高中立体几何测试题及答案(理科)

1、立体几何测试题1 .如图，直二面角DE中，四边形是边长为2的正方形，F为上的点，且，平面.(I )求证，平面；(n)求二面角B E的大小的余弦值;2 .已知直四棱柱一AiBiCiDi的底面是菱形，且NDAB =60°, AD = AA , F为棱i的中点，M为线段i的中点.(1)求证：直线平面；(2)求证：平面i,平面iAi;(3)求平面i与平面所成二面角的大小3、在四棱锥中，底面为矩形，平面，点 E在线段上，平面.(1)证明：，平面；(2)(2)若1, 2,求二面角的正切值;14、如图，直二棱柱 ABC-AB1cl中，AC = BC= AA, D是棱 AA1的中点, 2DC1 _L

2、 BD (1)证明：DC1，BC (2)求二面角 A - BD -G 的大小.5.如图，P- ABC是正四棱锥，ABCD - AB1C1D1是正方体，其中AB =2,PA =亲.(I )求证：PA_LBDi；(H)求平面PAD与平面BDDiB所成的锐二面角日的大小;(田)求B1到平面PAD的距离.6.已知多面体中，平面，平面,AD=2 a, = a, F为的中点.(I )求证：，平面;(n)求异面直线，所成角余弦值;(m)求面和面所成二面角的大小.7.已知斜三AC = BC = 2棱柱 A B C 1A1B1 ,C/BCA=90，,A在底面ABC上的射影恰为AC的中点D ,又知BA 1 AC。

3、(I)求证：AC1 _L平面 ABC ;()求CCi到平面aab的距离;()求二面角A ABC的大小8.如图，正三棱柱一AiBiCi中，D是的中点，i1.(I)求证：iC平面iD;()求二面角B-i-D的大小；()求点c到平面iD的距离.BC BEBF =EC222. 31、解：（I ） 丁 BF _L 平面.二 BF 1 AE.而角D E为直二面角，且CB _L AB ,，CB _L平面.二 CB _L AE. :. AE _L 平面 BCE（H）连结交于C,连结,;正方形边长为2, 行,b BF _L平面，由三垂线定理的逆定理得，.,/BGF是二面角B E的平面角由（I ），平面，又 AE

4、 = EB ,.在等腰直角三角形中，、2 .又 直角 ABCE中，EC = <BC2 +BE2 =瓜1,-F =4,2.3BF 丁一直角 ABFG中,sin/BGF =3=-BG 2二面角B E大小的余弦值等于2、解（I）延长CiF交的延长线于点N,连结.因为F是i的中点，所以F为CiN的中点，B为的中点.又M是线段i的中点，故.二 MF 平面 ABCD.又丁 MF辽 平面ABCD, AN仁 平面ABCD.（H）证明：连，由直四棱柱一 AiBiCiDi可知：AA_L平面，又平面,，AiA_LBD.；四边形为菱形，:AC .L BD.又丫 ACc AiA = A,AC,Ai Au 平面 A

5、CC1A1,二 BD _L 平面 ACC1Al.在四边形中，/且，所以四边形为平行四边形.故/ ,，NA_L平面 iAi.又丫 NA 二平面AFC1二平面AFC1 _L平面iAi.(m)由(H)知，iAi,又 y 1A1,.L, :，iL又由，可知，. .zCi就是平面i与平面所成二面角的平面角或补角CiC1在zCi 中，tan Ci AC ,CA 3故/Ci30°.平面i与平面所成二面角的大小为30 0或i50 °，PA 1 ffD二, #/）- ± 4* 1*1 F4C£2）设AC与BD支点为O.旌。£/ pc x lii 0口式二 PC

