第三讲等积变形

1、第三讲等积变形1.等积模型等底等高的两个三角形面积相等；两个三角形高相等，面积比等于它们的底之比; 两个三角形底相等，面积比等于它们的高之比； 如图 s ：S2 =a:b夹在一组平行线之间的等积变形，如图SLACD = &BCD;反之，如果Saacd =Sa BCD ,则可知直线 AB平行于CD .等底等高的两个平行四边形面积相等（长方形和正方形可以看作特殊的平行四边形）；三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半；两个平行四边形高相等，面积比等于它们的底之比；两个平行四边形底相等，面积比等于 它们的高之比.2 .鸟头定理两个三角形中有一个角相等或互补，这两个三角形叫做共角三角形

2、.共角三角形的面积比等于对应角（相等角或互补角）两夹边的乘积之比.如图在4ABC中，D,E分别是AB,AC上的点如图 （或D在BA的延长线上，E在AC上）,则 Sa abc ：Saade =(AB AC)： (AD AE)A图图3 .蝶形定理任意四边形中的比例关系（“蝶形定理”广 S : S2 =S4: S3 或者 s MS =& MS4 AO： OC =（S +S2 y（S4 +S3）蝶形定理为我们提供了解决不规则四边形的面积问题的一个途径.通过构造模型，一方面可以使不规则四边形的面积关系与四边形内的三角形相联系；另一方面，也可以得到与面积对应的对角线的比例关系.梯形中比例关系(“梯

3、形蝶形定理”)： Si :S3 =a2 :b2 Si :$: S2: $ =a2 :b2 :ab :ab ;_ 2S的对应份数为(a+b).4.相似模型（一）金字塔模型（）沙漏模型AB AC BC AG & ADE： S乙 ABC= AF2： AG2 .所谓的相似三角形，就是形状相同，大小不同的三角形（只要其形状不改变，不论大小怎样改变它们都相似），与相似三角形相关的常用的性质及定理如下：相似三角形的一切对应线段的长度成比例，并且这个比例等于它们的相似比;相似三角形的面积比等于它们相似比的平方；连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线.三角形中位线定理：三角形的中位线长等于它所对应的

4、底边长的一半.相似三角形模型，给我们提供了三角形之间的边与面积关系相互转化的工具. 在小学奥数里，出现最多的情况是因为两条平行线而出现的相似三角形.5.共边定理（燕尾模型和风筝模型）共边定理：若直线 AO和BC相交于D （有四种情形），则有SaBO ： S必CO = BD ： DC在三角形 ABC中，AD , BE , CF相交于同一点 O ,那么S浅BO : S捡CO = BD ： DC .上述定理给出了一个新的转化面积比与线段比的手段，因为AABO和AACO的形状很象燕子的尾巴，所以这个定理被称为燕尾定理. 该定理在许多几何题目中都有着广泛的运用， 它的特殊性在于，它可以存在于任何一个三角

5、形之中，为三角形中的三角形面积对应底边之间提供互相联系的途径.教学重1 .了解三角形的底、高与面积的关系，会通过分析以上关系解题。2 .能在解题中发现题目中所涉及的几何模型。趣味引入特色讲解例1:如图，正方形 ABCD勺边长为6, AE=1.5, CF=2.长方形EFGH勺面积为.分析：连接DE DF,则长方形EFGHJ面积是三角形 DEFM积的二倍.三角形DEF勺面积等于正方形的面积减去三个三角形的面积，Sa DEF = 6 6 -1.5 6-2 -2 6 一： 2 - 4.5 4一一2=16.5,例2：长方形ABCD的面积为36cm2, E、F、G为各边中点, 问阴影部分面积是多少？H为A

6、D边上任意一点,分析：解法一：寻找可利用的条件，连接 BH、HC ,如下图:可得:SHC , 2=S.AHB ' S.CHB ' S.CHD - 36而 Sabcd即 S.EHBS.BHF-11 ”SDHG= (SAhBSAhBSCHD )236 = 18；而 S.Ehb+ SHG =S阴影 +SBF ,11111BF=-XBE MBF =M( MAB) m ( MBC)=父36=4.5 .22228所以阴影部分的面积是：So =18-S.ebf =18-4.5=13.5解法二：特殊点法.找 H的特殊点，把H点与D点重合,则有:Sfe影 =Sabcd - S -aed - S

