《复数的运算复数的加法与减法》教案新人教选修

1、数学： 3.2.1 复数的运算-复数的加法与减法教案（1）（新人教选修2-2 ）§ 3.2 复数代数形式的四则运算§ 3.2.1 复数代数形式的加减运算及几何意义教学目标：知识与技能：掌握复数的加法运算及意义过程与方法：理解并掌握实数进行四则运算的规律，了解复数加减法运算的几何意义情感、态度与价值观：理解并掌握复数的有关概念（ 复数集、代数形式、虚数、纯虚数、实部、虚部） 理解并掌握复数相等的有关概念；画图得到的结论，不能代替论证，然而通过对图形的观察，往往能起到启迪解题思路的作用教学重点：复数加法运算，复数与从原点出发的向量的对应关系教学难点：复数加法运算的运算率，复数加

2、减法运算的几何意义。教具准备：多媒体、实物投影仪。教学设想：复数有复平面内惟一的一个点和它对应；反过来，复平面内的每一个点，有惟一的一个复数和它对应。复数z=a+bi（a、bG R）与有序实数对（a, b）是一一对应关系这是因 为对于任何一个复数 z=a+bi（a、b R）,由复数相等的定义 可知，可以由一个有序实数对(a, b)惟一确定.教学过程：学生探究过程：1. 虚数单位:(1) 它的平方等于-1 ，即 ; (2) 实数可以与它进行四则运算，进行四则运算时，原有加、乘运算律仍然成立2. 与 1 的关系 : 就是 1 的一个平方根，即方程x2= 1 的一个根，方程x2= 1 的另一个根是3

3、. 的周期性：4n+1=i, 4n+2=-1, 4n+3=-i, 4n=14. 复数的定义：形如的数叫复数，叫复数的实部，叫复数的虚部全体复数所成的集合叫做复数集，用字母C表示*3. 复数的代数形式: 复数通常用字母z 表示， 即， 把复数表示成 a+bi 的形式，叫做复数的代数形式4. 复数与实数、虚数、纯虚数及0 的关系：对于复数，当且仅当b=0时，复数a+bi(a、b R)是实数a；当b中0时，复 数z=a+bi叫做虚数；当a=0且b中0时，z=bi叫做纯虚数； 当且仅当a=b=0 时， z 就是实数0.5. 复数集与其它数集之间的关系：NZQRC.6. 两个复数相等的定义：如果两个复数

4、的实部和虚部分别相等，那么我们就说这两个复数相等即：如果 a, b, c, dGR那么 a+bi=c+dia=c ， b=d一般地，两个复数只能说相等或不相等，而不能比较大小.如果两个复数都是实数，就可以比较大小只有当两个复数不全是实数时才不能比较大小7. 复平面、实轴、虚轴：点Z的横坐标是a,纵坐标是b,复数z=a+bi（a、bG R）可用点Z（a, b）表示，这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，也叫高斯平面，x 轴叫做实轴，y 轴叫做虚轴实轴上的点都表示实数对于虚轴上的点要除原点外，因为原点对应的有序实数对为（0 ， 0） ， 它所确定的复数是z=0+0i=0 表示是实数. 故

5、除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数复数集C和复平面内所有的点所成的集合是一一对应关系，即复数复平面内的点这是因为，每一个复数有复平面内惟一的一个点和它对应；反过来， 复平面内的每一个点，有惟一的一个复数和它对应.这就是复数的一种几何意义. 也就是复数的另一种表示方法，即几何表示方法8. 若，则9. 若，则，两个向量和与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与差10. 若，则一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点坐标减去 始点的坐标即 =?=( x2, y2) ? (x1,y1)= (x2? x1, y2? y1)讲解新课：一.复数代数形式的加减运算1 .复数z1与z2的和的定义：z1+z

