自动控制原理第二章课件(数学模型)

1、 所谓的数学模型，所谓的数学模型，是描述系统动态特性及各变量之间关系的数学表达式是描述系统动态特性及各变量之间关系的数学表达式。控控制系统定量分析的基础。制系统定量分析的基础。 1) 1) 相似性：不同性质的系统，具有相同的数学模型。抽象的变量和系统相似性：不同性质的系统，具有相同的数学模型。抽象的变量和系统 2) 2) 简化性和准确性：忽略次要因素，简化之，但不能太简单，结果合理简化性和准确性：忽略次要因素，简化之，但不能太简单，结果合理 3) 3) 动态模型：变量各阶导数之间关系的微分方程。动态模型：变量各阶导数之间关系的微分方程。 4) 4) 静态模型：静态条件下，各变量之间的代数方程。

2、静态模型：静态条件下，各变量之间的代数方程。 1)1)微分方程：时域微分方程：时域 其它模型的基础其它模型的基础 直观直观 求解繁琐求解繁琐 2)2)传递函数：复频域传递函数：复频域 微分方程拉氏变换后的结果微分方程拉氏变换后的结果 3)3)频率特性：频域频率特性：频域 分析方法不同，各有所长分析方法不同，各有所长 1) 1) 分析法：根据系统各部分的运动机理，按有关定理列方程，分析法：根据系统各部分的运动机理，按有关定理列方程，合在一起。合在一起。 2) 2) 实验法：黑箱问题。施加某种测试信号，记录输出，用系实验法：黑箱问题。施加某种测试信号，记录输出，用系统辨识的方法，得到数学模型。统辨

3、识的方法，得到数学模型。 1) 1) 分析系统运动的因果关系，确定系统的分析系统运动的因果关系，确定系统的、及及内部内部，搞清各变量之间的关系。，搞清各变量之间的关系。 2) 2) 忽略一些次要因素，忽略一些次要因素，。 3) 3) 根据相关基本定律，列出各部分的根据相关基本定律，列出各部分的。 4) 4) 列写中间变量的列写中间变量的。 ！ 5) 5) 联立上述方程，消去中间变量，得到只包含输入联立上述方程，消去中间变量，得到只包含输入输出的方程式。输出的方程式。 6) 6) 将方程式化成标准形。将方程式化成标准形。 三个基本的无源元件：质量三个基本的无源元件：质量m,m,弹簧弹簧k,k,阻

4、尼器阻尼器f f对应三种阻碍运动的力对应三种阻碍运动的力: :惯性力惯性力ma;ma;弹性力弹性力ky;ky;阻尼力阻尼力fvfv 例例2-12-1 弹簧弹簧- -质量质量- -阻尼器串联系统。阻尼器串联系统。 试列出以外力试列出以外力F(t)为输入量，以质量的位移为输入量，以质量的位移y(t)为为输出量的运动方程式。输出量的运动方程式。 解：遵照列写微分方程的一般步骤有：解：遵照列写微分方程的一般步骤有： （1 1）确定）确定输入量输入量为为F(t)，输出量输出量为为y(t)，作用于质，作用于质量量m的力还有弹性阻力的力还有弹性阻力Fk(t)和粘滞阻力和粘滞阻力Ff(t)，均作为，均作为中间

5、变量。中间变量。 （2）设系统按线性集中参数考虑）设系统按线性集中参数考虑，且无外力作用时，且无外力作用时，系统处于平衡状态。系统处于平衡状态。 KmfF(t)y(t) （3 3）按牛顿第二定律列写原始方程，即）按牛顿第二定律列写原始方程，即kytFk )( )(dtdyffvtFf （5 5）将以上辅助方程式代入原始方程）将以上辅助方程式代入原始方程, ,消去中消去中间变量间变量, ,得得)(22tFdtdyfkydtydm （6 6）整理方程得标准形）整理方程得标准形)(122tFkydtdykfdtydkm )()()(22 dtydmtFtFtFFfk （4 4）写中间变量与输出量的关

6、系式）写中间变量与输出量的关系式KmfF(t)y(t)令令Tm2 = m/k，Tf = f/k ，则方程化为，则方程化为)(1222tFkydtdyTdtydTfm 2). 弹簧弹簧-阻尼系统阻尼系统已知已知: 弹簧系数弹簧系数 K,外力外力 x, 阻尼系数阻尼系数f , 位移位移 y. 求求: 系统动态方程式系统动态方程式.解解: 根据牛顿第三定律根据牛顿第三定律 Kfyx)()()(txtKydttdyf)(1)()(txKtydttdyKf整理成规范形式整理成规范形式 3). 无固定的弹簧无固定的弹簧-阻尼阻尼-质量系统质量系统KfyxM22)()(dtydMxyKdtxydf已知已知:

