现代控制理论(浙大)第一章(A)

1、现代控制理论Modern Control Theory 浙江大学机械电子控制工程研究所教材：现代控制理论 第三版刘豹 唐万生 主编机械工业出版社教4-302机械制造、精密仪器、工业工程专业绪论一、控制的基本问题 控制问题：对于受控系统（广义系统）S，寻求控制规律(t)，使得闭环系统满足给定的性能指标要求。 求解包括三方面： 1. 系统建模 用数学模型描述系统2. 系统分析定性：稳定性、能控能观性定量：时域指标、频域指标3. 系统设计控制器设计、满足给定要求结构设计参数设计二、控制理论发展史（三个时期） 1古典控制理论：（从30年代50年代）（1）建模，传递函数（2）分析法(基于画图)，步骤特性

2、，根轨迹，描述建模，创造了许多经验模式。 分析法 状态空间基于数字的精确分析。 几何法（3）设计：带参数修正1948年 美国数学家维纳控制论2 2现代控制理论现代控制理论：（50年代末70年代初）现代控制理论是以状态空间法为基础，研究MIMO，时变参数结构，非线性、高精度、高性能控制系统的分析与设计的领域。现代控制理论发展的主要标志(1)卡尔曼：状态空间法；(2)卡尔曼：能控性与能观性；(3)庞特里雅金：极大值原理；现代控制理论的主要特点 研究对象: 线性系统、非线性系统、时变系统、多变量系统、连续与离散系统 数学上：状态空间法 方法上：研究系统输入/输出特性和内部性能 内容上：线性系统理论、

3、系统辩识、最优控制、自适应控制等3.智能控制理论（60年代末至今） 19701980 大系统理论 控制管理综合 19801990 智能控制理论 智能自动化 1990 集成控制理论 网络控制自动化(1) 专家系统；(2)模糊控制，人工智能(3) 神经网络，人脑模型；(4)遗传算法控制理论与计算机技术相结合计算机控制技术4、控制理论发展趋势 企业：资源共享、因特网、信息集成、 信息技术+控制技术 (集成控制技术) 网络控制技术 计算机集成制造CIMS：（工厂自动化）三、现代控制理论与古典控制理论的对比 共同对象系统主要内容分析：研究系统的原理和性能设计：改变系统的可能性（综合性能） 研究对象：单入

4、单出（SIS0）系统，线性定常 古典 工具：传递函数(结构图)，已有初始条件为零时才适用 试探法解决问题 ： PID串联、超前、滞后、反馈区别 研究对象：多入多出（MIMO）系统、 线性定常、非线性、时变、 现代 工具：状态空间法、研究系统内部、 输入状态（内部）输出 改善系统的方法：状态反馈 、输出反馈现代控制理论预览现代控制理论预览建模建模分析分析设计设计状态空间状态空间表达式表达式建立建立求解求解转换转换可控可控性性可观可观性性稳定稳定性性状态反馈状态反馈状态观测器状态观测器最优控制最优控制第一章第一章 控制系统的状态空间表达式控制系统的状态空间表达式主要内容：主要内容： 状态变量及状态

5、空间表达式状态变量及状态空间表达式 状态变量及状态空间表达式的系统结构图状态变量及状态空间表达式的系统结构图 状态变量及状态空间表达式的建立状态变量及状态空间表达式的建立 状态矢量的线性变换状态矢量的线性变换 从状态空间表达式求传递函数阵从状态空间表达式求传递函数阵系统描述中常用的基本概念系统描述中常用的基本概念 系统的外部描述系统的外部描述 传递函数传递函数 系统的内部描述系统的内部描述 状态空间描述状态空间描述1.1 状态变量及状态空间表达式状态变量及状态空间表达式：是完全地描述动态系统运动状况的信息，系：是完全地描述动态系统运动状况的信息，系统在某一时刻的运动状况可以用该时刻系统运动的统

