正弦定理、余弦定理基础练习

1、正弦定理、余弦定理基础练习1. 在 ABC 中：(1) 已知 A 45、B 30、a 5.3，求 b ；(2) 已知 B 75、C 45、a 6，求 c.2. 在 ABC中(角度精确到1°):(1) 已知 b 15、c= 7、B= 60°,求 C;(2) 已知 a 6、b = 7、A= 50°，求 B.3. 在 ABC中(结果保留两个有效数字)：(1)已知 a = 5、b = 7、C = 120 °,求 c；(1)已知a6、b = 7、c 9，求 A；(2)已知a3._3、b4、c , 79.根.据下列条件牛解三角形(角度精确到(1)A37,B 60,a

2、 5;(2)A40,B 45,c 7;(3)B49,a5,b 3;(4)C =:20?,a = 5, c= 3;(5)a4,b 7, C80 ;(6)a10,b 13,c 14 .(2)已知 b3/3、c= 7、A = 30°，求 a.4.在 ABC中(角度精确到o求C.o51°):1 °,边长精确到)：6选择题：(1) 在厶ABC中，下面等式成立的是A. abcosC bccosAC. acosC ccosA(2) 三角形三边之比为 3 : 5 :).absinC bcsin A acosA bcosB).A. 60°B.120 °C.135

3、°D.150 °(3)在厶ABC中，b c21 , C45,B= 30 ° ,则(A. b 1, c 2B.b.2 , c1-逅2.2- 2C. b -,c 1D .b1 -c2222(4)在厶ABC中B45、c5、2、b ；5，则a().A . 5、2B.53C.5D .10).7填空题:D.7,则这个三角形的最大角是(" ABC 中 AB1、AC、面积S&在 ABC 中，sin2A sin AsinB sin2 C sin2B，求角 c.综合练习1.设方程x2sinA2xsi nB si nc0有重根，且A、B、CABC的三内角，则 ABC的

4、三边a、b、c的关系是（）A.b= acB.a= bcC.c= abD.b2ac2.在厶 ABC 中 C 90、A 75,<CD AB，垂足为D,则CDCD的值等于（)ABA1 m1C .1f三B.D23423.等腰三角形的底角正弦和余弦的和为，则它的顶角是（).2A.30° 或 150° B.150 或 75°C.30 °D.15°4.在厶ABC中(sin A2i sin B sine)!3(sin2A sin2B sin2C）,则这个三角形是()三角形.A.锐角B .钝角C.直角D.等边5.在厶 ABC 中 0 tan A tan B

5、1, 1则厶ABC是（）.A.锐角三角形B.直角三角形C钝角三角形D.无法确定其形状6.在厶ABC中，AB 是 cos2 A2cos B的（）条件A.充分非必要B.必要非充分C.充要D.既不充分也不必要7.在锐角 ABC中，若 C 2B ,则c的范围为（）.bA.(2 .3) B .(3,2)C .(0, 2)D .(2,2)&已知A为三角形的一个内角，函数y （COSA）X2 （4sin A）X 6，对于任意实数x都有y 0 ,则（）.A .CA10 cos AB .1cos A 122C .cos A 0D .1cos A 09 .已知锐角三角形的边长为2、3、x,则x的取值范围是

6、（A .1 x 5B.,5x 13).10.在 ABC中，若面积 S abca2 (b c)2，则 cos A 等于().B .仝2C.工13D .兰1711. 在 ABC 中 a 7、b12. 在 ABC 中，若 si nA13 .在 ABC 中，若 2cosB cosC14.A ABC的面积和外接圆半径都是10、cosBc 15，贝U tanA .cosC，则 tan B tan C.1 cosA，则 ABC的形状是1，贝U si nA si nB sinC =15 .在厶ABC中，sinc ，则 ABC的形状是 .cosA cosB16 .如图5-8，/ A = 60°,/ A

