高中不等式例题(超全超经典)

1、一.不等式的性质：二,不等式大小比较的常用方法：1 .作差：作差后通过分解因式、配方等手段判断差的符号得出结果；2 .作商（常用于分数指数基的代数式）；3.分析法；4.平方法；5.分子（或分母）有理化；6.利用函数的单调性；7.寻找中间量或放缩法；8.图象法。其中比较法（作差、作商）是最基 本的方法。三.重要不等式1. （1）若 a,bwR,则 a+b2 22ab （2）若 a,b w R,则 ab« 匚直（当且仅当 a =b 时取“二”）22. （1）若a,b$R,，则史士之）石（2）若a.bc R",则a+bN2j京（当且仅当a = b时取" = "

2、）若a.bwR)则abK（当且仅当a =b时取“一）3当;T > T ,即厂尢+ 1 > 0时，y >+ 5 = 9 (当仁2即x=l时取"=”号)3 .若x>0,则x+N2 （当且仅当x=l时取“二”）： X若x<0,则x+L4-2 （当且仅当x=-l时取“二”） X若ab>0,则色+八2 （当且仅当a = b时取“ 二 ”）b a4 .若a.beR,则（山）2 4+b?（当且仅当a = b时取“ 二 ”）22注：（1）当两个正数的积为定植时，可以求它们的和的最小值，当两个正数的和为定植时，可以求 它们的积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大

3、”.（2）求最值的条件“一正，二定，三取等”（3）均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范用、证明不等式、解决实际问题方面有广泛 的应用.2abf a+b / aJ+bJ应用一：求最值例1：求下列函数的值域（1） y=3x?+生（2） y=x+;/XX解题技巧:技巧一：凑项例1：已知XV上，求函数y = 4x-2 +一的最大值。44x-5评注：本题需要调整项的符号，乂要配凑项的系数，使其积为定值。技巧二：凑系数例1.当OuN<4时，求y=x（8-2x）的最大值。技巧三：分离 例3.求y=±±2£（x>-1）的值域。 X+1技巧四：换元解析二：本题看似

4、无法运用基本不等式，可先换元，令t=x+l,化简原式在分离求最值。(t-l)2 + 7(t-l)+10_t2 + 5t + 4 , 4+5技巧五：注意：在应用最值定理求最值时，若遇等号取不到的情况，应结合函数f(x) = x+4的单X调性。例：求函数y= %上的值域。Vx2+4解：令+4 = t(t > 2) » 则 y =1 + 5 = x2 +4 + J = t + -(t > 2)&+4Vx2 + 4 t因t>O,t； = l,但1 =；解得1=±1不在区间2,+8),故等号不成立，考虑单调性。因为y = t + ；在区间口,+8)单调递增，

5、所以在其子区间2,+8)为单调递增函数，故yzg。所以，所求函数的值域为2.已知Ovxvl,求函数y=joi-x)的最大值.；3. 0<x<|,求函数y="x(2-3x)的最大值. 条件求最值1.若实数满足a+b = 2,则3，+3b的最小值是.分析：“和”到“积”是一个缩小的过程，而且3“3b定值，因此考虑利用均值定理求最小值，解：3a 和3b 都是正数，3a + 3b 2>/3a - 3b = 6当3a =36时等号成立，由a + b = 2及3" =3b得a=b = l即当a=b = l时，3，+3b的最小值是6.变式：若logx+log4 y= 2

6、,求的最小值.并求尤y的值 x y技巧六：整体代换：多次连用最值定理求最值时，要注意取等号的条件的一致性，否则就会出错。1 92：己知x>0,y>0,且一+ = 1,求x+y的最小值。 x y应用二，利用基本不等式证明不等式1 .已知a,b,c为两两不相等的实数，求证：a2 +b2 +c2 > ab + bc + ca1)正数a, b, c 满足 a + b+c=l,求证：(1 a)(l b)(l c)8abc例 6：已知 a、b、ceR-,且a+b+c = l。求证：分析：不等式右边数字8,使我们联想到左边因式分别使用基本不等式可得三个“2”连乘，又 3_1 =匕=把2亚，

7、可由此变形入手。a a a a解：.a、b、cg R' , a+b+c = l。/. -1 =o 同理2一 1 n 2y， 1-1>22EOa a a ab be c上述三个不等式两边均为正，分别相乘，得仕一1化_力仕_1卜多且左上 = 8。当且仅当a = b = c时取等号。人b 人 c 1abe3应用三：基本不等式与恒成立问题1 Q例：已知x>0,y>0且一+ = 1,求使不等式x+ y2m恒成立的实数m的取值范围。 x y田人 , 八 c 19, x+y9x+9y,10y9x,解： 令x+ y = k.x>0,y>0, + = 1, - + = 1.