6、在某一时刻的运动状况可以用该时刻系统运动的一组信息表征，定义系统运动信息的集合为状态。一组信息表征，定义系统运动信息的集合为状态。：是指足以：是指足以完全描述完全描述系统运动状态的系统运动状态的最小最小个数个数的一组变量。的一组变量。完全描述完全描述：如果给定了：如果给定了 时刻这组变量值时刻这组变量值 ，和，和 时输入的时间函数时输入的时间函数 ，那，那么，系统在么，系统在 的任何瞬间的行为的任何瞬间的行为 就完就完全确定了。全确定了。)(,),(001txtxn0tt 0tt )(,),(1txtxn)(tu0tt 完全描述完全描述：如果给定了：如果给定了 时刻这组变量值时刻这组变量值 ，

7、和，和 时输入的时间函数时输入的时间函数 ，那，那么，系统在么，系统在 的任何瞬间的行为的任何瞬间的行为 就完就完全确定了。全确定了。最小个数最小个数：意味着这组变量是互相独立的。一个用：意味着这组变量是互相独立的。一个用 阶微分方程描述的含有阶微分方程描述的含有 个独立变量的系统，当求个独立变量的系统，当求 得得 个独立变量随时间变化的规律时，系统状态可个独立变量随时间变化的规律时，系统状态可完全确定。若变量数目多于完全确定。若变量数目多于 ，必有变量不独立；，必有变量不独立；若少于若少于 ，又不足以描述系统状态。，又不足以描述系统状态。)(,),(001txtxn0tt 0tt )(,),

8、(1txtxn)(tu0tt nnnnn：设：设 是系统的一组状态变量，是系统的一组状态变量，并将它们看做矢量并将它们看做矢量 的分量，的分量， 就称为状态矢量，就称为状态矢量，记作：记作：)(,),(1txtxn)(tx)(tx )()()()()()()()(2121txtxtxttxtxtxtnTnxx 或：以：以 为起点，随着时间的推移，为起点，随着时间的推移， 状态矢量的端点在状态空间不断的移动，所绘出的一状态矢量的端点在状态空间不断的移动，所绘出的一条轨迹。条轨迹。)()(0ttxx：以状态变量：以状态变量 为坐标轴所构成为坐标轴所构成的的 维空间。维空间。在某一特定时刻在某一特定

9、时刻 ，状态向量，状态向量 是状态空间的一个点。是状态空间的一个点。)(,),(1txtxn)(txtn状态方程状态方程：描述系统：描述系统状态状态变量与系统变量与系统输入输入变量间关系变量间关系的的 个个一阶一阶微分微分方程组方程组( (连续系统连续系统) )或一阶或一阶差分差分方程组方程组（离散系统）。（离散系统）。),()(),()(),()(2121212122212111tuuuxxxftxtuuuxxxftxtuuuxxxftxrnnnrnrn ),(),()(ttttuxfx向量形式：向量形式：1n 状态向量n 输入向量1r输出方程输出方程：在指定系统输出的情况下，该：在指定系统

10、输出的情况下，该输出输出与与状态状态变量间的变量间的 个个代数代数方程，称为系统的输出方程。方程，称为系统的输出方程。m),()(),()(),()(2121212122212111tuuuxxxgtytuuuxxxgtytuuuxxxgtyrnmmrnrn ),(),()(ttttuxgy向量形式：向量形式： 输出向量1mRL+_+_u(t)uc(t)+_yi(t)输入输出 解解：例例：建立如图所示的：建立如图所示的RCLRCL电路的状态方程和输出方电路的状态方程和输出方程。程。 图1)()()()(tututuRCtuLCccc 微分方程微分方程11)()(2RCsLCssUsUC 传递函