7、内的点C到角的两边的距离分别是 5和2,为.则AC的长图5-817.已知A为锐角三角形一个内角， 且lg（1 si nA） m ,lg 1 1 A1 sin A则 lg cos A18 .在厶ABC中,若 A 60 ,b 1,19 .在厶ABC中,已知2s inBcosC面积20 .在厶ABC中,已知(sin Asin B求角C .21 .在厶ABC中,内角A最大，C最小,的值为之比.Sabc 3，则sin A, A 120sin C)(sin A2C ,22.已知三角形的三边长分别为1、的度数.1.拓展练习 三角形三边长是连续整数，最大角是最小角的3 B. -74 102.在 ABC中，P表

8、示半周长，C.-3R表示外接圆半径,的值为sin A si nB sinCsin B2x 1a 1，求B和ABC的sin C)3si n A si n B ,c 2b，求此三角形三边，求这个三角形中最大角2倍，则最小角的余弦等于（）.D.14F列各式中： sin 2(P b)(P c)bc c acosB bcosA一+ A B ta n2+ A B ta n2bsin A sin B sinC正确的序号为（）.3.在厶ABC中，若a116. (1) B. S absinC bcsin A casinB ； 22 b(bc)，则有().A.A BB. A 2BC.A 3BD. B 2A4.A

9、B 在厶ABC中，tana b则此三角形为().2a bA.等腰三角形B.直角三角形C.等腰直角三角形D.等腰或直角三角形5.在 ABC中，若lg a lg c Ig sin B Ig 2，且B为锐角，则 ABC的形状是a i6.设A是厶ABC中的最小角，且 cos A ，则a的取值范围是a 17 .如图5-9，在平面上有两定点A和B， AB , 3，动点M、N满足AM MN NB 1 .记 AMB和厶MNB的面积分别为S、T,问在什么条件下，S2 T2 取得最大值？图5-9&在 ABC 中，已知 C= 2B，求证：c2 b(2) B .三角形中大边对大角，由余弦定理，求出最长的边所对

10、角的120 ab .图 5-109. 圆O的半径为 R,其内接ABC的三边a、b、c所对的角分别为A、B、C,若2R(sin2A sin2C) sin B( . 2a b)，求 ABC 面积的最大值.10. 若ABC是半径为r的圆的弓形，弦AB长为、2r ,C为劣弧讣上一点，CD AB 于D，当C点在什么位置时厶 ACD的面积最大，并求此最大面积(如图5-10).参考答案基础练习1 . (1) b 5V6(2) c2 6 .22. (1) C 24 ,(2) B63 或 117 .3. (1) C 10 ,(2) a3.6 .4. (1) . A 42 ,(2) C150.5. (1) C 8

11、3 ,b 7.2, c8.2 ;(2) C 95 , a4.5, b5.0;(3) A 20 , C111 , c10.9;(4) A 35 , B125 ° , b 7.2或 A 145 , B 15 , b 2.3;(5) c 7.4, A32 , B68 ;(6) A 43 , B63 , C74 .c(3) A .由正弦定理，得bsi nC sin B叱2，将csin30.、2b代入b c 、21解得b、c的值;(4) C 由余弦定理，b2a2c22accosB，即 255010a，解关于a的方程 a 2 2 22c，二 (a b) (b c) (c a) 0 . a b c

12、. 10a 250，得 a7. (1)上或匕，由面积公式:441bcsin A，即2解得sinA T，从而求出A;(2)等腰三角形或直角三角形，由余弦定理得b22c2bc2 2.2 y，整理得(a2b2)(c2 a2 b2)0b2a2 b2所以，a b或c2 a2b2.&.由正弦定理:3asin Absin Bsi nC2R，可将已知的三个角的正弦关系转cosC边关系：aa2 b2c22ababab2abb2，即所以,b22nab，再利用余弦定理：综合练习2(2sin B)4sin A sinC 0 ,即sin2 Bsin A sinC .由正弦定理，得b2 ac.22243. A.设

13、等腰三角形顶角为、底角为贝V sincos6，两边平方，解得21 2si ncos6，即 sin 21 sinsin( n 2)sin 2-.又422为顶角，二30 或150 .4. D.由正弦定理得(a bc)23(a2b2c )，即 2ab2 22ac 2bc 2a 2b2 .C .设 AB = a，则 AC a11 1 1 CD AB AC BC,得 CD acos75 si n75 as in 150-a .BC a sin75 .由面积关系式：cos75 ,sin A sinB a ba b A B.cos2 A cos2 Bc si nC7. A.b sin B0Bn,2又0C2B