7、 弹簧系数弹簧系数 K,位移位移x, 阻尼系数阻尼系数f,位移位移y,质量质量 M. 求求: 系统动态方程式系统动态方程式.解解:根据牛顿第二定律根据牛顿第二定律整理成规范形式整理成规范形式xdtdxKfydtdyKfdtydKM22 例例1 1 电阻电感电容串联系统。电阻电感电容串联系统。R-L-CR-L-C串联电路，试列出以串联电路，试列出以u ur r( (t t) )为输入量，为输入量，u uc c( (t t) )为输出量的网络微分方程式。为输出量的网络微分方程式。 R C ur(t) uc(t) L 解：解：（1 1）确定输入量）确定输入量为为ur(t)，输出量为，输出量为uc(t

8、)，中，中间变量为间变量为i(t)。 rcuuRidtdiL （4 4）列写中间变量）列写中间变量i与输出变量与输出变量uc c 的关系式的关系式: : dtduCic （5 5）将上式代入原始方程，消去中间变量得）将上式代入原始方程，消去中间变量得 R C ur(t) uc(t) L（2 2）网络按线性集中参数考虑且忽略输出端负载效应。）网络按线性集中参数考虑且忽略输出端负载效应。（3 3）由）由KVLKVL写原始方程：写原始方程：i(t)（6 6）整理成标准形，令）整理成标准形，令T1 = L/R，T2 = RC，则方程化为则方程化为rcccuudtduTdtudTT 22221rcccu

9、udtduRCdtudLC 22 2. RC 串并联电路串并联电路 已知已知: RC 电路如图电路如图 . 求求: 以以U i为输入为输入,U o为输出的系统动态方程式为输出的系统动态方程式.解解:dtICRIIRUIRRIUIIIi2112021121121III,021UdtICUi 应消去中间变量应消去中间变量I1CUiUoR1R2I2IdtdUdtdUCIi02dtdUdtdUCUURIdtICRIii00122111dtdUdtdUCRUURRIRUii0201220iiURRdtdUCRURRdtdUCR122012021iiURdtdUCRRURRdtdUCRR221021021

10、线性微分方程的一般特征线性微分方程的一般特征 观察实际物理系统的运动方程，若用线性定常特性来描述，则方程一般具观察实际物理系统的运动方程，若用线性定常特性来描述，则方程一般具有以下形式：有以下形式：cadtdcadtcdadtcdannnnnn 11110 rbdtdrbdtrdbdtrdbmmmmmm 11110式中，式中，c(t)是系统的输出变量，是系统的输出变量，r(t)是系统的输入变量。是系统的输入变量。 从工程可实现的角度来看，上述微分方程满足以下约束：从工程可实现的角度来看，上述微分方程满足以下约束： （3 3）方程式两端的各项的量纲应一致。利用这点，可以检查微）方程式两端的各项的

11、量纲应一致。利用这点，可以检查微分方程式的正确与否。分方程式的正确与否。 cadtdcadtcdadtcdannnnnn11110 rbdtdrbdtrdbdtrdbmmmmmm1111022( )d ydymfkyF tdtdt221rd qdqLRqudtdtC：任何系统，只要它们的微分方程具有相同的形：任何系统，只要它们的微分方程具有相同的形式。在方程中，占据相同位置的量，相似量。式。在方程中，占据相同位置的量，相似量。 上面两个例题介绍的系统，就是相似系统。上面两个例题介绍的系统，就是相似系统。例例2-1例例2-2令令uc=q/CrcccuudtduRCdtudLC 22当分析一个当分

12、析一个机械系统或不易进行试机械系统或不易进行试验的系统时，可以建造验的系统时，可以建造一个与它相似的电模拟一个与它相似的电模拟系统，来代替对它的研系统，来代替对它的研究。究。 用拉氏变换求解微分方程的一般步骤：用拉氏变换求解微分方程的一般步骤： 1)1)对微分方程两边进行拉氏变换。对微分方程两边进行拉氏变换。 2)2)求解代数方程，得到微分方程在求解代数方程，得到微分方程在s 域的解。域的解。 3)3)求求s 域解的拉氏反变换，即得微分方程的解。域解的拉氏反变换，即得微分方程的解。2.4.1. 2.4.1. 线性常系数微分方程的求解线性常系数微分方程的求解微分方程式微分方程式r(t)c(t)求

