22春“数学与应用数学”专业《复变函数》在线作业答案参考9

1、22春“数学与应用数学”专业复变函数在线作业答案参考1. 试证明有限集A和可列集B的笛卡儿乘积A×B是可列集试证明有限集A和可列集B的笛卡儿乘积A×B是可列集根据题意A是有限集，则AN(N是自然数集)是可列集，可知(AN)×B是可列集，而A×B(AN)×B，而A×B是无限集，由于可列集的任何无限子集是可列的，故A×B为可列集2. 试利用逐项积分法求下列幂级数的和：试利用逐项积分法求下列幂级数的和：  提示  其答案依次为：     3. 设矩阵A5×4的秩为2，1=

2、(1，1，2，3)T，2=(-1，1，4，-1)T和3=(5，-1，-8，9)T均是齐次线性方程组Ax=0的解向量.求方设矩阵A5×4的秩为2，1=(1，1，2，3)T，2=(-1，1，4，-1)T和3=(5，-1，-8，9)T均是齐次线性方程组Ax=0的解向量.求方程组Ax=0的解空间的一个标准正交基.解空间的维数为4-r(A)=4-2=2，1，2可作为解空间的基，对1，2用施密特正交化方法，得解空间的标准正交基为：，.4. 设两个相互独立的事件A和B都不发生的概率为，A发生B不发生的概率与B发生A不发生的概率相等，则P(A)=_设两个相互独立的事件A和B都不发生的概率为，A发生B

3、不发生的概率与B发生A不发生的概率相等，则P(A)=_5. 设f(x)是正值连续函数，f(0)=1，且对任何x0，曲线y=f(x)在区间0，x上的一段弧的弧长总是等于由过x轴上点x，且设f(x)是正值连续函数，f(0)=1，且对任何x0，曲线y=f(x)在区间0，x上的一段弧的弧长总是等于由过x轴上点x，且垂直于x轴的直线及x轴，y轴与这段弧所围成的曲边梯形的面积求这条曲线的方程6. 设y=x3ex，求y(n)设y=x3ex，求y(n)y(n)Cn0x3ex+Cn13x2ex+Cn26xex+C3n6ex=x3ex+3nx2ex+3n(n-1)xex+n(n-1)(n-2)ex7. 若级数与分

4、别收敛于S1与S2，则( )式未必成立 A B C D若级数与分别收敛于S1与S2，则(  )式未必成立  A  B  C  DD8. 求抛物线y24x上的点，使它与直线xy4O相距最近求抛物线y24x上的点，使它与直线xy4O相距最近正确答案：9. 试证明： 设且m(E)+，若fk(x)在E上依测度收敛于f(x)，且f(x)0，fk(x)0，aexE(kN)，则1/fk(x)在E上依测度试证明：  设且m(E)+，若fk(x)在E上依测度收敛于f(x)，且f(x)0，fk(

5、x)0，aexE(kN)，则1/fk(x)在E上依测度收敛于1/f(x).证明 不妨假定fk(x)(kN)与f(x)皆不为0依题设知，对任一子列fki(x)，均存在子列fkij(x)几乎处处收敛于f(x)也就是说，对任一子列1/fk(x)，均存在子列1/fkij(x)几乎处处收敛于1/f(x).这说明命题结论成立.10. 证明：两异面直线l1，l2公垂线段的长度就是l1，l2之间的距离。证明：两异面直线l1，l2公垂线段的长度就是l1，l2之间的距离。    (如图所示)设AB是l1与l2的公垂线段，长度为|AB|，在li上任取一点Qi(i=1，2)，作出由Qi，V1，V2