11、数传递函数 只反映外部情况，无法获知内部联系只反映外部情况，无法获知内部联系 定义状态变量定义状态变量)()(1tutxc)()(2titx 二阶微分方程，选择两个状态变量二阶微分方程，选择两个状态变量状态向量状态向量Ttxtxt)(),()(21x 定义输出变量定义输出变量)()(1txty整理得一阶微分方程组为整理得一阶微分方程组为 )(1)()(ddtuLtiLRtuL1dti(t)i(t)C1dt(t)ucc即即)(1)()()()()(21221tuLtxLRtxL1txtxC1tx)(1txy 输出输出方程方程 状态状态方程方程状态空间状态空间 表达式表达式dtduCtituudt

12、i(t)dLtRicc)()()()()(0121txtxy)(10)()(110)()(2121tuLtxtxLRLCtxtx写成写成矩阵相乘矩阵相乘的形式的形式)(1)()()()()(21221tuLtxLRtxL1txtxC1tx)(1txy LRLC110AL10B01C 可简写为可简写为 uBAxx式中式中, , Cxy状态空间表达式状态空间表达式：状态状态方程和方程和输出输出方程合起来构成对方程合起来构成对一个动态系统完整的描述，称为动态系统的状态空间一个动态系统完整的描述，称为动态系统的状态空间表达式。表达式。 2121210110110 xxyuLxxLRLCxx 图图1 1

13、所示电路所示电路, , 若若 为输出为输出, ,取取 作为状态变量作为状态变量, ,则其状态空间表达式为则其状态空间表达式为 )(tuc)()(),()(21titxtutxc 若按照如下所示的微分方程：若按照如下所示的微分方程： 选选 ，则得到一阶微分方程组：，则得到一阶微分方程组： ccuxux21,uLCxLCRxLCxxx11 21221即：即： uLCLCRLC10110 xx 状态变量选择不同，状态方程也不同。状态变量选择不同，状态方程也不同。 )(1)()(ddtuLtiLRtuL1dti(t)i(t)C1dt(t)ucc iuCiCucc10011ixuxc21iCuxuxcc

14、121两组状态变量之间两组状态变量之间的关系的关系C1001PP：非奇异矩阵：非奇异矩阵其其状态变量状态变量为为 ，则一般形式的状态，则一般形式的状态空间描述写作：空间描述写作：,21nxxx 单输入单输出定常线性系统单输入单输出定常线性系统 用矢量矩阵表示的状态空间表达式为：用矢量矩阵表示的状态空间表达式为：ubAxxduy Cx1n维列向量维列向量1n控制控制矩阵矩阵输入输入矩阵矩阵n1观测观测矩阵矩阵输出输出矩阵矩阵状态状态矩阵矩阵系统系统矩阵矩阵系数系数矩阵矩阵nn 为标量uyd,Txnxxx21nnnnnnaaaaaaaaa212222111211Anbbb21b21ncccCd d

15、是标量，反映是标量，反映输出输出与与输入输入的直接关联的直接关联。 写成矩阵形式有：写成矩阵形式有：BuAxxDuCxy 多输入多输出定常线性系统多输入多输出定常线性系统,212222111211nnnnnnaaaaaaaaaA系表征各状态变量间的关系统矩阵维,nn,212222111211nrnnrrbbbbbbbbbB量的作用表征输入对每个状态变输入矩阵维,rn状态向量维1,T21nnxxxx输入向量维1,T21ruuuruubAxxduy Cx,212222111211mnmmnncccccccccC量的关系量的关系表征输出和每个状态变表征输出和每个状态变输出矩阵输出矩阵维维nm ,21

16、2222111211mrmmrrdddddddddD0D,通常传递关系表征输入对输出的直接直接传递矩阵又称为前馈矩阵维rm输出向量维1,T21mmyyyy ik注注:负反馈时为负反馈时为注：有几个状态变量，就建几个积分器注：有几个状态变量，就建几个积分器积分器积分器比例器比例器加法器加法器1.2 状态变量及状态空间表达式的状态模拟结构图状态变量及状态空间表达式的状态模拟结构图ABCDuyx xBuAxxDuCxy状态空间描述的模拟结构图状态空间描述的模拟结构图绘制步骤绘制步骤：画出所有积分器；画出所有积分器；积分器的积分器的个数个数等于状态变量数，每个积分器的等于状态变量数，每个积分器的输出表