6、X 0£.乂*JJ.平闿尸A£:,re ± so工户EL平由| HOC'. PC 1 Hit.,.上ME0为T而馋mPCT的平耐tV 出/），平 l"/M£/. tf/> 1 ACA 四边用中正方形工fJO >近._r/ "K I在 Aa浦C中 t = n -j=* = - =1 OE = 1QC AC 7i A3出O'二 Lan j-REO = 3OS3 .4 .【答案】（1）在RtiDAC中，AD = AC得： ADC =45同理：ADC1 =45 = CDC1 =90得：DC1 _L DC, DC1

7、_L BD= DC1 _L 面 BCD = DC1 _L BC DC1 _L BC,CC1 _L BC= BC_L 面 ACC1A 二 BC 1 AC取AB1的中点O ,过点。作OH _L BD于点H ,连接CQ,CiHAC1= B1C C1GL A,B面 AB1cl _L 面 A1BD = C1O _L 面 A1BDOH_LBg 1C HL BD:点H与点D重合且/CQO是二面角A - BD - C1的平面角2a一设 AC=a,则 CQ=-, C1D =J2a = 2CQ= /GDO = 30既二面角A1 - BD -C1的大小为30 口5 .解：（I旌结,交于点 O ,连结,则，面,y.

8、AC.L BD , .-.PAI BD , ,.BD/B1D1 , .PA_LB1D1 .（H）二, 上面，过点。作，于点M ,连结,则，就是二面 角的平面角,又.AB =2, PA = 76,42 ,6-2 =2PO OD 2 ；22AO 26OM = = -tan /AMO =PD 6.3OM 223即二面角的大小为arctan .2（田）用体积法求解：VB1qAD =VaPD => - hx 'SpAD =1 AO $BPD 解得 hx335即Bi到平面的距离为晅56 .解：（I ）二.，平面，=平面10又二，F为中点一，_L平面 oDE _L 平面ACD、（H） v 丁=

9、 - DE/ABAB_L 平面ACD,取中点M,连结、，则四边形为平行四边形,则/为与所成的角。在中，2aAM = . AD2 DM 2 = 4a2 a2 = 5aCM = CD2 DM 2 4a2 a2 5a由余弦定理得：cos/CAM = (2a) +("5a)二於-a)=衣2 2a： J5a5一 一、一 .5异面直线、所成的角的余弦值为 O5(m)延长。交于点G,连结。, i 一一. , 一, ， 一一，因为，-,所以A为中点。又因为F为中点，所以。 2因为，平面，所以，平面。故/为面和面所成二面角的平面角易求/ 45 07 .解：(I)因为AD _L平面ABC ,所以平面AA

10、1C1C _L平面ABC ,又BC，AC ,所以BC 1平面AAC iC ,得 BC _L AC1 ,又 BA _L AC1所以AC1 _L平面A1BC ;()因为AC1 .LAC ,所以四边形AAC1C为菱形，故AA =AC =2 ,又D为AC中点，知/AAC =60。取AA中点F ,则AA1 _L平面BCF ,从而面AAB 1面BCF ,2 21过C作CH，BF于H ,则CH，面AAB,在 RtBCF 中，BC =2,CF =73,故 CH2： 21即CC1到平面AAB的距离为CH =7-()过 H 作 HG _L AB于 G ,连 CG ,则 CG _L AB ,从而,CGH为二面角A-

11、A1B-C的平面角,在 Rt&A1BC 中，A1C = BC = 2 ,所以 CG = & ,在 RtCGH 中，sin/CGH = =42 ,CG 7故二面角A-A1B-C的大小为arcsin08. (I)证明：连接AiB,设AiBAi = E,连接.,一AiBiCi是正三棱柱，且i二, 四边形Aii是正方形，. E是AiB的中点，又D是的中点， /AiC. V平面iD, AiC0平面iD, .AiC/平面 iD.()解：在面内作，于点F,在面Aii内作，i于点G,连接.;平面Aii，平面， 二，平面Aii , 是在平面Aii上的射影，v ±i,.L/是二面角B i D的平面角3设AiA = i ,在正中，4- 332在中，FG =-