7、CFD1111111=36 36 - 36 362 22 2 22 2= 13.5例3:如图所示，长方形 ABCD内的阴影部分的面积之和为 70, AB = 8, AD=15,四边形 EFGO的面积为.分析：利用图形中的包含关系可以先求出三角形AOE、DOG和四边形EFGO的面积之和，以及三角形 AOE和DOG的面积之和，进而求出四边形 EFGO的面积.1由于长万形ABCD的面积为15M8 =120,所以二角形BOC的面积为120父=30,所以三角43形AOE和DOG的面积之和为120M-70=20;4又三角形AOE、DOG和四边形EFGO的面积之和为120父|口 1=30 ,所以四边形EFG

8、O2 4的面积为30 -20 =10 .另解：从整体上来看，四边形EFGO的面积=三角形AFC面积十三角形BFD面积-白色部 分的面积，而三角形 AFC面积十三角形BFD面积为长方形面积的一半，即 60,白色部分 的面积等于长方形面积减去阴影部分的面积，即120-70= 50所以四边形的面积为60 -50= 10例4:已知ABC为等边三角形，面积为400, D、E、F分别为三边的中点，已知甲、乙、 丙面积和为143,求阴影五边形的面积.（丙是三角形HBC）A分析：因为D、E、F分别为三边的中点，所以 DE、DF、EF是三角形ABC的中位线, 也就与对应的边平行， 根据面积比例模型， 三角形AB

9、N和三角形AMC的面积都等于三角形 ABC的一半，即为 200.根据图形的容斥关系，有 SABC SM = SABN S SAMC SAMHN ,即 400 一$丙=200 +200 SAMHN ,所以 SW = Samhn .又 Si影, S ADF = Sp S& SAMHN， 所以1”cSi影=S? +8 + S丙 一 S必df = 143 父 400 = 43 .4例5:如图，已知 CD =5, DE =7, EF =15, FG =6 ,线段AB将图形分成两部分，左边 部分面积是38,右边部分面积是 65,那么三角形 ADG的面积是.分析：连接AF , BD .根据题意可知，

10、 CF =5+7+15=27； DG =7+15+6 = 28；所以,G =15G c _12c c .21eSBEFSCBF，SBEC-S&BF,SEGSDG,272728SAED28 SADG，一 121 -157 c12 c于是：S&DGSBF=65；-SDG+ ； SCBF= 38 ；28272827可得 Sadg =40 .故三角形ADG的面积是40.例6:& ADEAE:AC=4:7 ,如图在 ABC中，D,E分别是AB,AC上的点，且 AD: AB =2:5 , =16平方厘米，求 ABC的面积.分析：连接 BE , SAade：&ABE =AD:

11、AB=2:5 =（2父4）:（5父4）,& abe ： Sa abc = AE : AC =4: 7 =(4x5): (7 5 5) > 所 以 Sa a d ：eS*a 后 b (C2 4 X : (，7 设 Sa ade =8份，则Sa abc =35份，Sa ade =16平方厘米，所以1份是2平方厘米，35份就是70 平方厘米，4ABC的面积是70平方厘米.由此我们得到一个重要的定理，共角定理：共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比例7:如图在 ABC中,AE:EC=3:2,D在BA的延长线上， E在AC上，且 AB:AD = 5:2,Sa ade

12、 =12平方厘米，求 ABC的面积.分析：连接 BE , Saade : Saabe =AD:AB=2:5 =(2m3):(5m3)& ABE :$ ABC =AE:AC =3: (3+2) =(3父5): |(3+2)父5,所以 $ ade : S；a abc =(3m2): bx(3+2) = 6:25 ,设 Sa底=6 份，贝U Sabc =25份，Saade =12 平方厘米，所以1份是2平方厘米，25份就是50平方厘米， ABC的面积是50平方厘米.由 此我们得到一个重要的定理，共角定理：共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角) 两夹边的乘积之比例8:如图，平行四边形

13、边形ABCD的面积是2 ,ABCD, BE=AB, CF =2CB , GD =3DC , HA = 4AD,平行四 求平行四边形ABCD与四边形EFGH的面积比.HG分析：连接AC、BD.根据共角定理在 4ABC 和 ABFE 中，ZABC 与/FBE 互补,.Sz ABCSa fbe 又 Sa ABC 同理可得AB BC 1 11BE BF 1 3 3=1 ,所以 Sa fbe = 3 -SA GCF =8 , SA DHG =15，SA AEH =8。所以所以SEFGH SA AEH +SACFG +SA DHG +SABEF + SABCD 8 +8 +15+3+2 36 -SABCD