13、解代数方程求解代数方程时域解时域解c(t)Ls的代数方程的代数方程R(s)C(s)求解微分方程式求解微分方程式s域解域解C(s) L-1 用拉氏变换求解的优点：用拉氏变换求解的优点：1）复杂的微分方程变换成简单的代数方程）复杂的微分方程变换成简单的代数方程2）求得的解是完整的，初始条件已包含在拉氏变换中）求得的解是完整的，初始条件已包含在拉氏变换中,不用另行确定积分常数不用另行确定积分常数3）若所有的初值为）若所有的初值为0，拉氏变换式可直接用，拉氏变换式可直接用s 代替代替 , 得到。得到。 当然，阶次高时，求拉氏反变换也不太容易，当然，阶次高时，求拉氏反变换也不太容易，往往并不需要求出解，

14、往往并不需要求出解，可用可用图解法图解法预测系统的性能，可用相关性质得到解的特征，初值、终值等，满足预测系统的性能，可用相关性质得到解的特征，初值、终值等，满足工程需要。工程需要。dtd222dtds 代替2.4.2 2.4.2 传递函数的定义和实际意义传递函数的定义和实际意义 微分方程是时域中的数学模型，传递函数是采用微分方程是时域中的数学模型，传递函数是采用L L 法求解微分方程时法求解微分方程时引申出来的复频域中的数学模型，它不仅可以表征系统的动态性能，而且可引申出来的复频域中的数学模型，它不仅可以表征系统的动态性能，而且可以用来研究系统的结构和参数变化时对系统性能的影响，是经典控制理论

15、中以用来研究系统的结构和参数变化时对系统性能的影响，是经典控制理论中最重要的模型。最重要的模型。1 定义定义 在线性定常系统中，当初始条件为零时，系统输出拉氏变换与在线性定常系统中，当初始条件为零时，系统输出拉氏变换与输入拉氏变换的比，称为传递函数，用输入拉氏变换的比，称为传递函数，用G(S)表示。表示。即即)()()(sRsCsG 例例2-72-7中，若令中，若令uc(0) = 0，则有，则有)(11)(11)(sUTssURCssUrrc RCTTssUsUsGrc 11)()()(于是于是 可见，输入与输出之间的关系仅取决于电路的结构形式及其可见，输入与输出之间的关系仅取决于电路的结构形

16、式及其参数（固有特性）参数（固有特性）,与输入的具体形式无关，无论输入如何，系统与输入的具体形式无关，无论输入如何，系统都以相同的传递作用输出信息或能量，因此称之为都以相同的传递作用输出信息或能量，因此称之为传递函数传递函数。 传递函数是代数式，其传递作用还经常用方框图直观的表示：传递函数是代数式，其传递作用还经常用方框图直观的表示：G(s) Uc(s)Ur(s)Uc(s) = G(s) Ur(s)rbdtdrbdtrdbdtrdbmmmmmm 11110cadtdcadtcdadtcdannnnnn 11110 一般的，设线性定常系统的微分方程式为一般的，设线性定常系统的微分方程式为式中，式

17、中，r(t)是输入量，是输入量，c(t)是输出量。是输出量。在零初始条件下，对上式两端进行拉氏变换得在零初始条件下，对上式两端进行拉氏变换得 (a0sn + a1sn 1 + + an 1s + an )C(s)= (b0sm + b1sm 1 + + am 1s + am )R(s)按定义，其传递函数为按定义，其传递函数为nnnnmmmmaasasabsbsbsbsRsCsG 11101110)()()( G(s)是由微分方程是由微分方程经线性经线性拉氏变换得到，故等价，只是把时域变拉氏变换得到，故等价，只是把时域变换到复频域而已，但换到复频域而已，但它是一个函数它是一个函数，便于计算和采用

18、方框图表示，便于计算和采用方框图表示，广泛应用。广泛应用。 其分母多项式就是微分方程的特征多项式，决定系统的动态性能。其分母多项式就是微分方程的特征多项式，决定系统的动态性能。从描述系统的完整性来说，它只能反应零状态响应部分。从描述系统的完整性来说，它只能反应零状态响应部分。1）都是零初始条件的，即系统在输入作用前是相对静止的，即输）都是零初始条件的，即系统在输入作用前是相对静止的，即输出量及其各阶导数在出量及其各阶导数在t =0的值为零。的值为零。2）输入在）输入在t =0以后才作用于系统，即输入及其各阶导数在以后才作用于系统，即输入及其各阶导数在t =0的值的值为零；为零； 对于非对于非0

19、初始条件时，可采用叠加原理。初始条件时，可采用叠加原理。 2.4.3 2.4.3 传递函数的性质传递函数的性质 (a)传递函数是一种数学模型，与系统的微分方程相对应。传递函数是一种数学模型，与系统的微分方程相对应。 (b)传递函数是系统本身的一种属性，与输入量的大小和性质无关。传递函数是系统本身的一种属性，与输入量的大小和性质无关。 (c)传递函数只适用于线性定常系统，因为拉氏变换是一种线性变换。传递函数只适用于线性定常系统，因为拉氏变换是一种线性变换。( (d d) )传递函数描述的是一对确定的变量之间的传递关系，对中间变量不反应。传递函数描述的是一对确定的变量之间的传递关系，对中间变量不反