14、0An(2 2cosB- 3.-bcos8. B .由条件知cosA 0cosA2 或 cosAsin2Bsin BC)2cosB，(2, 3).A 0, 16s in2A 24cosA0,0,2(1 cos2 A)cosAA 1cosA .又2A 1cosA .又2cosB 三.即23cosA 0,A为三角形的一5.C . A、B、C为三角形的内角，又0tan A tanB tan A tan B1, tan A0, tanB 0tanCtan(n A B)tan(AB)-0 ,C为钝角.1tan A tanB6.C. cos1 个内角，二cosA 1，二 cosA 1 .29. B.设三边

15、2、3、x所对的三个角分别为 A、B、C,根据三角形任意两边之和大于 第三边和余弦定理，有： A cos2 B 1sin2 A1 sin2 Bsin2 Asin2 BA、B为三角形的内角，sin A0 ,si nB0.2 2sin A sin Bsin Asin B2Rsin A 2Rsin B(R为ABC外接圆半径).由正弦定理，a 2Rsi nA ,b2Rsin B .3 2x32,cosB222 x320,即22xcosC22322 x0.1口 0,x2 13 0.2 2 3x5,1 x 5,x 、5,10. D .由三角形面积公式：S -bcsinA. 2 2 1a2 (b c)2bc

16、sin A222 2 2b c a 2bc(11sin A).4b22 c2 a11-sinA .4由余弦定理，2bc.222b c a122cos A -1si nA.sin A4(1cos A) sin A16(1 cosA)bc41cos2 A 1632 cos A 16cos2 A ,150 解得2即 17 cos A 32 cos Acos A或 cos A 1.17A为三角形的内角,cosA 1,cos A151711.乞 由余弦定理,232 2 21015723cosA -10 15252sin A . 1 cos A(1 23)(152325)4625cos A2312 . 1

17、 .si nA cosB cosCsin(B C) cosB cosCsin BcosC cosBsinC cosB cosCsinB cosC cosB sinCcosB cosCtanB ta nC 1 .13.等腰三角形，2cosB cosC 1 cosA ,2cosB cosC 1 cos n(B C)2cosB cosC cos(BC) 1cosB cosC sinB sinC 1 ,即 cos(B14.1设 ABC外接圆半径为2R,则 R= 1 .由正弦定理sin A sin B sinCabc设 ABC的面积为S,则S= 1.1bcsin A2S absi nC22R 2R 2R

18、由面积公式1casin B ,2sin A sin B sin C2Sbc ca8ab (abc)2abc8(abc)2abc 4 .sin A sin B sin C15 直角三角形由正弦定理、余弦定理,cosA cosBsin A sinBsin Cb2c2a2a2c2b2b) 2bc2aca(b2c2a2) b(a2c2b2)2ab(a整理，得(a b)(a2 b2c2)0a>0 ,b>0 ,a2b2c20 .a2 b2.16. 2,13，由于 A、E、C、F四点共圆,ECF120连结在CEF中,由余弦定理：EF 252225 2 cos120 39,EF又由正弦定理可得AE

19、CF的外接圆直径ACEFsin 120图答5-717. 1(mn).lg(1 sin A)mlg11sin An，两式相减,lg(1 sin A)(1 si nA) m n .22lg(1 sin A) m n，即 lg cos A m n .2 lg cosA mn .lg cosA(m2n).18. 2 sin A sin B sin C 3 .由三角形面积公式，1 Sbcsin A ,31-1 c sin 60322 ，c 4 .由余弦定2 理，ab2c 2bccosA 14212 1 4 13 ,2a . 13 .由正弦定理，abc132 39.由等比定理可得：sin Asin Bsi