14、21=一二一.SEFGH3618例9:如图所示的四边形的面积等于多少?CO分析：题目中要求的四边形既不是正方形也不是长方形，难以运用公式直接求面积我们可以利用旋转的方法对图形实施变换：把三角形OAB绕顶点O逆时针旋转，使长为13的两条边重合，此时三角形OAB将旋转到三角形OCD的位置.这样，通过旋转后所得到的新图形是一个边长为12的正方形，且这个正方形的面积就是原来四边形的面积 .因此，原来四边形的面积为 12x12=144.（也可以用勾股定理）例10:如图所示， AABC中，/ABC=90： AB=3, BC =5 ,以AC为一边向 AABC外作 正方形ACDE ,中心为O,求BC的面积.分

15、析：如图，将iOAB沿着O点顺时针旋转90s,到达iOCF的位置.由于 /ABC=90： /AOC=90©,所以 /OAB+/OCB=180*.而/OCF =/OAB ,所以NOCF+NOCB=180那么B、C、F三点在一条直线上.由于OB =OF , ZBOF =ZAOC =90%所以ABOF是等腰直角三角形，且斜边BF为5 + 3=8 , c1所以匕的面积为82 M - =16.4 5 根据面积比例模型，AOBC的面积为16M5 =10.8当堂练习1.如图所示，正方形 ABCD的边长为8厘米，长方形EBGF的长BG为10厘米，那么长方形的 宽为几厘米？答案；本题主要是让学生会运用

16、等底等高的两个平行四边形面积相等（长方形和正方形可以看作特殊的平行四边形）.三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半.证明：连接AG.（我们通过4ABG把这两个长方形和正方形联系在一起 ）.1.在正万形 ABCD中，Sa abg =父AB m AB边上的局， 2c1 C Sx ABG =2SABCD （三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半）1c向理， SAABG SEFGB 2，正方形ABCD与长方形EFGB面积相等.长方形白宽=8 乂8 + 10 =6.4（厘米）.2.在边长为6厘米的正方形 ABCD内任取一点P,将正方形的一组对边二等分，另一组对 边三等分，分别与 P点

17、连接，求阴影部分面积.点与A点答案;重合，则阴影部分变为如上中图所示，图中的两个阴影三角形的面积分别占正方形面积的11 1和1 ,所以阴影部分的面积为 62父（+1） =15平方厘米.64 6（法2）连接PA、PC .由于APAD与APBC的面积之和等于正方形 ABCD面积的一半，所以上、下两个阴影三角形的面积之和等于正方形 ABCD面积的1 ,同理可知左、右两个阴影三角形的面积之和等于正 4方形ABCD面积的1 ,所以阴影部分的面积为 62父（+）=15平方厘米. 64 6则阴影部分的面积3.如图，长方形 为.答案；如图，连接OE.1根据蝶形定理，ON : ND =S.coe : Scde=

18、3SAE : S&DE =1 ,所以 S&EN =；SmED ；二 SmEA 5所以阴影部分面积为：1cOM : MA -SBOE : S&AE SDE : S&AE =1: 4 ,所以 SmEM11又 S 曲ED =一父S巨形 ABCD =3 ,SOEA 2SWED 6 ,3 4c 1-1 c3x1 +6x1 =2.7 .254.如图，三角形 ABC中，AB是AD的5倍，AC是AE的3倍，如果三角形 ADE的面积 等于1,那么三角形 ABC的面积是多少？答案；连接BE .EC =3AE-Sabc 二3S ABE又 AB=5ADSJADE =S_ABE 丁 5

19、= S ABC 丁 15 ,SABC =15s ADE =15 乙两部分,BD = DC =4, BE =3 , AE =6 ,5 .如图，三角形ABC被分成了甲(阴影部分)、 乙部分面积是甲部分面积的几倍？答案；连接AD . BE =3, AE=6-3s BDE，AB=3BE, Sabd又. BD =DC =4,一S ABC 二2S ABD , SABC 二6S BDE )6 .如图，以正方形的边 AB为斜边在正方形内作直角三角形ABE, /AEB = 90 AC、BD交于O .已知AE、BE的长分别为3cm、5cm,求三角形 OBE的面积.F答案；如图，连接DE ,以A点为中心，将 MDE

