科全书数学卷指出

4、，数学相容性问题尚未解决。3两个等底等高四面体的体积相等问题问题的意思是，存在两个等边等高的四面体，它们不可分解为有限个小四面体，使这两组四面体彼此全等。 M.W. 德恩 1900 年即对此问题给出了肯定解答。4两点间以直线为距离最短线问题此问题提得过于一般。满足此性质的几何学很多，因而需增加某些限制条件。 1973 年，苏联数学家波格列洛夫宣布，在对称距离情况下，问题获得解决。中国大百科全书说，在希尔伯特之后，在构造与探讨各种特殊度量几何方面有许多进展，但问题并未解决。5.一个连续变换群的李氏概念，定义这个群的函数不假定是可微的这个问题简称连续群的解析性，即：是否每一个局部欧氏群都有一定是李

5、群？中间经冯·诺伊曼（ 1933，对紧群情形）、邦德里雅金（ 1939，对交换群情形） 、谢瓦荚（ 1941，对可解群情形）的努力， 1952 年由格利森、蒙哥马利、齐宾共同解决，得到了完全肯定的结果。6.物理学的公理化 希尔伯特建议用数学的公理化方法推演出全部物理，首先是概率和力学。 1933 年，苏联数学家柯尔莫哥洛夫实现了将概率论公理化。后来在量子力学、量子场论方面取得了很大成功。但是物理学是否能全盘公理化，很多人表示怀疑。7.某些数的无理性与超越性后半部分，即对于任意代数数1934 年， A.O. 盖尔方德和T.施奈德各自独立地解决了问题的 0 ， 1，和任意代数无理数 证明

6、了 的超越性。8.素数问题包括黎曼猜想、 哥德巴赫猜想及孪生素数问题等。一般情况下的黎曼猜想仍待解决。哥德巴赫猜想的最佳结果属于陈景润（ 1966），但离最解决尚有距离。目前孪生素数问题的最佳结果也属于陈景润。9在任意数域中证明最一般的互反律学家 E.阿廷（ 1927）解决。该问题已由日本数学家高木贞治（1921）和德国数10丢番图方程的可解性能求出一个整系数方程的整数根，称为丢番图方程可解。希尔伯特问，能否用一种由有限步构成的一般算法判断一个丢番图方程的可解性？1970 年，苏联的 IO.B. 马季亚谢维奇证明了希尔伯特所期望的算法不存在。11系数为任意代数数的二次型H.哈塞（ 1929）和

7、 C.L. 西格尔（ 1936， 1951 ）在这个问题上获得重要结果。12将阿贝尔域上的克罗克定理推广到任意的代数有理域上去这一问题只有一些零星的结果，离彻底解决还相差很远。13不可能用只有两个变数的函数解一般的七次方程七次方程的根依赖于3 个参数 a、b、c，即 x=x （ a，b， c）。这个函数能否用二元函数表示出来？苏联数学家阿诺尔德解决了连续函数的情形（ 1957 ），维士斯金又把它推广到了连续可微函数的情形（1964）。但如果要求是解析函数，则问题尚未解决。14证明某类完备函数系的有限性这和代数不变量问题有关。1958 年，日本数学家永田雅宜给出了反例。15舒伯特计数演算的严格基

8、础一个典型问题是：在三维空间中有四条直线，问有几条直线能和这四条直线都相交？舒伯特给出了一个直观解法。希尔伯特要求将问题一般化，并给以严格基础。 现在已有了一些可计算的方法，它和代数几何学不密切联系。但严格的基础迄今仍未确立。16代数曲线和代数曲线面的拓扑问题这个问题分为两部分。前半部分涉及代数曲线含有闭的分枝曲线的最大数目。 后半部分要求讨论 的极限环的最大个数和相对位置， 其中 X 、 Y 是 x、 y 的 n 次多项式 .苏联的彼罗夫斯基曾宣称证明了 n=2 时极限环的个数不超过 3，但这一结论是错误的，已由中国数学家举出反例（ 1979）。17半正定形式的平方和表示一个实系数n 元多项

9、式对一切数组等于 0，是否都能写成平方和的形式？1927 年阿廷证明这是对的。(x1,x2,.,xn)都恒大于或18用全等多面体构造空间 由德国数学家比勃马赫（ 1910）、荚因哈特（ 1928）作出部分解决。19正则变分问题的解是否一定解析对这一问题的研究很少。C.H.伯恩斯坦和彼得罗夫斯基等得出了一些结果。20一般边值问题 这一问题进展十分迅速，已成为一个很大的数学分支。目前还在继续研究。21具有给定单值群的线性微分方程解的存在性证明已由希尔伯特本人（1905 ）和 H. 罗尔（ 1957）的工作解决。22由自守函数构成的解析函数的单值化它涉及艰辛的黎曼曲面论，1907 年 P.克伯获重要

10、突破，其他方面尚未解决。23变分法的进一步发展出 这并不是一个明确的数学问题，只是谈了对变分法的一般看法。 20 世纪以来变分法有了很大的发展。这 23 问题涉及现代数学大部分重要领域，推动了20 世纪数学的发展。出师表两汉：诸葛亮先帝创业未半而中道崩殂，今天下三分， 益州疲弊， 此诚危急存亡之秋也。然侍卫之臣不懈于内，忠志之士忘身于外者，盖追先帝之殊遇，欲报之于陛下也。诚宜开张圣听，以光先帝遗德，恢弘志士之气，不宜妄自菲薄，引喻失义，以塞忠谏之路也。宫中府中，俱为一体；陟罚臧否，不宜异同。若有作奸犯科及为忠善者，宜付有司论其刑赏，以昭陛下平明之理；不宜偏私，使内外异法也。侍中、侍郎郭攸之、费

11、祎、董允等，此皆良实，志虑忠纯，是以先帝简拔以遗陛下：愚以为宫中之事，事无大小，悉以咨之，然后施行，必能裨补阙漏，有所广益。将军向宠，性行淑均，晓畅军事，试用于昔日，先帝称之曰愚以为营中之事，悉以咨之，必能使行阵和睦，优劣得所。“能 ”，是以众议举宠为督：亲贤臣， 远小人， 此先汉所以兴隆也； 亲小人， 远贤臣， 此后汉所以倾颓也。 先帝在时，每与臣论此事， 未尝不叹息痛恨于桓、 灵也。 侍中、尚书、 长史、 参军，此悉贞良死节之臣，愿陛下亲之、信之，则汉室之隆，可计日而待也。臣本布衣，躬耕于南阳，苟全性命于乱世，不求闻达于诸侯。先帝不以臣卑鄙，猥自枉屈，三顾臣于草庐之中，咨臣以当世之事，由是感激，遂许先帝以驱驰。后值倾覆，受任于败军之际，奉命于危难之间，尔来二十有一年矣。先帝知臣谨慎，故临崩寄臣以大事也。受命以来，夙夜忧叹，恐托付不效，以伤先帝之明；故五月渡泸，深入不毛。今南方已