20、nC sin 603abc2>/3919 B 30 , S abc2 sin B cosCsin A，由正弦定理、余弦定理,a2 b2c22aba,b c , A 120B C 30 .由正弦定理,a bsin Asin Bsin 30sin 1201,3.S ABC11absi nC -221 丄 si n3033122R 2R2R2R2R2R2R2R化简得：(abc)(abc)3ab, (ab)2 c23ab再由余弦定理,得:cosCa2 b22 cab12ab2ab2 .21. a : b: c6:5:4 .A2C ,由正弦定理：caaaacosC2csinC sin Asin2C

21、2 sin C cosC '20.b3abacCbac 2bc a60 设R ABC外接圆半径，由正弦定理: b由余弦定理:a2b260 .a c2cosC2 .2a bc22,a c 2a( 2)C22aba(a c)a5a 3c4a210ac 6c20,2c4a3, a c5ac,ac.hcb2245a 3c4a(2 a 3c)(a c) 0.22. 120 .x2 x 1,X2 1,2x 1解得，x 1 .cosc2 ab .u3a: b:c25 c:-4c:c6:5:42 xx10,三边，2 x10,2x10.(x2x 1)(x21)x 20,(x2x 1)(2x1)x x x

22、(x 1)0,2x x 1是最大的边长令其所对的角为，由余弦定理:2 2 2 2 2(x 1)(2x 1)2 (x x 1)2(x2 1)(2x 1)120，即这个三角形中最大角的度数为拓展练习322x x 2x 12(2x3 x2 2x 1)120 .1. A .设三角形三边为 n 1、n、n 1(n N)，它们所对的角分别为C、B、A,则n 1 n 1C 2A .则正弦定理，sin A sin Cn 1sin 2An 12sin A cos Acos A册）由余弦定理，cos A(n 1)2 n2 (n2n(n 1)1)2n24n2n(n 1)n 12(n1)n2乜去分母2n(n 1)得:

23、n3 2n2 nn3 4n22n 4nn2 5n , n N，二 n 5.52 4 5cos A2 5 (5 1)（法二）如图，ABC中，Cn 1（n N）.在AB上取一点453604即最小角的余弦值为专2A,设 AD，使 ACDCAB s DCB .设 CD 为 x，则 DA 为 x, 彳 n(n 1) n 1 -n 11cos A2.,A、B、C三内角所对的三边分别为62BCDCDBn(n1)n42n 1 即(n 1)2 n2 nn 1n 1 (n 1)ABC25 361660(a b c)(a b c)4bcP -(a23n2n1. 边长为最小角的余弦值为图答5-8c），由半角公式、余弦

24、定理:(2P 2c)(2P 2b)!4bc(P c)(P b)bc正确.由积化和差公式、正弦定理:A Bta n2A B ta n2.A sin 2A B cos一 2B A B cos一 2A B2sin1(sinA sinB)12(sinA sinB)正确.如图：作AB边上的高CD ,则ADb cos A, BD acosB .c bcosA acosB .或 A、B中有一为钝角，同理可证得.（法二）由余弦定理,bcosA acosB = bb22 2c a2bc2 2 , 2 a c b a -2ac2 , 2c 2c b2c错误.由正弦定理：abc 2R R.sin A sin B s

25、inC(sin A sin B)(sinsin B) sin BsinC .2sin cos°2 22cos- Bsin_B sinB sinC .2sin(A B)si n(A B)sin BinC .sin(A B)sin B .即 sin (A B) sin B 0 . /c A A 2B c 2cossin0.2A 门cos 0,2A 2B .A 2B sin24. D .由正弦定理,sin A sin Btan 2.A Bsin2.A Bsina b.A B sin2A B cos一2 .A B sin2A0 或 sin -sin A sin Bsin A sin Bsin A sin BA 2cos2 o . A B2si nB . A Bsin2A Bcos一2cos si上2 出.A B 当sin2当+ A B当 tan 2 2A Bcos20时,1时,7talg lg sin B lg c正弦定理，有sin Asin CA= B;7tlg algclg sin Blg -2,sin B 2，又B为锐角，2180 B 135 ,B 45又-，由c 23. B.由正弦定理，得： sin2 A sin2 B sinB sinC .2sin(135C).sinC . 2(sin135 cosC cos135 sin C)，即 sinC sinC c