20、顺时针旋转90。到AABF的位置.那么 NEAF =/EAB+NBAF =/EAB+NDAE =90"，而 NAEB也是 90)所以四边形 AFBE 是直角梯形，且 AF=AE=3,所以梯形AFBE的面积为：12(3 +5 产3M一 =12( cm2).又因为 MBE是直角三角形，根据勾股定理，AB2 = AE2+BE2 =32+52 =34 ,所以12S送BD = 2 AB = 17 ( cm ).那么S bde所以S OBE= S叁BD _(S四BE +S&DE )=SBD - SAFBE =17-12=5(Cm ),1 o2=2s店de = 2.5( cm ).7 .如

21、下图，六边形 ABCDEF中，AB = ED , AF =CD , BC =EF ,且有AB平行于ED , AF 平行于CD, BC平行于EF ,对角线FD垂直于BD ,已知FD =24厘米，BD=18厘米，请 问六边形ABCDEF的面积是多少平方厘米？答案；如图，我们将 mCD平移使得CD与AF重合，将ADEF平移使得ED与AB重合，这 样EF、BC都重合到图中的 AG 了.这样就组成了一个长方形BGFD,它的面积与原六边形的面积相等，显然长方形BGFD的面积为24M18=432平方厘米，所以六边形 ABCDEF的 面积为432平方厘米.8 .如图，三角形 ABC的面积是1, E是AC的中点

22、，点D在BC上，且BD:DC=1:2, AD 与BE交于点F .则四边形DFEC的面积等于.S>A ABFBD1S/ abfAE答案；方法一：连接CF ,根据燕尾定理，一辿二二一,7=1,S*A AEF = S*A EFC =3 份，如图所SaacfDC2Sa cbfEC设 S»A BDF = 1 份，则 S>A DCF = 2 份，Sa ABF = 3 份,一 5 一所以 SDCEF -SA ABC12121万法二：连接DE ,由题目条件可得到 Saabd =-Saabc3SA ADE4SAADC22 c1,父不Sa ABC =二，所以33BF Sa abdFESA D

23、EF而 SA CDE22=-X32 Sa ABC31一.3所以则四边形& ADE1 S'ABCDFEC的面积等于2122平方厘米,EC=2DE, F是DG的中点.阴影部分的面9 .如图，长方形 ABCD的面积是 积是多少平方厘米？DEC答案；设54 def =1份，则根据燕尾定理其他面积如图所示。一5。 一5 苏影一 77 § bcd - TT平方1212厘米.10.四边形ABCD的对角线AC与BD交于点0（如图所示）.如果三角形 ABD的面积等于三_ _ 1角形BCD的面积的1 ,且AO=2 , DO =3 ,那么CO的长度是DO的长度的倍.答案；在本题中，四边形

24、方法：利用已知条件，ABCD为任意四边形，对于这种"不良四边形”，无外乎两种处理向已有模型靠拢，从而快速解决；通过画辅助线来改造不良四边形.看到题目中给出条件 Sabd ：S_bcd =1:3 ,这可以向模型一蝶形定理靠拢，于是得出一种解法.又观察题目中给出的已知条件是面积的关系，转化为边的关系， 可以得到第二种解法，但是第二种解法需要一个中介来改造这个” 不良四边形”，于是可以作 AH垂直BD于H ,CG垂直BD于G,面积比转化为高之比.再应用结论：三角形高相同，则面积之比等于底 边之比，得出结果.请老师注意比较两种解法，使学生体会到蝶形定理的优势，从而主观上 愿意掌握并使用蝶形定

25、理解决问题.解法一：: AO:OC =S.abd 解法二：作AH _LBD于H ,:S&DC =1:3, OC=2M3=6,OC:OD=6:3 =2:1 .CG _L BD 于 G ., S.ABD AH =1CG，.二 S&od = Smoc ,33.-1 A0=-C0,0。=2乂3=6,OC:OD=6:3 =2:1 .3C11.如图，平行四边形 ABCD的对角线交于 0点，CEF、OEF、AODF > ABOE的面 积依次是2、4、4和6.求：求 OCF的面积；求 4GCE的面积.答案；根据题意可知， ABCD的面积为2+4+4+6=16,那么ABCO和ACDO的面积