8、/. + + = 1xykx kykkxky103、1 2, o/.kN 16 , inG(应用四：均值定理在比较大小中的应用：例：若a >b > 1,P = >/iga -lgb,Q = ：(lga + lgb),R= lg( ；b),则 p q r的大小关系是分析:Va>b>llg a > 0, lg b > 0 Q =(lga +' b)> Jlga-lgb = p：.R>QR = Igd +与 > lg Vab = lgab = Q 22四.不等式的解法.1 .一元一次不等式的解法.2.一元二次不等式的解法3 .筒单的

9、一元高次不等式的解法：标根法：其步骤是：(1)分解成若干个一次因式的积，并使每一 个因式中最高次项的系数为正；(2)将每一个一次因式的根标在数轴上，从最大根的右上方依 次通过每一点画曲线；并注意奇穿过偶弹回：(3)根据曲线显现f(x)的符号变化规律，写出 不等式的解集。如(1)解不等式(x-1)(x+2)2>0。(答：x| xNl 或 x=-2)；(2)不等式(x2)Jx2_2x30的解集是(答：x| x>3iiX x=-l)；(3)设函数f(x)、g(x)的定义域都是R,且f(xR0的解集为x|l«x<2, g(x)N0的解集 为0,则不等式f(x)Eg(x)&g

10、t;0的解集为(答：(7d,1)U2,)；(4)要使满足关于x的不等式2x2-9x+a<0 (解集非空)的每一个x的值至少满足不等式 x? -4x+3 <0和犬-6x+8 <0中的一个，则实数a的取值范围是.(答：7,当) O4 .分式不等式的解法：分式不等式的一般解题思路是先移项使右边为0,再通分并将分子分母分 解因式，并使每一个因式中最高次项的系数为正.最后用标根法求解。解分式不等式时，一 般不能去分母，但分母恒为正或恒为负时可去分母。如(1)解不等式<7x2-2x-3(答：(1,1)11(2,3)；(2)关于X的不等式ax-b>°的解集为Q,+8)

11、'则关于X的不等式岩>°的解集为(答：(-oo-l)U(2,+oo).5 .指数和对数不等式.6,绝对值不等式的解法:(1)含绝对值的不等式|x|Va与|x|>a的解集(2) ax+b Wc(c>0)和 ax+b| 2c (c>0)型不等式的解法 ax+b WcO-cWax+bWc; ax+b 2c。ax+b2c 或 ax+bW-c.(3) x-a | + x-b | 2c (c>0)和 | x-a +1 x-b Wc (c>0)型不等式的解法 方法一：利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想； 方法二：利用“零点分段法”求解，

12、体现了分类讨论的思想；方法三：通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想。 方法四：两边平方。例1：解下列不等式：(1). x2-2x|>x(2). 4 V【解析】：(1)解法一(公式法)原不等式等价于x2-2x>x或x2-2x<-x解得x>3或x<0或0<xl原不等式的解集为 x I x<0或0<x<l或x>3 解法2 (数形结合法)作出示意图，易观察原不等式的解集为 x | x<0或0<x<l或x>3 第(1)题图第(2)题图【解析】：此题若直接求解分式不等式组，略显复杂，且容易解答错误；若能

13、结合反比例函数图象，则解集为x|xg或x<-：,结果一目了然。例2：解不等式：|x|>lX5【解析】作出函数f（x） = |x和函数g（x）=X的易知解集为（8,0） 3 +oo）3解不等式.|x+l|-|x-lB 士例 3：2。【解法1】令-2(x<-l)g(x) =| x+l|-| x-l|=< 2x(-1 < x<l)2(x>l)h(x)=令 2,分别作出函数g(x)和h(x)4【解法2】原不等式等价于3 g(x)=(x+l|,h(x)=|x-l| + -的图象，知原不等式的解集为|X+1|>|+|X_1|分别作出函数g（x）和h（x）的图