20、应。 ( (e e) )传递函数是在零初始条件下定义的，因而它不能反映在非零初始条件下系统传递函数是在零初始条件下定义的，因而它不能反映在非零初始条件下系统的运动情况。（零状态解）的运动情况。（零状态解）( (f f) )传递函数一般为复变量传递函数一般为复变量s s 的有理分式，它的分母多项式是系统的特征多项式，的有理分式，它的分母多项式是系统的特征多项式，且阶次总是大于或等于分子多项式的阶次，即且阶次总是大于或等于分子多项式的阶次，即n n m m。并且所有的系数均为实数。并且所有的系数均为实数。(g)(g)传递函数与脉冲响应一一对应，是拉氏变换与反变换的关系。传递函数与脉冲响应一一对应，

21、是拉氏变换与反变换的关系。 系统辨识系统辨识 )()()()()()()()(1)()(1sGtgsGLtcsGsGsRsCtLsR 2 G(s)的微观结构的微观结构 G(s)是关于是关于s的有理分式，可分解成多种形式：的有理分式，可分解成多种形式：1）零极点表达式）零极点表达式).().(.)(1111101110nmgnnnnmmmmpspszszskasasasabsbsbsbsG 00abkg 可知：传递函数定，零、极点和可知：传递函数定，零、极点和kg唯一确定，反之亦然。因此传递函唯一确定，反之亦然。因此传递函数可用零极点和传递系数数可用零极点和传递系数等价等价表示。表示。 零极点既

22、可以是实数，也可以是复数，表示在复平面上，形成的图称零极点既可以是实数，也可以是复数，表示在复平面上，形成的图称传递函数的传递函数的零、极点分布图零、极点分布图。反映系统的动态性能。因此对系统的研究，。反映系统的动态性能。因此对系统的研究，可变成对系统传函的零、极点的研究了，这就是可变成对系统传函的零、极点的研究了，这就是。传递系数，传递系数，根轨迹增益根轨迹增益静态放大倍数,0)()1).(12)(1()1).(12)(1(.)(0222212222111101110 tsKabsGsTsTsTsTssssKasasasabsbsbsbsGnmsjinnnnmmmm 较容易分解成一些典型环节

23、，较容易分解成一些典型环节，chapter5 应用应用p1p2j1 1 j 0 2 3p3z1)22)(3(2)(2 sssssG 例如，试画出下面传递函例如，试画出下面传递函数的零极点图。数的零极点图。 可看成是若干称为典型环节的基本因子的乘积，一般认为典可看成是若干称为典型环节的基本因子的乘积，一般认为典型环节有型环节有6 6种，这些典型环节种，这些典型环节, ,对应典型电路。这样划分对系统分对应典型电路。这样划分对系统分析和研究带来很大的方便。析和研究带来很大的方便。 分述如下：分述如下： 121) 12(11) 1() 1() 12)(1() 1() 12)(1()()()(22222

24、22211222212222111101110ssTsssTsKsTssTsTssssKaasasabsbsbsbsRsCsGjinnnnmmmm1. 1.比例环节比例环节（杠杆杠杆，齿轮系齿轮系，电位器电位器，变压器变压器等）等） 运动方程式运动方程式 c(t) = K r(t) 传递函数传递函数 G(s) = K 单位阶跃响应单位阶跃响应 C(s) = G(s) R(s) = K/s c(t) = K 1(t) 可见，当输入量可见，当输入量r(t)=1(t)时，时，输出量输出量c(t)成比例变化。成比例变化。 r(t)1c(t)t0K 2. 2.惯性环节惯性环节 微分方程式：微分方程式：

25、式中，式中，T是惯性环节时间常数。是惯性环节时间常数。惯性环节的传递惯性环节的传递函数有一个负实极函数有一个负实极点点 p = 1/T，无零点。，无零点。传递函数：传递函数：11)( TssG)()()(trtcdttdcT 01 t ec(t)TtTsssTssRTssC/111111)(11)( j 0 1/T单位阶跃响应单位阶跃响应: :3.3.积分环节积分环节微分方程式：微分方程式：ssRTsCdrTtct)()()()(110 传递函数：传递函数：TssG1)( 阶跃响应曲线是按指数阶跃响应曲线是按指数上升的曲线。上升的曲线。01 t ec(t)Tt0tc(t)0.6320.8650