26、都 是16 <2 =8,所以4OCF的面积为84=4;由于ABCO的面积为8, ABOE的面积为6,所以OCE的面积为8 6=2,根据蝶形定理，EG : FG = S coe : S cof =2:4= 1:2,所以 S杏CE ：Sgcf =EG:FG=1:2,那么S GCES.CEFDF:FC=1:2,三角形 DFG的面积为2平方12.如图，长方形 ABCD 中，BE:EC=2:3 , 厘米，求长方形 ABCD的面积.答案；连接AE , FE .因为BE: EC =2:3 , DF:FC=1:2,所以SDEF3 11（） S：方形 ABCD = S：方形 ABCD .5 3 210因为

27、S AED11 1一，=-SK方形 abcd， AG:GF=:=5:1 ,22 10所以S AGD =5SGDF = 10平方厘米,1 -所以SAFD 一 12平万厘米.因为SAFD =一七方形ABCD ,6所以长方形ABCD的面积是72平方厘米.13.如图，正方形ABCD面积为3平方厘米，M是AD边上的中点.求图中阴影部分的面积.答案；因为M是AD边上的中点，所以AM : BC =1: 2 ,根据梯形蝶形定理可以知道Saamg :Saabg : SAmcg : Sabcg =12 :（1父2） :（1父2） :22 =1: 2:2:4,设 SiGM =1 份，则 Sa mcd =1+2=3

28、份，所以正方形的面积为1 +2 +2 +4+3=12份,Sw =2 +2 =4份，所以影: S正方形=1: 3 ,所以S阴影=1平方厘米.14.在下图的正方形 ABCD中, 面积为1平方厘米，那么正方形E是BC边的中点， AE与BD相交于F点，三角形 BEF的 ABCD面积是平方厘米.答案；连接DE ,根据题意可知BE:AD=1:2,2根据蝶形定理得S弟形=（1 + 2） =9 （平方厘米），Sa ecd =3（平方厘米），那么Sabcd =12（平方厘米）.15.已知ABCD是平行四边形，BC:CE=3:2 ,部分的面积是平方厘米.三角形ODE的面积为6平方厘米.则阴影答案；连接AC .BC

29、:CE=3:2,所以 CE:AD=2:3 , 2 _ _ _2_ _：S_aoc ：Sdoe ：S_aod =2 :2 3: 2 3: 3 =4:6:6:9由于ABCD是平行四边形，根据梯形蝶形定理，Scoe所以Saoc =6（平方厘米），Saod =9（平方厘米），S|_ABC = S_ ACD =6+9=15（平方厘米），阴影部分面积为6+15 = 21（平方厘米）.当堂检测1.右图中ABCD是梯形，ABED是平行四边形，已知三角形面积如图所示 （单位：平方厘米）, 阴影部分的面积是平方厘米.答案：连接AE.由于AD与BC是平行的，所以AECD也是梯形，那么S#cd = S#ae .2根据

30、蝶形定理，S#CD 父 S#AE = S#CE 父 S#AD = 4 乂 9 = 36，故 SaCD 3 36，所以SaCD =6（平方厘米）.2.右图中ABCD是梯形，ABED是平行四边形, 阴影部分的面积是平方厘米.已知三角形面积如图所示（单位：平方厘米）,答案：连接AE .由于AD与BC是平行的，所以 AECD也是梯形，那么 SCD = SAE . 根据蝶形定理，SOCD 父 SAE = SOCE * SOAD = 2父8 = 16,故 SOCD = 16 ,所 以S&CD =4（平方厘米）.1 一 1另解：在平行四边形 ABED中，S必de =Sabed =父（16+8） =

31、12（平方厘米），所以 SOE =S&DE -S心OD =12-8 =4（平方厘米），根据蝶形定理，阴影部分的面积为8M 2 + 4=4（平方厘米）.3 .如图，长方形 ABCD被CE、DF分成四块，已知其中 3块的面积分别为2、5、8平方厘 米，那么余下的四边形 OFBC的面积为 平方厘米.答案：连接DE、CF .四边形EDCF为梯形，所以SOD =SFOC ,又根据蝶形定理，S&OD S亦OC =S&OF 'SOD ,所以 S&OD，S占OC = SOF，S唐OD =2父8=16 ,所以 S&OD =4（平方 厘米），S&cd =4+