17、示相应的某个状态变量。输出表示相应的某个状态变量。根据根据状态状态方程和方程和输出输出方程，画出相应的加法器和方程，画出相应的加法器和 比例器；比例器；用箭头将这些元件连接起来。用箭头将这些元件连接起来。 例例 画出一阶微分方程的系统结构图。画出一阶微分方程的系统结构图。状态结构图状态结构图buaxx微分方程：微分方程： 例例 画出三阶微分方程的系统结构图。画出三阶微分方程的系统结构图。ubxaxaxax0012 微分方程微分方程： 例例 画出下述状态空间表达式的系统结构图。画出下述状态空间表达式的系统结构图。 xxx011100236100010yu系统系统系统系统.本课程常用符号说明本课程

18、常用符号说明小写小写细体细体字母字母标量、时间、复变量标量、时间、复变量小写小写粗体粗体字母字母向量向量大写大写粗体粗体字母字母矩阵矩阵大写大写细体细体字母字母拉氏变换符号、系统符号拉氏变换符号、系统符号 sttctryxba , ),( ),( , , , ,)( ),( ),( tttucry, x, b, a,C B, A,21 , ),( ),( ),(SSsYsRsU1.3 1.3 状态变量及状态空间表达式的建立状态变量及状态空间表达式的建立建立状态空间描述的三个建立状态空间描述的三个途径途径：1 1、由、由系统框图系统框图建立（建立（不讲）2 2、由系统、由系统机理机理进行推导进行

19、推导3 3 、由、由微分方程微分方程或或传递函数传递函数演化而得演化而得选择系统选择系统储能元件储能元件的输出物理量；的输出物理量；状态变量不唯一状态变量不唯一状态变量的选取不同，状态空间表达式也不同！状态变量的选取不同，状态空间表达式也不同！二、由二、由系统机理系统机理建立状态空间表达式建立状态空间表达式使系统状态方程成为某种使系统状态方程成为某种标准形式标准形式的变量的变量（对角线对角线标准型和标准型和约旦约旦标准型）标准型）选择系统选择系统输出输出及其及其各阶导数各阶导数；电路如图所示。建立该电路以电压电路如图所示。建立该电路以电压u u1 1,u,u2 2为输为输入量，入量，u uA

20、A为输出量的状态空间表达式。为输出量的状态空间表达式。L L2 2u uA Au u1 1u u2 2+ +_ _+ +_ _i i1 1i i2 2R R2 2R R1 1L L1 11) 1) 选择状态变量选择状态变量 两个储能元件两个储能元件L L1 1和和L L2 2，可以选择，可以选择i i1 1和和i i2 2为为状态变量，且两者是独立的。状态变量，且两者是独立的。2 2）根据基尔霍夫电压定律，）根据基尔霍夫电压定律，列写列写2 2个回路的微分方程：个回路的微分方程：2121222221212121111)()()(uRiiuRidtdiLuRiiuRiidtdiLuA右回路左回路

21、整理得：整理得：21211222221121221112111111111uRiRiuuLiLRRiLRdtdiuLuLiLRiLRdtdiAL L2 2u uA Au u1 1u u2 2+ +_ _+ +_ _i i1 1i i2 2R R2 2R R1 1L L1 1212111211112121100211221211111uuxxRRuuuxxxxALLLLRRLRLRLR3 3）状态空间表达式为：）状态空间表达式为：212111211112121100211221211111uuiiRRuuuiiiiALLLLRRLRLRLR2211ixix ，令试列出在外力试列出在外力f f作用

22、作用下，以质量下，以质量 的位移的位移 为输出的为输出的状态空间表达式。状态空间表达式。1v2v1k2k1y2y1M2M1B2Bf11yk11yM 11yB )(122yyB 22yM )(122yyk f1M2M解解：质量块受力图如下：质量块受力图如下：21,MM21, yy依据牛顿定律，有：依据牛顿定律，有： fyykyyByMyyByykykyByM)()()()(12212222122122111111 4321xxxxx fyykyyByMyyByykykyByM)()()()(12212222122122111111 选取选取21212121vvyyyyyy状态变量位移输入输入fu

