数学解题方法漫谈

1、数学解题方法漫谈一、综合法与分析法综合法与分析法是数学证明题中经常用到的两种方法.由条件入手，根据的定义、定理、公理、公式逐步推导出需要求证的结论来，这种思维方法叫综合法.综合法是由原因导出结果即“由因导果的思维方法.这个题的证明方法，用的就是综合法，从条件入手，结合相关定理得出最后的结论.例2.a是不小于4的数，求证：.故只须不等式成立，即2+成立，只须：22+2，即2a-72成立，只须2a-7222即10即可，而10，显然成立，注意到以上各步骤均可逆每一步都是前一步的充分条件，因此原不等式成立.这个题的证明方法就是分析法.在假定结论成立的条件下，逐步推导出10这样一个真命题，而且以上推导过

2、程可逆.正是因为过程可逆，才保证了在10及a是不小于4的数的条件下可以推证出不等式成立的结果.假设我们在用分析法推导的过程中，过程不可逆那么，分析法是失效的.比方，由ab，cd可以推得a+cb+d，反之那么不然，这个过程就不是可逆的。二、反证法与同一法：反证法是一种间接证明命题的方法，它是通过证明反命题为假即先否认结论，通过结论的否认，推出与条件或定理、公理、公式相矛盾的结果，从而间接证明了原命题的正确性.例3. 如图1所示，平面 、 交于直线a，直线b在 内与直线a相交于A点，直线c在 内与直线a平行. 求证：b、c为异面直线.证明：假设b、c不是异面直线，那么或者bc，或者b、c 相交于一

3、点.假设bc，那么因为ac，所以ba，这与条件“直线b在 内与直线a相交于A点相矛盾；假设bIc=Pb、c 相交于一点，那么因为c ，b ，所以P ，且P ，从而Pa= I ，故直线a、c相交于P点，这又与条件“直线c在 内与直线a平行 相矛盾.以上矛盾说明b、c必为异面直线.这个题的证明方法就是反证法.反证法的关键是通过否认结论，推出矛盾，从而到达间接证明命题为真的效果的。例4. 试证明三角形的三条中线相交于一点.：在ABC中，AD，BE，CF是它的三条中线如图 2所示，求证：AD，BE，CF三线共点证明：设ABC中，BC、AC边的中线AD，BE相交于一点G，连结CG并延长与AB相交于F1点

4、，因为DE是ABC的中位线，从而DEAB，设DE与CF1相交于M点，于是有=，即= ；1=，即=；2该题的证明方法就是同一法。三、归纳法与合情推理归纳法是从特殊到一般的一种推理方法，它有别于演绎法一种由一般到特殊的推理方法，是合情推理的一种方法.它又分为不完全归纳法，和完全归纳法，其中数学归纳法是一种最常用的方法.例5. 试写出数列：，的一个通项公式.解：观察这个数列的前5项，发现分母逐渐增大，且是连续的自然数，而分子始终围绕在分母的前后进展变化，尝试着将各项拆分发现有以下规律：a1=1-=1+-11a3=1-=1+-13，a4=1+=1+-14，a5=1-=1+-15，故猜想这个数列的第n项

5、an=1+-1n，显然经过验证，前5项均满足这个公式.由于这个数列只给出了前5项，且经过验证，都符合这个通项公式.即便没有对数列的每一项都做出分解分析也不可能全部进展分析，只是分析了前5项反映出来的规律，我们仍然认为这个结论是合理的.这个结论就是运用不完全归纳法得出来的.解：因为an=pan-1，p0，所以=p，an是个等比数列，an=pn又因为b1=q，bn=qan-1+rbn-1得：b2=qa1+rb1=qp+rq=qp+r，b3=qa3+rb2=q0鹥2+r0鹮2p+r=qp2+pr+r2，b4=qa4+rb3=q0鹥3+rqp2+pr+r2=qp3+p2r+r3， ，可以推断：=如今用

6、数学归纳法证明如下：当n=1时，b1=q，推断成立；四、解析法与向量法平面解析几何是数形结合的典范，它以坐标为纽带，将数与形严密地联络在一起，并通过他们的互相转换到达解决问题的目的.因此人们又把这种通过建立坐标系，将几何的问题化为代数的问题来解决的方法叫解析法.例7. 在ABC中，D为BC边上任意一点异于B、C ，且|AB|2=|AD|2+|BD|0鹼DC|，求证：ABC是等腰三角形.证明：如图3所示，建立平面直角坐标系，B、C两点在x轴上，A点在y轴上，设A、B、C、D点的坐标分别为A0，a，B-b，0，Cc，0，Dd，0，于是|AB|=，|AD|=，|BD|=d+b，|DC|=c-d，因为|AB|2=|AD|2+|BD|0鹼DC|，所以a2+b2=a2+d2+d+bc-d，得b2-d2=d+bc-d，又因为D为BC边上任意一点异于B、C ，b-d，从而b-d=c-d，即b=c，|OB|=|OC|，ABC是等腰三角形.向量是数学中的重要概念之一 。由于向量具有几何形式和代数形式“双重身份 ，使它成为中学数学知识的一个交汇点 ，成为联络多项内容的媒介。特别是在处理度量、角度、平行、垂直等