6、2=(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i.2 , 复数z1与z2的差的定义：z1-z2=(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i.3,复数的加法运算满足交换律：z1+z2=z2+z1.证明：设 z1=a1+b1i , z2=a2+b2i(a1 , b1, a2, b2GR).: z1+z2=(a1+b1i)+(a2+b2i)=(a1+a2)+(b1+b2)i.z2+z1=(a2+b2i)+(a1+b1i)=(a2+a1)+(b2+b1)i.又 = a1+a2=a2+a1, b1+b2=b2+b1.z1+z2=z2+z1,即复数的加法运算满足交换律.4,复数的加法运算

7、满足结合律：(z1+z2)+z3=z1+(z2+z3) 证明：设 z1=a1+b1i,z2=a2+b2i , z3=a3+b3i(a1 , a2, a3, b1, b2, b3G R)./(z1+z2)+z3= ： (a1+b1i)+(a2+b2i) +(a3+b3i)=：(a1+a2)+(b1+b2)i +(a3+b3)i=(a1+a2)+a3 + ：(b1+b2)+b3 i=(a1+a2+a3)+(b1+b2+b3)i.z1+(z2+z3)=(a1+b1i)+：(a2+b2i)+(a3+b3i)=(a1+b1i)+ ： (a2+a3)+(b2+b3)i =：a1+(a2+a3) + ：b1

8、+(b2+b3) i=(a1+a2+a3)+(b1+b2+b3)iV(a1+a2)+a3=a1+(a2+a3) , (b1+b2)+b3=b1+(b2+b3). (z1+z2)+z3=z1+(z2+z3).即复数的加法运算满足结合律讲解范例：例 1 计算：(5-6i)+(-2-i)-(3+4i)解：(5-6i)+(-2-i)-(3+4i)= (5-2-3)+(-6-1-4) i= -11 i例 2 计算：(1 -2i)+( -2+3i)+(3 -4i)+( -4+5i)+.+(2002+2003i)+(2003 2004i)解法一：原式=(1 -2+3-4+. -2002+2003)+( -2

9、+34+5+.+2003 - 2004i)=(2003 -1001)+(1001 -2004)i=1002 1003i.解法二：(1 2i)+( -2+3i)= 1+i ,(3 -4i)+( -4+5i)= -1+i ,(2001 -2002i)+( -2002+2003)i= -1+i.相加得(共有1001个式子)：原式=1001( 1+i)+(2003 -2004i)=(2003 -1001)+(1001 -2004)i=1002 -1003i二.复数代数形式的加减运算的几何意义复数的加( 减 ) 法 (a+bi) ± (c+di)=(a ± c)+(b ±

10、d)i.与多项式加( 减 ) 法是类似的. 就是把复数的实部与实部，虚部与虚部分别相加( 减 ).1. 复平面内的点平面向量2. 复数平面向量3. 复数加法的几何意义：设复数 z1=a+bi ， z2=c+di ，在复平面上所对应的向量为、，即、的坐标形式为二(a, b), =(c, d)以、为邻边作平行四边形OZ1ZZ2则对角线OZ对应的向量是，. . = +=(a , b)+(c , d)=(a+c , b+d) = (a+c)+(b+d)i4. 复数减法的几何意义：复数减法是加法的逆运算，设 z=(a-c)+(b d)i ,所以zz1=z2, z2+z1=z,由复数加法几何意义，以为一条

11、对角线，为一条边画平行四边形，那么这个平行四边形的另一边 OZ2所表示的向量就与复数z-z1的差(a c)+(b d)i 对应由于，所以，两个复数的差z z1 与连接这两个向量终点并指向被减数的向量对应.例 3 已知复数z1=2+i ， z2=1+2i 在复平面内对应的点分别为A、B,求对应的复数z, z在平面内所对应的点在第几象限？解：z=z2 z1=(1+2i) (2+i)= 1+i ，.z 的实部 a=- 1V0,虚部 b=1>0,复数z在复平面内对应的点在第二象限内.点评：任何向量所对应的复数，总是这个向量的终点所对应的复数减去始点所对应的复数所得的差. 即所表示的复数是zB z

