高三一轮复习专题训练：椭圆、双曲线、抛物线(最新题,12页word)

1、精品文档！值得拥有!珍贵文档！值得收藏!椭圆、双曲线、抛物线、基础知识要记牢圆锥曲线的定义:(1)椭圆:|PFi|十 |PF2|=2a(2a>|FiF2|);(2)双曲线：|PFi|PF2|=2a(2a<|FiF2|);(3)抛物线：|PF|=|PM|,点F不在直线l上，PM，l于M.二、经典例题领悟好例1(1)(2013广东高考)已知Fi(1,0), F2(1,0)是椭圆C的两个焦点，过F2且垂直22x y /B. + 2= 1口£ + %154于x轴的直线交C于A, B两点，且|AB|=3,则C的方程为(x22A.2+y =i22吟+犷(2)(2013江西高考)已知点

2、A(2,0),抛物线C: x2=4y的焦点为F,射线FA与抛物线C相交于点M,与其准线相交于点N,则|FM|： |MN|=()A. 2 ：乖B. 1 ： 2C. 1 ：mD. 1 ： 322解析(1)由题意知椭圆焦点在 x轴上，且c=1,可设C的方程为x2+y= 1(a>1),a a -1由过F2且垂直于x轴的直线被C截得的弦长|AB|=3,知点b，2心在椭圆上，代入椭圆方 程化简得4a4-17a2+4= 0,所以a2=4或a2=:(舍去).故椭圆C的方程为x+y = 1.443(2)如图所示，由抛物线定义知|MH | : |MN|.由于4MHN <ZFOA,曲=OFJJ，|HN|

3、 |OA| 2则 |MH | ： |MN|= 1 ：限即 |MF| : |MN|=1 ： V5.|MF|= |MH |,所以 |MF| : |MN| =答案(1)C (2)C方法技巧.所谓“定型”，就是指确定类型,求解圆锥曲线标准方程的方法是“先定型，后计算”也就是确定椭圆、双曲线、抛物线的焦点所在的坐标轴的位置， 从而设出相应的标准方程的 形式；所谓“计算”，就是指利用待定系数法求出方程中的a2, b2, p的值，最后代入写出椭圆、双曲线、抛物线的标准方程 .三、预测押题不能少1. (1)已知抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标原点O,并且经过点 M(2, yo).若点M到该抛物线焦点的距离为

4、 3,则|OM| =()A. 2也B. 2V3C. 4D. 2乖解析：选B 依题意，设抛物线方程是 y2=2px(p>0),则有2 + p = 3,得p= 2,故抛物线方程是y2=4x,点M的坐标是(2,及，2), OM|= 苗22+8 = 243.(2)已知点 M(3,0), N(3,0), B(1,0),动圆C与直线 MN切于点B,过M, N与圆C相切的两直线相交于点P,则P点的轨迹方程为()A. x2-y-= 1(x>1)B. x2 2=1依>0)81022C. x2-y8- = 1(x>0)D. x210=1(x>1)解析：选A 设过点P的两切线分别与圆切

5、于S, T,则|PM|PN|= (|PS|+ |SM|) (|PT|+ |TN |) = |SM|- |TN|= |BM|- |BN| = 2 = 2a,所以曲线为双曲线的右支且不能与x轴相交，a=1, c= 3,所以b2=8,故P点的轨迹方程为x2-y= 1(x>1).8圆锥曲线的几何性质、基础知识要记牢(1)椭圆、双曲线中，a, b, c之间的关系在椭圆中：a2=b2 + c2,离心率为e= c； a在双曲线中：c2 = a2+b2,离心率为e= ca-x22b(2)双曲线，一b?=1(a>0, b>0)的渐近线方程为y=与工二、经典例题领悟好例2 (1)等轴双曲线C的中