14、象，易求出g（X）和h（X）的图象的交点坐标为9q）I x+l I I X11> "7，+8）所以不等式2的解集为4|x+l|-|x-l|>【解法3】由2的几何意义可设F1 （ 一1 , 0 ), F 2 ( 1 , 0 ), M (x, y),3oMF1一 MF）= -2.若-2,可知M的轨迹是以Fl、F2为焦点的双曲线的右支，其中右顶点为（"0 ）,3_2,由双曲线的图象和I x+l I - I X-1 I 2亍知x24.7.含参不等式的解法：求解的通法是“定义域为前提，函数增减性为基础，分类讨论是关键 注意解完之后要写上：“综上，原不等式的解集是"

15、;。注意：按参数讨论，最后应按参数取值分别 说明其解集；但若按未知数讨论，最后应求并集.如（1）若则a的取值范围是（答：a1 或0<a <-）； 3（2）解不等式ax2ax-1> x(a g R)11(答：a = 0 时，x | x < 0 ； a>0 时，x| x> ilK x<0 ； avO 时，x | < x < 0 x < 0) aa提醒：(1)解不等式是求不等式的解集，最后务必有集合的形式表示；(2)不等式解集的端 点值往往是不等式对应方程的根或不等式有意义范围的端点值。如关于x的不等式ax-b>0的解 集为(-8,1

16、)，则不等式=二_>。的解集为 (答：(- 1,2)ax+b例2求函数y = |x-3|-|x+1的最大和最小值：(2)设awR,函数 f(x)= ax2 + x-a(-l < x<l).若同求|f(x)的最大值例3.两个施工队分别被安排在公路沿线的两个地点施工，这两个地点分别位于公路路牌的第lOkir. 和第20km处现要在公路沿线建两个施工队的共同临时生活区，每个施工队每天在生活区和施工地 点之间往返一次.要使两个施工队每天往返的路程之和最小，生活区应该建于何处？七.证明不等式的方法：比较法、分析法、综合法和放缩法(比较法的步骤是：作差(商)后通过 分解因式、配方、通分等

17、手段变形判断符号或与1的大小，然后作出结论。).常用的放缩技巧有：-=!<4<n n + 1 n(n + l) it n(n-l) n-1 nyjk+l-y/k = I =< != y1k-yjk+lyk+1 +y k1 + yk如(1)已知 a>b>c,求证：a2b + b2c + c2a > ab2 +bc2 +ca2 ；(2)已知a,b,ccR,求证：a2b2 +b2c2 +c2a2 > abc(a +b + c)；(3) 已知a,b,x,yw R-,y, 求证：一一；a bx+a y+b(4)若a、b、c是不全相等的正数，求证：1g匕 + lg

18、"£ + lg±W>lga + lgb + lgc ；2 2一(5)已知a,b,cwR,求证：a2b2+b2c2 +c2a2 > abc(a+b + c)：(6)若nwN*,求证：5/(n+1)2+1-(n+1) < >/n2+l-n：(7)己知|a罔b,求证：岩三*4书胃；I a-b|a +b |(8)求证：1 + U +±+ -+3<2。2- 3-n-J.不等式的恒成立,能成立，恰成立等问题：不等式恒成立问题的常规处理方式？(常应用函数 方程思想和“分离变量法”转化为最值问题，也可抓住所给不等式的结构特征，利用数形结 哈*去)1) .蝠成立问题若不等式f(x)> A在区间D上恒成立,则等价于在区间D上“封后> A若不等式f(x)<B在区间D上恒成立,则等价于在区间D上f(x)nwt<B如(1)设实数x,y满足x(y-1)、1,当x+y+cNO时，c的取值范围是(答：V2-l,-w)；(2)不等式|x-4| + |x-3|>a对一切实数x恒成立，求实数a的取值范围(答：a<l)；(