12、A.,而所表示的复数是zA zB,故切不可把被减数与减数搞错尽管向量的位置可以不同，只要它们的终点与始点所对应的复数的差相同，那么向量所对应的复数是惟一的，因此我们将复平面上的向量称之自由向量，即它只与其方向和长度有关，而与位置无关例 4 复数 z1=1+2i， z2= 2+i ， z3= 1 2i ，它们在复平面上的对应点是一个正方形的三个顶点，求这个正方形的第四个顶点对应的复数.分析一：利用，求点D的对应复数.解法一：设复数z1、包、z3所对应的点为 A B、C,正方形 的第四个顶点D对应的复数为x+yi（x , yGR）,是： =（x+yi） （1+2i）=（x 1）+（y 2）i;=（

13、 1 2i） （ 2+i）=1 3i.,即（x 1）+（y 2）i=1 3i ,解得故点D对应的复数为2-i.分析二：利用原点 O正好是正方形ABCD勺中心来解.解法二：因为点A与点C关于原点对称，所以原点O为正方形的中心，于是（ 2+i）+（x+yi）=0 , .x=2, y= 1.故点D对应的复数为2-i.点评：根据题意画图得到的结论，不能代替论证，然而通过对图形的观察，往往能起到启迪解题思路的作用巩固练习：1. 已知复数z1=2+i,z2=1+2i, 则复数z=z2 z1 在复平面内所表示的点位于A. 第一象限B. 第二象限C.第三象限 D.第四象限2. 在复平面上复数3 2i, 4+5

14、i,2+i 所对应的点分别是A、B、C,则平行四边形ABCD勺对角线BD所对应的复数是A.5 9iB. 5 3iC.7 11iD. 7+11i3. 已知复平面上 AOB的顶点A所对应的复数为1+2i,其重心G所对应的复数为1+i,则以OA OB为邻边的平行四边形的对角线长为A.3B.2C.2D.4. 复平面上三点 A B、C分别对应复数1, 2i,5+2i,则由A、B、C所构成的三角形是A. 直角三角形B. 等腰三角形C.锐角三角形D.钝角三角形5. 一个实数与一个虚数的差（）A. 不可能是纯虚数B. 可能是实数C. 不可能是实数D. 无法确定是实数还是虚数6. 计算 （ =.7. 计算：（2

15、x+3yi） （3x 2yi）+（y 2xi） 3xi=（x、yGR）.8. 计算（1 2i） （2 3i）+（3 4i） . （20022003i）.9. 已知复数 z1=a2 3+（a+5）i,z2=a 1+（a2+2a 1）i（a R） 分别对应向量、（O为原点），若向量对应的复数为纯虚数， 求 a 的值 .解：对应的复数为z2 z1 ，则z2 z1=a 1+（a2+2a 1）i a2 3+（a+5）i =（aa2+2）+（a2+a 6）i. z2- z1是纯虚数解得 a= 1.10已知复平面上正方形的三个顶点是A（ 1， 2） 、 B（2，1）、C（1，2），求它的第四个顶点D 对应的

16、复数.解：设D（ x,y）, 则对应的复数为（x+yi） （1+2i）=（x 1）+（y 2）i对应的复数为：（ 1 2i） （ 2+i）=1 3i.（x 1）+（y -2）i=1 -3i.,解得.D点对应的复数为2-i o答案： 1.B 2.C 3.A 4.A 5.C 6. 2i 7.（y x）+5（y 8. 解：原式=(1 2+3 4+.+2001 2002) +( 2+3 4+. 2002+2003)i= 1001+1001i课后作业：课本第112页 习题 3.2 1 , 2 , 3教学反思：如果两个复数的实部和虚部分别相等，那么我们就说这两个复数相等即：如果 a, b, c, dG R 那么a+bi=c+dia=c , b=d一般地，两个复数只能说相等或不相等，而不