26、.950.9821.0T2T3T4T单位阶跃响应：单位阶跃响应：tTtc1)( sTssC11)( 当输入阶跃函数时，该环节的输出当输入阶跃函数时，该环节的输出随时间直线增长，增长速度由随时间直线增长，增长速度由1/T决定。决定。当输入突然除去，积分停止，输出维持当输入突然除去，积分停止，输出维持不变，故有不变，故有。4.4.微分环节微分环节 微分方程式为：微分方程式为：dttdrTtc)()( r(t)t01c(t)t01T TsTssG 1)( c(t) = T (t) 由于阶跃信号在时刻由于阶跃信号在时刻t = 0有一跃变，其他有一跃变，其他时刻均不变化，所以微分环节对阶跃输入时刻均不变

27、化，所以微分环节对阶跃输入的响应的响应 理想的微分环节在物理系统中很少独理想的微分环节在物理系统中很少独立存在，常见的为带有惯性环节的微分特性，传递函数为：立存在，常见的为带有惯性环节的微分特性，传递函数为：传递函数为：传递函数为： G(s)=Ts单位阶跃响应：单位阶跃响应：r(t)t01c(t)t0T1)(21 sTsTsGsTsT121 )(G时，时，当当 式中，式中，T 0，0 1， n = 1/T，T 称为振荡环节的称为振荡环节的，。振荡环节有一对位于。振荡环节有一对位于s左半平面的左半平面的共轭极点：共轭极点：)()()(2)(222trtcdttdcTdttcdT 传递函数为：传递

28、函数为： 121)(22 TssTsG 2222)(nnnsssG 或或dnnjjp 2211,5.5.二阶振荡环节二阶振荡环节 微分方程式为：微分方程式为：)sin(111)(2 tetcdtn式中，式中，。响应曲线。响应曲线是按指数衰减振荡的，故称振是按指数衰减振荡的，故称振荡环节。荡环节。c(t) t 01ssssRsGsCnnn12222 )()()(dnnjjp 2211, np1p2 j d n j 0微分方程式为：微分方程式为： c(t) = r(t )传递函数为：传递函数为：单位阶跃响应：单位阶跃响应： sesCs1)( c(t) = 1(t )r(t)t01c(t)t01 s

29、esG )(ABnsnnnsnene)()(lim 11111慢变信号慢变信号ssses 121222.7.1 2.7.1 结构图的定义及基本组成结构图的定义及基本组成1.1.结构图的定义结构图的定义: 讨论过的直流电动机转速控制系统，用讨论过的直流电动机转速控制系统，用可描述其可描述其结构和作用原理，但却不能定量分析，有了传递函数的概念后，就结构和作用原理，但却不能定量分析，有了传递函数的概念后，就可迎刃而解。可迎刃而解。放大器放大器电动机电动机测速机测速机urufua e+- 转速控制系统由三个环节（元件）构成，把各元件的传递函数转速控制系统由三个环节（元件）构成，把各元件的传递函数代入相

30、应的方框中，并标明两端对应的变量，就得到了系统的动态代入相应的方框中，并标明两端对应的变量，就得到了系统的动态。 用用G(s)G(s)代替相应的元件，代替相应的元件，好处：好处：因此，它是对系统每个元件因此，它是对系统每个元件功能和信号流向功能和信号流向的图解表示，也就的图解表示，也就是对系统数学模型的图解表示。是对系统数学模型的图解表示。Ka1/ keTaTms2+Tms+1KfUr(s)Uf (s)Ua(s) (s)E(s)+ P34，ML0 2.2.结构图的基本组成结构图的基本组成 1 1）画图的）画图的4 4种基本元素种基本元素 是带有箭头的直线，箭头表示信号的传是带有箭头的直线，箭头

31、表示信号的传递方向，传递线上标明被传递的信号。指向方框表示输入，递方向，传递线上标明被传递的信号。指向方框表示输入，从方框出来的表示输出。从方框出来的表示输出。r(t), R(s) r(t), R(s)r(t), R(s) 表示对输入信号进行的数学运算表示对输入信号进行的数学运算。方框中的。方框中的传递函数是传递函数是的运算算子，使得输出与输入有确定的因的运算算子，使得输出与输入有确定的因果关系。果关系。R(s)R(s) U(s)U(s)G(s)C(s)R(s)+ 对两个以上的信号进行代数运算，对两个以上的信号进行代数运算，“ + ”号号表示相加，表示相加， “ ”号表示相减。外部信号作用于系

32、统需通号表示相减。外部信号作用于系统需通过相加点表示。过相加点表示。 2 2）结构图的基本作用：）结构图的基本作用： (a) 简单明了地表达了系统的组成和相互联系，可以方便地评价简单明了地表达了系统的组成和相互联系，可以方便地评价每一个元件对系统性能的影响。信号的传递严格遵照每一个元件对系统性能的影响。信号的传递严格遵照原则，原则，对于输出对输入的反作用，通过对于输出对输入的反作用，通过反馈支路反馈支路单独表示。单独表示。 (c) s=0时，表示的是各变量间的静态特性，否则，动态特性。时，表示的是各变量间的静态特性，否则，动态特性。 (1) 列写每个元件的原始方程（保留所有变量，便于分析），要