6、决定的平面，于是AB，由Q2作的垂线，设垂足为N，因为l2，所以|AB|=|Q2N|，于是，在直角三角形Q1NQ2中，|Q1Q2|Q2N|=|AB|，所以，|AB|是l1与l2之间的最短距离，即两异面直线l1与l2线段的长度就是l1与l2之间的距离。 11. 某物体的运动轨迹可以用其位移和时间关系式s=s(t)： s=t3-6t2+7t，0t4 来刻画，其中s以米计，f以秒计，以起某物体的运动轨迹可以用其位移和时间关系式s=s(t)：  s=t3-6t2+7t，0t4  来刻画，其中s以米计，f以秒计，以起始方向为位移的正方向  试回

7、答以下关于物体的运动性态的问题：  (1)物体何时处于静止状态？  (2)何时运动方向为正或为负，何时改变运动方向？  (3)何时运动加快、变慢？  (4)何时运动最快、最慢？  (5)何时离起始位置最远？位移：s=t3-6t2+7t，速度：    加速度：    (1)我们知道当v变为零，即    v=3t2-12t+7=0，    也即秒或秒时，物体瞬间处于静止状态    (2)由于起始速度v

8、(0)=7米/秒，且v=v(t)为t的二次函数，故可知t内，物体运动方向为正；在内，运动方向为负，于是可知秒或秒时运动方向改变    (3)当a0，即t2，4时，运动速度加快；    当a0，即t0，2时j运动速度变慢    (4)由(2)的分析知，当秒时，速度v值最小；又根据二次函数的性质，可知当t=0秒或4秒时，速度v值最大    (5)我们可以根据s(t)的导数    s'(t)=v(t)=3t2-12t+7    的取值来判断s的单调性，且易知s'(t

9、)即v(t)的零点    和    即为s(t)单调性发生改变的点，且知秒时取得最大位移，t=2+秒时取得最小位移 12. 设 都是有理数域Q上的多项式 求u(x)，v(x)Qx，使得设    都是有理数域Q上的多项式 求u(x)，v(x)Qx，使得  对f(x)与g(x)施行辗转相除法        由此知x2-2是f(x)与g(x)的最大公因式，而              

10、60;从而有u(x)=-(x+1),v(x)=x+2. 13. 求下列函数的边际函数与弹性函数： (3) xae-b(x+c)求下列函数的边际函数与弹性函数：  (3) xae-b(x+c)(3)y=xae-b(x+c)，y'=(axa-1-bxa)e-b(x+c)     14. Fx中，x23x1除3x34x25x6的余式为A、31x13B、3x1C、3x13D、31x7Fx中，x2-3x+1除3x3+4x2-5x+6的余式为A、31x+13B、3x+1C、3x+13D、31x-7正确答案： D15. 把一个多项式进行因式分解是有固定统一的方

11、法，即辗转相除法。( )把一个多项式进行因式分解是有固定统一的方法，即辗转相除法。( )正确答案： ×16. 连续4次掷一颗骰子至少出现1次一个6点(设为事件A)与连续24次掷两颗骰子至少出现1次两个6点(设为事件B)，哪个连续4次掷一颗骰子至少出现1次一个6点(设为事件A)与连续24次掷两颗骰子至少出现1次两个6点(设为事件B)，哪个事件的概率更大?P1=4/64   p2=24/624p1/p2=4/64*624/24=619>1所以4次的概率大17. 设A=a1，a2，a3，a4，a5，R是A上的二元关系，其关系矩阵 试判断R是否是传递关系。设A=a1

12、，a2，a3，a4，a5，R是A上的二元关系，其关系矩阵  试判断R是否是传递关系。R是传递关系18. 有界可测集的测度为有限数，无界可测集的测度为+。( )A.正确B.错误参考答案：B19. 8求平面被三坐标面所割出的有限部分的面积8求平面被三坐标面所割出的有限部分的面积平面方程改写为，所割部分在xOy面上的投影为区域D(如图9-107所示)，故                     20. 设f(x)在x=x0的附近二阶连续可导，f&39;(x0)=0，f"(x0)0，则f(x)在x=x0处有( ) (A) 极大值 (B) 极设f(x)在x=x0的附近二阶连续可导，f'(x0)=0，f"(x0)0，则f(x)在x=x