32、8=12（平方厘米）.那么长方形 ABCD的面积为12M2 = 24平方厘米，四 边形OFBC的面积为24-5-2-8=9（平方厘米）.4 .如图，&ABC是等腰直角三角形，DEFG是正方形，线段 AB与CD相交于K点.已知正方形DEFG的面积48, AK : KB =1:3 ,则 3KD的面积是多少?BEFC答案：由于DEFG是正方形，所以DA与BC平行，那么四边形 ADBC是梯形.在梯形ADBC 中，ABDK和 MCK的面积是相等的.而 AK: KB =1:3 ,所以 MCK的面积是AABC面积 , 11 , 一 一一 一 1的=,那么 坦DK的面积也是 MBC面积的-.13 44

33、由于 MBC是等腰直角三角形，如果过 A作BC的垂线，M为垂足，那么 M是BC的中点， 而且AM =DE ,可见MBM和MCM的面积都等于正方形 DEFG面积的一半，所以AABC 的面积与正方形DEFG的面积相等，为48.1那么 田DK的面积为48父-=12 .45.下图中，四边形ABCD都是边长为1的正方形，E、F、G、H分别是AB , BC , CD,DA的中点，如果左图中阴影部分与右图中阴影部分的面积之比是最简分数口，那么，n(m +n)的值等于.AEB答案：左、右两个图中的阴影部分都是不规则图形，不方便直接求面积，观察发现两个图中 的空白部分面积都比较好求，所以可以先求出空白部分的面积

34、，再求阴影部分的面积.如下图所示，在左图中连接 EG .设AG与DE的交点为M .1左图中AEGD为长万形，可知 MMD的面积为长万形 AEGD面积的-,所以三角形AMD的 42 111 面积为1 M- M=-.又左图中四个空白三角形的面积是相等的，所以左图中阴影部分的面2 4 811积为1 _一父4 =一 .82如上图所示，在右图中连接 AC、EF .设AF、EC的交点为N .可知EF / AC且AC =2EF .那么三角形BEF的面积为三角形 ABC面积的-,所以三角形4BEF的面积为12x1x1 =-,梯形AEFC的面积为1-1=-.2 4 82 8 8在梯形 AEFC中，由于EF :A

35、C=1:2 ,根据梯形蝶 形定理，其四 部分的面 积比为：31112:1父2:1 m2: 22 =1: 2: 2: 4 ,所以三角形 EFN的面积为X=一，那么四边形8 1 2 2 4 24, 111 _ BENF的面积为一十一二一.而右图中四个空白四边形的面积是相等的，所以右图中阴影部 8 24 6，一一一, 11分的面积为1 -1 4 =1 .63那么左图中阴影部分面积与右图中阴影部分面积之比为1：1=3: 2 ,即,2 3n 2那么 m + n =3 +2 =5 .当堂总结家庭作业1.用三种不同的方法，把任意一个三角形分成四个面积相等的三角形.答案:1 一万法 1:如图，将 BC边四等分

36、（BD=DE=EF=FC= BQ，连结 AR AE、AF,则 ABD 4ADE4 AEF、4AFC等积。方法2:如图，先将 BC二等分，分点 D、连结AD,得到两个等积三角形，即 ABD与 ADC 等积.然后取 AC AB中点E、F,并连结DE DF.以而得到四个等积三角形，即4 ADF BDF DCtE ADE等积.A方法3:如图，先将BC四等分，即BD=1 BC,连结AD,再将AD三等分，即AE=EF=FD1 AD, 43连结CE CF,从而得到四个等级的三角形，即4 ABD CDF CEF ACE等积。DE,从而得到三个三角三角形:方法2:如图，先取形： ADE BDE1 ： 3 ： 4

37、.2.用三种不同的方法将任意一个三角形分成三个小三角形，使它们的面积比为及 答案： 方法1 :如图，将BC边八等分，取1 ： 3 ： 4的分点D> E,连结AD AE,从而彳#到4 ABD ADE AEC的面积比为 1 ： 3 ：BC的中点D, ACD其面积比为1 ： 3 ： 4.AB的中点D,连结CD再取CD的四等分点E,连结AE,从而得到三个 ACE 4ADE BCtD 其面积比为 1 ： 3： 4.3.如右图，在梯形ABCM, AC与BD是对角线，其交点O求证：AO*ACO而积相等.答案：证明：. ABC与DBC?底等高， S/ ab(=SaDBC又 S AAOB=S>AABC SaBOCS ADOC=SzDBC- SABOC- Sa aoB=Sa cod4 .如右图，把四边形 ABC改成一个等积的三角形.答案：本题有两点要求，