6、心在原点，焦点在 x轴上，C与抛物线y2=16x的准线交 于A, B两点，AB|=4*,则C的实轴长为()A.V2B. 272C. 4D. 82(2)(2013浙江高考)如图，F1，F2是椭圆C1： x4+y2=1与双曲线 C2的公共焦点，A, B分别是Ci,C2在第二、四象限的公共点.若四边形 AF1BF2为矩形，则C2的离心率是()C.2222解析4 得 A( 4,”1:抛物线y2 = 16x的准线为x=4,联立91和x-l6-a2), B( - 4, 一 勺 16- a ),. |AB|= 2y16-a2 =45,，a=2,，2a=4.即C的实轴长为4.(2)由椭圆的定义可知 AF1|+

7、|AF2|=4, |F1F2|=23.因为四边形AF1BF2为矩形，所以 |AF1|2+ |AF2|2=|F1F2|2= 12,所以 2AF1|AF2|= (|AF1|+ |AF2|)2 (|AF1|2+ |AF2|2)= 16-12=4,所以(|AF2| |AF1|)2=|AF1|2+ |AF2|22|AF1| |AF2|=12 4=8,所以 |AF2|一|AF1|= 2/2,因此对于双曲线有 a = V2, c="3,所以C2的离心率e=c= / a 2答案(1)C (2)D方法技巧(1加圆的方程、双曲线的方程、渐近线的方程以及抛物线的方程、准线都是高考的热 点.在解题时，要充分

8、利用条件，构造方程，运用待定系数法求解 (2更椭圆、双曲线的离心率，关键是根据已知条件确定a、b、c的等量关系，然后把 b用a、c代换，求；的值；在双曲线中由于e2= 1+故双曲线的渐近线与离心率密切相关.三、预测押题不能少精品文档！值得拥有!222. (1)已知双曲线 会一上=130, b>0)的一条渐近线被圆C: x2+y26x= 0所截得的弦长等于245,则该双曲线的离心率等于()r3B. 5Cy. 2解析：选B 将圆C的方程配方，得(x3)2+y2=9,则圆心C的坐标为(3,0),半径r=3.双曲线的渐近线方程为y= ±?x,不妨取y=：x,aa即 bxay= 0,因为

9、渐近线被圆截得的弦长等于2邓,所以圆心C到该渐近线的距离d=曰面=付 =2.又由点到直线的距离公式，可得|3b|d= f = 2,a2 + b2整理得 9b2=4(a2+b2),所以 5b2 = 4a： 所以 b2=4a2= ca, 即 9a2=c2.55所以e即e=f(2)如图，椭圆的中心在坐标原点O,顶点分别是Ai, A2, Bi, B2,焦点分别为F1, F2,延长B1F2与A2B2交于P点，若/ B1PA2为钝角，则此椭圆的离心率的取值范围为()A5+1?4 JB.51CaD.22解析：选D设椭圆的方程为x2+y21(a>b>0). /B1PA2为钝角可转化为 B2A2 ,

10、 F2B1所夹的角为钝角，则(a, - b) (-c, b)<0,得b2<ac,故+： 1>°，即e2+e-1>0,北1 ,-V5- 1泌 Te>_2或 e< 2.又 0<e<1，-2<e<1.(3)如图所示是抛物线形拱桥，当水面在 l时，拱顶离水面2 m,水面宽4 m.水位下降1 m后，水面宽 m.解析：建立如图所示的平面直角坐标系，设抛物线方程为x2=2py(p>0),则A(2, -2),将其坐标代入x2=- 2py,得 p= 1.故 x2= - 2y.当水面下降1 m,得D(x。，一 3)(xo>0),将其

11、坐标代入 x2= 2y,得x0=6,则xo=q6.所以水面宽|CD|= 2 6 m.答案：2 6一、经典例题领悟好直线与圆锥曲线珍贵文档！值得收藏!22例3 (2013天津高考)设椭圆S+nMaAb。)的左焦点为F， a b且与x轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为4.33(1)求椭圆的方程；(2)设A, B分别为椭圆的左、右顶点，过点F且斜率为k的直线与椭圆交于 C, D两点.若T 1 一 TAC DB + AD CB = 8,求 k 的值.c,代入椭圆方程有2*= 1,解得解(1)设F(-c,0),由：=亭，知a=43c.过点F且与x轴垂直的直线的方程为 x=-,6b 2 ,'6b 4