33、列写每个元件的原始方程（保留所有变量，便于分析），要考虑相互间负载效应考虑相互间负载效应。 (2) 设初始条件为零，对这些方程进行拉氏变换，得到传递函数，设初始条件为零，对这些方程进行拉氏变换，得到传递函数，然后分别以一个然后分别以一个方框方框的形式将因果关系表示出来，而且这的形式将因果关系表示出来，而且这些方框中的传递函数都应具有典型环节的形式。些方框中的传递函数都应具有典型环节的形式。 (3) 将这些方框单元按信号流向连接起来，就组成完整的结构图。将这些方框单元按信号流向连接起来，就组成完整的结构图。 例例2-162-16 画出下图所示画出下图所示RC网络的结构图。网络的结构图。 R C

34、u1 u2 解：解：(1) 列写各元件的原始方程式列写各元件的原始方程式 2121uuuidtCuRuiRR i( (2) )取拉氏变换，在零初始条件下，表示成方框形式取拉氏变换，在零初始条件下，表示成方框形式 )()()()()()()(sUsUsUsICssUsURsIRR21211(3)(3)将这些方框依次连接起来得图。将这些方框依次连接起来得图。U2(s)1CsI(s)U1(s)+U2(s)UR(s)2121uuuidtCuRuiRR1RI(s)UR(s) 1.1.三种基本连接形式三种基本连接形式 (1) 串联串联。相互间无负载效应的环节相串联，即前一个环节的输。相互间无负载效应的环节

35、相串联，即前一个环节的输出是后一个环节的输入，依次按顺序连接。出是后一个环节的输入，依次按顺序连接。 G2 2(s)U(s)C(s)G1 1(s)R(s)U(s) 由图可知：由图可知： U(s)=G1(s)R(s) C(s)=G2(s)U(s) 消去变量消去变量U(s) 得得C(s)= G1(s)G2(s)R(s) = G(s)R(s)G1 1(s)G2 2(s)R(s)C(s)G2 2(s)U(s)C(s) (2) 并联并联。并联各环节有相同的输入量，而输出量等于。并联各环节有相同的输入量，而输出量等于各环节输出量之代数和。各环节输出量之代数和。 由图有由图有 C1(s) = G1(s)R(

36、s) C2(s) = G2(s)R(s) R(s)C(s)G1 1(s)C1(s)R(s)G2 2(s)C2 2(s)R(s)+ C(s) = C1(s) C2(s) 消去消去C1(s) 和和C2(s)，得，得 C(s) = G1(s) G2(s)R(s) = G(s)R(s) G1 1(s) G2 2(s)R(s)C(s)C1(s)G1 1(s)R(s)G2 2(s)C2 2(s)C(s)+ (3) 连接形式是两个方框反向连接形式是两个方框反向并接，如图所示。相加点处并接，如图所示。相加点处做加法时为做加法时为，做减法，做减法时为时为。由图有由图有 C(s) = G(s)E(s) B(s)

37、= H(s)C(s) E(s) = R(s) B(s)消去消去B(s) 和和E(s)，得，得 C(s) = G(s) R(s) H(s)C(s) R(s)C(s)G(s)H(s)B(s)E(s)+ )()(1)()()(sHsGsGsRsC 上式称为闭环传递函数，是反馈连接的等效传递函数。上式称为闭环传递函数，是反馈连接的等效传递函数。G(s)1 G(s)H(s)R(s)C(s) G(s)：前向通道传递函数前向通道传递函数 E(s) C(s)H(s)：反馈通道传递函数反馈通道传递函数 C(s) B(s) H(s)=1 单位反馈系统单位反馈系统G(s)H(s) 开环传递函数开环传递函数 E(S)

38、 B(s)R(s)C(s)G(s)H(s)B(s)E(s)+ 开环传递函数开环传递函数前向通道传递函数前向通道传递函数闭环传递函数闭环传递函数 1式中负反馈时取式中负反馈时取“+”号，号，正反馈时取正反馈时取“-”号。号。2.2.闭环系统的常用传递函数闭环系统的常用传递函数 考察带有扰动作用下的闭环系统如图所示。它代表了常见的闭考察带有扰动作用下的闭环系统如图所示。它代表了常见的闭环控制系统的一般形式。环控制系统的一般形式。（1 1）控制输入下的闭环传递函数）控制输入下的闭环传递函数 令令N(s) = 0 有有)()()(1)()()()(2121sHsGsGsGsGsRsCr G1(s)R(