23、 输出输出21yyy21xx2211xyxy输出方程输出方程fMMBxMBxMkxMkxxMBxMBBxMkxMkkxxxxx222322222122441231212121121342311状态方程状态方程依据牛顿定律：依据牛顿定律： fyykyyByMyyByykykyByM)()()()(12212222122122111111 写成矩阵形式：写成矩阵形式： 1) 1)选取选取 个状态变量个状态变量；确定；确定输入输入、输出输出变量；变量；建立状态空间表达式的步骤建立状态空间表达式的步骤n状态变量状态变量、输入变量输入变量、参数参数输出变量、输出变量、状态变量状态变量、输入变量输入变量、

24、参数参数 2) 2)根据系统微分方程列出根据系统微分方程列出 个个一阶微分方程一阶微分方程；n3) 3)根据系统微分方程，列出根据系统微分方程，列出 个个代数方程代数方程。m 对于给定的系统微分方程或传递函数，寻求对于给定的系统微分方程或传递函数，寻求对应的状态空间描述而不改变系统的输入对应的状态空间描述而不改变系统的输入- -输出输出特性，称此状态空间描述是系统的一个状态空特性，称此状态空间描述是系统的一个状态空间间实现实现。三、由系统三、由系统微分方程微分方程或者或者传递函数传递函数建立状态空间表达式建立状态空间表达式n n阶阶SISOSISO控制系统的时域模型为：控制系统的时域模型为：u

25、bubububyayayaymmmmnnn01) 1(1)(01) 1(1)(线性定常系统的线性定常系统的状态空间表达式状态空间表达式为为可可实现实现的条件：的条件：duyucxbAxx 系统的系统的传递函数传递函数为：为：0111n0111mm)(asasasbsbsbsbsWnnmm nm 应用长除法有0111n011n1nnn)(asasasbsbsbsbsWnn D(s)N(s)basasasssbsWnn n0111n011n1nn)(当系统传递函数中当系统传递函数中 时，即时，即nm 其其状态空间描述状态空间描述为为式中式中 是直接联系输入、输出量的是直接联系输入、输出量的前馈系数

26、前馈系数， 是是严格严格有有理理真真分式，其系数用分式，其系数用综合除法综合除法得得nb)()(sDsNnnnnnnbabbabbab111111000ubyuncx bAxx,式中式中A A、b b、c c由实现方式确定，其形式不变，唯由实现方式确定，其形式不变，唯输出方程输出方程中需中需增加增加一项一项 ubn微分方程形式（微分方程中微分方程形式（微分方程中不包含不包含输入函数的导数项）：输入函数的导数项）： 系统的系统的传递函数传递函数为：为：0n0asasasbsWnn 111)( )1()2(121,nnnnyxyxyxyx 状态方程状态方程输出方程输出方程 系统系统矩阵矩阵控制控制

27、矩阵矩阵输出输出矩阵矩阵状态方程状态方程 输出方程输出方程 友友矩阵矩阵0n0asasasbsWnn 111)(nxnx 1 nx 2x1x 状态变量是输出状态变量是输出y y及及y y的各阶导数的各阶导数 系统矩阵系统矩阵A A特点：特点：主对角线上方主对角线上方的元素为的元素为1 1，最后一行为微分，最后一行为微分 方程方程系数的负值系数的负值，其它元素全为，其它元素全为0 0，称为，称为友矩阵友矩阵或或相伴矩阵相伴矩阵。0a u1xy 2 na1a 1 na0b例例 考虑系统考虑系统5863yyyyu试写出其状态空间表达式试写出其状态空间表达式。则状态空间表达式为：则状态空间表达式为：解：解：选择状态变量：选择状态变量：123,