12、,3 丘“口_2y=气",于是解得b= V2,又a333 c2= b2,从而 a = V3, c= 1,22所以椭圆的方程为+=1.32y= k(x+ 1 )22x VI=1, 32(2)设点C(x1，y1)，D(x2, y2),由F(1,0)得直线 CD的方程为y=k(x+1),由方程组消去 y,整理得(2+3k2)x2 + 6k2x+3k26=0.6k23k 6 一 .由根与系数的关系可得x + x2=2, x1x2 =2.因为A(一43, 0), B(V3, 0),2+3k2+3k所以ACDB + AD CB=(x1 + g, y1)(V3x2, y2)+(x2+V3, y2)

13、(V3x1，一 y1)=6 2xix2 2yiy22=6- 2xix2 2k (xi + 1)(x2+ 1) 22_ 2= 6(2+ 2k )x1x2 2k (xi + X2) 2k2k2+12=6+2.2+3k2k2+12.由已知得6+2-=8,解得k=班.2+ 3k方法技巧在涉及直线与圆锥曲线的两个交点坐标时，一般不是求出这两个点的坐标，而是设出这两个点的坐标，根据直线方程和曲线方程联立后所得方程根的情况，使用根与系数的关系进行整体代入，这种设而不求的思想是解析几何中处理直线和圆锥曲线相交问题的最基本方 法.二、预测押题不能少3,已知椭圆M: +七=1(a>b>0)的离心率为

14、(2)不妨设BC的万程为y=n(x- 3)(n>0),则AC的万程为y=- n(x-3).g,且椭圆上一点与椭圆的两个焦点构 a b3成的三角形的周长为 6+4.2.(1)求椭圆M的方程；(2)设直线l与椭圆M交于A, B两点，且以AB为直径的圆过椭圆的右顶点C,求 ABC面积的最大值.解：(1)由题意可知2a+ 2c=6+46，又椭圆的离心率为 平,即& =平，3 a 3所以a= 3, c= 2版.于是b= 1,椭圆M的方程为 + y2= 1.y=n(x 3 ), 由r yj得+ n212-6n2x+9n2-1 = 0,9设 A(x，y1), B(x2, y2),因为3x2 =

15、81n299n2 + 127n2 3x2 9n2+1，273n2同理可得xi=2",9+n所以 BC|=41 + n26八6n22 2, 9+ n-1 -SABC = 2|BC| |AC =2, 十。；.n1 ' 64'n+Q + 6设1=门+!> 2,则S ZABC=tTT=T<|,当且仅当t=5时等号成立，所以 ABC面nt2十64 t+的 8，3 3积的最大值为3.8阳握命题角度，体现命旗鬲度，拉分题一分分必抢圆锥曲线与解三角形的交汇圆锥曲线与方程是解析几何的核心组成部分，是高考重点考查的内容，且所占分值较大，高考中有时与平面向量、解三角形、不等式等

16、知识交汇命题，考查学生解决综合问题的能力.一、经典例题领悟好例设Fl, F2是双曲线C： x2-y2= 1(a>0, b>0)的两个焦点，P是C上一点.若|PFi| a b十 |PF2|=6a,且 PF1F2的最小内角为 30°,则C的离心率为 .学审题一一审条件之审视结构双曲线定义一,十一余弦定理 一 心、后 4，Cq,+|PFi|十|PF2|=6a>求出|PFi|和|PF2|>关于a、c的万程一>求出一的值.a用“思想”一一尝试用“方程思想”解题设点P在双曲线右支上，Fi为左焦点，F2为右焦点，则|PFi|PF2|=2a.又|PFi|十 |PF2|=

17、6a, .|PF1|=4a, |PF2|=2a.;在双曲线中c>a,在ZPF1F2中|PF2|所对的角最小且为 30:在APF1F2 中，由余弦定理得 |PF22= |PFi|2+|FiF2|2 2|PFi|FiF21cos 30 , °即 4a2= 16a2 +4c2 8*ac,即 3a2+c22/ac= 0；.(次2c)2=0, ，c= 73a,即：=73.e=/答案,3方法技巧(1卢题求离心率的方法，利用余弦定理建立关于参数 心率的值.求出e的值要注意验证是否符合条件 .a, c的方程，通过解方程求出离2"与圆锥曲线有关问题中应用方程思想的常见题目类型：求a,