39、s)C(s)+H(s)E(s)G2(s)N(s)+（2 2）扰动输入下的闭环传递函数）扰动输入下的闭环传递函数 令令R(s) = 0有有 )()()(1)()()(212sHsGsGsGsNsCN （3）两个输入量同时作用于系统的响应）两个输入量同时作用于系统的响应 )()()()()()()()()()()(sHsGsGsNsGsRsGsGsCsCsCNr212211 G1(s)R(s)C(s)+H(s)E(s)G2(s)N(s)+（4 4）控制输入下的误差传递函数）控制输入下的误差传递函数)()()(11)()(21sHsGsGsRsEr （5 5）扰动输入下的误差传递函数扰动输入下的误差

40、传递函数)()()(1)()()()(212sHsGsGsHsGsNsEN （6 6）两个输入量同时作用于系统时的误差）两个输入量同时作用于系统时的误差)()()()()()()()(sHsGsGsNsHsGsRsE2121 G1(s)R(s)C(s)+H(s)E(s)G2(s)N(s)+3.3.闭环控制系统的几个特点闭环控制系统的几个特点 闭环控制系统的优点通过定量分析，更令人信服。闭环控制系统的优点通过定量分析，更令人信服。（1）外部扰动的抑制）外部扰动的抑制较好的抗干扰能力较好的抗干扰能力 （2）系统精度有可能仅取决于反馈通道的精度）系统精度有可能仅取决于反馈通道的精度（3）各传递函数具

41、有相同的特征方程式。动态特性相同（固有属）各传递函数具有相同的特征方程式。动态特性相同（固有属性）与输入和输出无关性）与输入和输出无关0)()(1)()()(1)()()(1212 sHsGsHsGsGsGsNsCN)(1)()()(1)()()()(2121SHsHsGsGsGsGsRsCr 11)()(sHsG 变换的原则：变换的原则：。1 . 1 . 分支点后移分支点后移GRCRGRC1/GR2 . 2 . 分支点前移分支点前移GRCCGRCGC4 .4 .比较点前移比较点前移3 . 3 . 比较点后移比较点后移GFGRC+ FRGCF+ GRC+ FF1/GRGC+ F5 .5 .比较

42、点互换或合并比较点互换或合并R1C R2+ + R3R1C R2+ + R3 对于复杂系统的结构图一般都有相互交叉的回环，当需要确对于复杂系统的结构图一般都有相互交叉的回环，当需要确定系统的传函时，就要根据结构图的等效变换先解除回环的交叉，定系统的传函时，就要根据结构图的等效变换先解除回环的交叉，然后按方框的连接形式等效，依次化简。然后按方框的连接形式等效，依次化简。R1C R2+ R3 RCG1G2G3H1H2解：方法解：方法11/G3RCG1G2G3H1H2方法方法2RCG1G2G3H1H2RCG1G2G3H1H21/G1 RG1G2CG3RG1G2CG3解：解：RG1G2CG3RG1G2

43、CG31/G22.8.1 2.8.1 信号流图的基本概念信号流图的基本概念 1.1.定义定义：。 先看最简单的例子。有一线性系统，它由下述方程式描述：先看最简单的例子。有一线性系统，它由下述方程式描述：x2 = a12 x1式中，式中， x1为输入信号为输入信号()；x2为输出信号为输出信号()；a12为两信号之为两信号之间的传输间的传输()。即输出变量等于输入变量乘上。即输出变量等于输入变量乘上值。若从因果值。若从因果关系上来看，关系上来看，x1为为“因因”，x2为为“果果”。这种因果关系，可用下图。这种因果关系，可用下图表示。表示。 信号传递关系信号传递关系 函数运算关系函数运算关系 变量

44、因果关系变量因果关系x1a12x2 下面通过一个例子，说明信号流图是如何构成的。下面通过一个例子，说明信号流图是如何构成的。 设有一系统，它由下列方程组描述：设有一系统，它由下列方程组描述： x2 = a12 x1 + a32 x3 x3 = a23 x2 + a43 x4 x4 = a24 x2 + a34 x3 + a44 x4 x5 = a25 x2 + a45 x4a43a44x1a12x2x3x4x5a23a34a45a24a25a322.2.信号流图的基本元素信号流图的基本元素 (1) 节点：用来表示变量，用符号节点：用来表示变量，用符号“ O ”表示，并在近表示，并在近旁标出所代

45、表的变量。旁标出所代表的变量。 (2) 支路：连接两节点的定向线段，用符号支路：连接两节点的定向线段，用符号“”表表示。示。 支路具有两个特征：支路具有两个特征： 限定了信号传递方向。支路方向就是信号传限定了信号传递方向。支路方向就是信号传递的方向，用箭头表示。递的方向，用箭头表示。 限定了输入与输出两个变量之间的关系。支限定了输入与输出两个变量之间的关系。支路的权用它近旁标出的传输值路的权用它近旁标出的传输值()表示。表示。 3.3.信号流图的几个术语信号流图的几个术语 输入节点输入节点( (源点源点) ) 只有输出支路的节点，它代表系统的只有输出支路的节点，它代表系统的输输入入变量。如图中

46、变量。如图中x1。 混合节点混合节点 既有输入支路，又有输出支路的节点，如图既有输入支路，又有输出支路的节点，如图中中x2、x3。 输出节点输出节点( (汇点汇点) ) 只有输入支路的节点，它代表只有输入支路的节点，它代表系统的系统的输出变量。如图中输出变量。如图中x4。1a33x1a12x2x3a23a34a32a14x4x2 通道通道 从某一节点开始，沿着支路的箭头方向连续经从某一节点开始，沿着支路的箭头方向连续经过一些支路而终止在另一节点的路径。用经过的支路传输过一些支路而终止在另一节点的路径。用经过的支路传输的乘积来表示。的乘积来表示。 开通道开通道 如果通道从某一节点开始，终止在另一

47、节点如果通道从某一节点开始，终止在另一节点上，而且通道中的每个节点只经过一次。如上，而且通道中的每个节点只经过一次。如a12 a23 a34 。a33x1a12x2x3a23a34a32a14x4 闭通道闭通道(回环回环) 如果通道的终点就是起点的开通道。如如果通道的终点就是起点的开通道。如a23 a32 ，a33 (自回环自回环) 。 从源节点到汇节点的开通道。从源节点到汇节点的开通道。 回路之间没有公共的节点和支路。回路之间没有公共的节点和支路。 1 1）信号流图只能代表）信号流图只能代表线性线性代数方程组。代数方程组。 2 2）节点表示系统的变量，表示所有流向该节点的信号）节点表示系统的

48、变量，表示所有流向该节点的信号之（代数）和；而从该节点流向各支路的信号，均用该之（代数）和；而从该节点流向各支路的信号，均用该节点变量表示。节点变量表示。 3 3）信号在支路上沿箭头）信号在支路上沿箭头传递，后一节点变量依赖传递，后一节点变量依赖于前一节点变量，即只有于前一节点变量，即只有“”的因果关系。的因果关系。 4 4）支路相当于乘法器，信号流经支路时，被乘以支路）支路相当于乘法器，信号流经支路时，被乘以支路增益而变换为另一信号。增益而变换为另一信号。 5 5）对于给定的系统，信号流图不唯一。）对于给定的系统，信号流图不唯一。 1.1.直接法直接法 例例2-192-19 RLC电路如图电

49、路如图2-28所示，试画出信号流图所示，试画出信号流图。 dtduCiuRidtdiLuccr )0()()()()()0()()(cccrCusCsUsIsUsRILisLsIsU R C ur(t) uc(t) Li(t) (4)(4)画出信号流图如图所示。画出信号流图如图所示。 )(01)(1(s)0()(1)(1)(cccrussICsUiRLsLsURLssURLssIUr(s)Uc(s)I(s)1suc(0+)ic(0+)1Ls+R1Ls+R 1Cs1Ls+R )0()()()()()0()()(cccrCusCsUsIsUsRILisLsIsU2.2.翻译法翻译法 例例2-202

50、-20 画出下图所示系统的信号流图。画出下图所示系统的信号流图。 R(s)C(s)G1(s)G2(s)H(s)+E2(s)E1(s) 解：按照解：按照翻译法翻译法可直接作出系统结构图所对应的信号可直接作出系统结构图所对应的信号流图。流图。R(s)E1(s)C(s)E2(s)G2(s)G1(s)H(s)系统结构图系统结构图 信号流图信号流图输入变量输入变量 源节点源节点 输出端输出端 汇节点汇节点 1. .梅逊增益公式梅逊增益公式输入输出节点间总传输的一般式为输入输出节点间总传输的一般式为PPnkkk 1式中式中P 总总传输传输 (增益增益) )； n 从从源节点至汇节点前向通道总数；源节点至汇节点前向通道总数； deffedabccbaLLLLLL1 线性代数方程的克莱姆法则线性代数方程的克莱姆法则 aaLbcbcL LdefdefL L Lk为为 为为 deffedabccbaLLLLLL1PPnkkk 1 x0ax8bcdefghijkmabcdefghPxxP 1108 例例2-222-22 已知系统的信号已知系统的信号流图如下，求输入流图如下，求输入x1至输出至输出x2和和x3的传输。的传输。bx1gx2a