18、b, c, e的值经常利用方程的思想，解方程即可求得;求圆锥曲线方程常常转化为求相关系数的值二、预测押题不能少2设F1, F2分别是椭圆之十 a23=1(a>b>0)的左、右焦点，若在直线x=a上存在点 P,使 c线段PF1的中垂线过点F2,则此椭圆离心率的取值范围是解析：设p, y !, F1P的中点Q的坐标为 吃，%,cy若 yw。，则 kF1P=c,cy kQF2=b2由 kFF kQF2= 1,得 y(a2+c2pc2-b2)14>0,若 b22c2w0,则 2c2 b2>0,即 3c2- a2>0,即 e2>1,故乎<e<1.33若y=

19、0,即b22c2=0时，kQF2不存在，F2为FF的中点，且a2口 3T-c= 2c,彳导e=茎 c3综上，得事 e<1,即所求椭圆离心率的范围是潦，1,；答案:惇,1)睢郭&同传喇1.与椭圆C：22y6+含=1共焦点且过点(1,出)的双曲线的标准方程为()2A - x2-七=1Cy-x2=122B. y22x2=1D.y-x2 = 13A . y2= 4x 或 y2= 8xC . y2= 4x 或 y2= 16x解析：选C 由已知得抛物线的焦点由 |MF|=5 得,p 2 “2; +16=5,222解析：选C 椭圆y6 +器=1的焦点坐标为（0, -2）, （0,2）.设双曲线

20、的标准方程为 c3 1 ,x8. 即 y°8yO+16= 0,因而 y°=4, M . , 4 . p 一 = 1 ,=1（m>0, n>0）,则 5m n 解得 m=n=2. nm+ n= 4,2. （2013北京高考）双曲线x2 （=1的离心率大于 <2的充分必要条件是（）一 1一、，A . m>2B. m> 1C. m>1D. m>2解析：选C依题意，e= c, e2=c2>2,得1 + m>2,所以m>1. a'a3. （2013天津高考）已知双曲线 之一1（a>0, b>0）的两条渐近

21、线与抛物线y2=2px（pa b>0）的准线分别交于 A, B两点，O为坐标原点.若双曲线的离心率为 2, AAOB的面积为 g则 p=（）一3A. 1B.2C. 2D. 3解析：选C 因为双曲线的离心率 e=a = 2,所以b = V3a,所以双曲线的渐近线方程为y= 1bx= ±73x，与抛物线的准线x= p相交于A1 2,乎p I； B1一p,呼p j,所以AAOB的面积为2x 2xA/3p=A/3,又p>0,所以p=2.4. （2013新课标全国卷n ）设抛物线C: y2=2px（p>0）的焦点为F,点M在C上，|MF|=5.若以MF为直径的圆过点（0,2）

22、,则C的方程为（）B . y2 = 2x 或 y2= 8xD. y2= 2x 或 y2= 16xF Ip, 0 !,设点A(0,2),抛物线上点 M(x°, y°),则位八T溢. T AF =5，-2 j； AM =东，y。一2 j由已知得， af AM =0,又p>0,解得p=2或p=8.22i5. （2013荆州质量检查）若椭圆 %*= 1（a>b>0）的离心率e=2,右焦点为F（c,0）,方程 ax2 + 2bx+c= 0的两个实数根分别是 和X2,则点P（x1，x2）到原点的距离为（）A. 2B.27C. 2D.74解析：选 A 因为 e= c=

23、1,所以 a=2c.由 a2=b2+c2,彳#-=3, xi+x2=生=J3, a 2a 2a ,xix2=a=2,点 P(xi, x2)到原点(0,0)的距离 d =，x2 + x = <(xi + x22xix2 = f2.6. （2013海淀模拟）抛物线y2=4x的焦点为F,点P（x, y）为该抛物线上的动点，又点IPFIA（- i,0）,则的最小值是（）1PAiiA.2C.D.2； 33解析：选B 依题意知x>0,焦点 F(1,0),则 |PF|=x+1, |PA| = y(x+1 2 + y2 =1+*71+篇 S 当叱x+ 1 2+4x.当 x= 0 时，篱=1;当 x

24、>0 时，1<|PPA| 且仅当x= 1时取等号）.因此当x>0时，IwJPAwq2，乎WPA|W1,黑的最小值是兴. |PF |2 |PA |PA|27. （2013济南模拟）已知抛物线y2=4x的焦点F恰好是双曲线 卞，=i（a>0, b>0）的右 顶点，且双曲线的渐近线方程为y= A/3x,则双曲线方程为 .解析：抛物线的焦点坐标为（1,0）,故在双曲线中a=1,由双曲线的渐近线方程为y=上ax=W3x,可得b= V3,故所求的双曲线方程为x2-y=1.3答案：x2-y-= i38. （2013北京顺义一模）在平面直角坐标系 xOy中，设抛物线y2=4x的焦

25、点为F,准线 为l,P为抛物线上一点，PAL l, A为垂足.如果直线AF的倾斜角为120°,那么|PF| =.解析：抛物线的焦点坐标为F（1,0）,准线方程为x= 1.因为直线AF的倾斜角为120°,所以/AFO = 60；又 tan 60 =,所以 yA=2V3.因为 PA_Ll,所以 yP= yA= 203,代1-(-1)、2入 y =4x,得 xa= 3,所以 |PF|= |FA|= 3-(-i)= 4.答案：49. 在平面直角坐标系 xOy中，椭圆C的中心为原点，焦点 Fi, F2在x轴上，离心率为.过Fi的直线l交C于A, B两点，且 ABF2的周长为16,那么

26、C的方程为解析：设椭圆方程为"十卷=i(a>b>0),因为AB过Fi且A, B在椭圆上，如图,则AABF2 的周长为 |AB|十|AF2|十|BF2|= |AFi|十|AF2|十|BFi|十|BF2|=4a= 16,解得 a=4.又离心率e=a=2，故c= 2M2.22所以b2=a2-c2=8,所以椭圆C的方程为熹+y=i.16 822答案：x+8 = i22i0.设椭圆C: + ,= i(a>b>0)过点(0,4),离心率为5.求C的方程;(2)求过点(3,0)且斜率为4的直线被C所截线段的中点坐标.5解：(i)将(0,4)代入C的方程得 谭=1，解得b=4

27、.一 c 3 -2-29-i6 9又 e=a= 5,倚 a2 = 25,即1一7=25,22则a = 5.所以C的方程为盒+匹，.一 一4 4(2)过点(3,0)且斜率为5的直线万程为y= 5(x- 3).设直线与C的交点为A(xi, yi), B(X2, y2),4，、一将直线方程y=£x3)代入C的方程,5 2 (x-3 2 口. 2得豆+ ” -=i,即 x2-3x-8=0,所以 xi+x2=3.2525_ X1 + X2 3设AB的中点坐标为（x, y）,则*=2 = 5,y1 + y22,6y = -2- = 5(xi + x2-6) = - 5,即中点坐标为i3, - 5

28、 /.11. (2013合肥市质量检测)已知抛物线 C: y2=2px(p>0)的焦点为F,抛物线C与直线 11: y= x的一个交点的横坐标为 8.(1)求抛物线C的方程；(2)不过原点的直线12与11垂直，且与抛物线交于不同的两点A, B,若线段AB的中点为P,且OP|= |PB|,求 FAB的面积.解：(1)易知直线与抛物线的交点坐标为(8, 8),8 , ，,一 x12. (2013郑州质量预测)已知椭圆C: T2+a=2pX8,，2p=8,抛物线方程为 y2= 8x.(2)直线12与11垂直，故可设12： x=y+ m, A(x1, y1)，B(x2,且直线12与x轴的交点为 M.由;得 y28y8m=0,x=