解析函数和调和函数的关系

1、§2.2解析函数和调和函数的关系教学目的：弄清调和函数与共轲调和函数的概念，能理解并掌握解 析函数与调和函数的关系；并能灵活利用常用得三种方法 (不定积分法、偏积分法、曲线积分法)求以调和函数为实 部或虚部的解析函数.重点：不定积分法和偏积分法求解析函数.难点：曲线积分法求解析函数.教学方法：启发式讲授与指导练习相结合教学过程：§ 2.2.1 和函数的概念调和函数是有着广泛实际应用的一类函数(平面静电场中的电位函数、无源无旋的平面流速场中的势函数与流函数都是特殊的二 元实函数，即调和函数)，它与解析函数有着密切的联系.本节，我们将详细地介绍解析函数与调和函数的关系，并介绍利

2、用调和函数 来求解析函数的若干方法.【定义2.3若二元实函数H (x , y)在区域D内具有二阶连续的偏导数，且满足二维拉普拉斯方程(.、F2H 1H 八Laplace) 2-+2- =。， 二 x二 y34则称H (x,y)为D内的调和函数(或称H (x,y)在D内调和)，称为拉普拉斯算子【定理2.3 若函数f (z)=u(x,y)+iv(x,y)在区域D内解析，则f (z )的实部u(x , y )和虚部v (x , y )都是D内的调和函数证f (z)在区域D内解析，所以u(x,y ) , v(x,y )在D内可微,且在D内满足C-R方程,由解析函数的无穷.X可微性知u(x, y )和v

3、 (x , y)在D内都具有任意阶连续的偏导数从而也具有二阶连续的偏导数一 2一 2一 2一 2二 u二 v二 u二 v-2- 2;x : y 二x : y二x 二y所以-2二 u-2-2二 V:x .:y-2二 V c+=0;.:y ：:x同理可证-2-2:x-2二 V C2 =0.二 y故实部u(x, y )和虚部v (x , y )都是D内的调和函数§ 2.2.2 轲调和函数【义2.4】若u(x,y),v(x,y)都是区域D内的调和函数，且在D 内满足柯西一黎曼方程，即 = , -,则称二 x二 y二 y二 xv (x , y )为u (x, y )的共轲调和函数.下面研究复变

4、函数的实部、虚部两个二元实函数与调和函数的关系【定理2.4 若函数f (z) =u(x ,y ) +iv (x, y )在区域D内解析的充要条件是 在D内f (z )的虚部函数v (x , y )是实部函数u (x , y )的共轲调和函数.证明(必要性)因为f (z) = u(x, y ) + iv (x , y )在D内解析， u (x , y )和v (x, y )都是D内的调和函数，且满足柯西一黎曼条件 所以 在D内f (z)的虚部函数v (x , y )是实部函数u (x , y )的共轲调和函数.(充分性)在D内f (z )的虚部函数v (x , y )是实部函数u (x , y

5、)的共轲调和函数.所以v(x,y), u(x , y )具有二阶连续偏导数且满足 C-R方程所以v(x,y), u(x,y)具有一阶连续偏导数且满足 C-R方程故f (z) =u (x , y ) +iv (x , y )在区域D内解析.注：10.由解析函数的无穷可微性知，若函数f (z ) =u (x, y )+ iv (x, y )在区域 D内解析，则f (z)的任意阶导数在区域D内也解析，从而u (x , y )和v (x, y )的任意阶偏导数也都是 D内的调和函数.20.两个二元实函数u (x, y )和v (x , y)都是区域 D内的调和函数，不一定能保证复函数 f (z)=u(

6、x,y)+iv(x,y)在区域D内解析.20的反例：易证u (x, y ) = x , v (x, y ) = -y都是平面上的调和函数但f (z) =x -iy =z在平面上处处不解析.30.由第二章的解析函数的判别法知，设u(x , y )和v (x , y )都是定义在区域D内的二元实函数，若v (x, y )为u(x, y )的共轲调和函数，则 f (z) =u(x , y ) +iv (x , y )在 D 内一定解析提问：1 .函数f (z) =u(x, y)+iv(x, y)解析，则下列命题中错误的是(C )A、u,v均为调和函数B 、v是u的共轲调和函数C u是v的共轲调和函数

7、D、-u是v的共轲调和函数2 .解析函数的实部是其虚部的共轲调和函数.(X )3 .解析函数的虚部是其实部的共轲调和函数.(，)§ 2.2.3解析函数与调和函数的关系根据定理2.4来建立单连通区域内解析函数的一种求法.假设D是一个单连通区域，u(x , y )是D内的一个调和函数，_2_2即u(x,y)在D内具有二阶连续的偏导数，并且£4+£4 = 0二 x二 y从而£u_, £u在d内具有一阶连续的偏导数7 次(-)=()(曲线积分与路径无关的条件).ycy二 x :x再由高数中有关曲线积分与路径无关的条件得，存在D内的二元函数 v(x,y)

8、,使得 dv(x,y ) = -dx +dy , 二 y 二 x(x,y).：u.：u,于 v(x,y) =-dx +dy +C，其中(x0,y0)是(x0，y0) cyexD内的一个定点，(x,y)是D内的一个动点，C是任意实常数另外我们还有 =,=-,即u(x,y)和v(x,y)在D内满足柯西一:x fy ：:y：:x_2_2黎曼条件，从而易得 名+£v-2-2二 u 二 uc二 0jy fxfx fy所以v(x,y )也是D内的调和函数,并且v (x , y )为u (x , y )的共；xjy轲调和函数.故 由定理2.4,我们构造函数f (z) =u (x , y )+iv

9、(x , y ), f(z)就是D内以u(x,y)为实部的解析函数.【定理】(1)若u(x,y)是单连通区域 D内的一个调和函数，则定存在函数v(x,y ),使彳导f (z) =u (x , y )+iv (x ,y )为D内的解析函数，并且还有v(x,y )=广，"-dx +dy+C , (xo,y0) 二 y；x其中(x0,y0)是D内的一个定点，(x,y)是D内的一个动点，C是任意实常数.(2)同理可得 若v (x ,y )是单连通区域 D内的一个调和函数，则一定存在函数u (x , y ),使得 f (z) = u (x , y) + iv (x , y )为D内的解析函数，

10、并且还有u(x,y) =")gvdx -fv-dy +C ,其中.(x0,y0)-y二 x(xo,yo)是D内的一个定点,(x,y)是D内的一个动点,C是任意实常数.注：此定理给出了已知解析函数的实部(或虚部),求虚部(或实部),从而求出解析函数的一种方法一一曲线积分法由解析函数的实部或虚部求解析函数的举例例1证明u(x ,y ) =x3-3xy 2是平面上的调和函数,并求以u(x,y)为实部的解析函数f (z ),使得f (0) =i .证明： 因为的 22 2UcC2UC2U=3x 3y , = -6xy , 2 = 6x , 2 = -6x ,.x2y：:xcy3_2u(x,y

11、)=x -3xy为正式函数，所以有二阶连续偏导数，-2-2：U 二 U32所以 一-2=0， 即u(x,y)=x -3xy 是平面上的调和 :x二 y函数.下面，我们用三种方法来求满足题设条件的解析函数方法1:(曲线积分法)由补充定理知取(x0,yo) =(0,0),(如图 3.20)”,(x,y)tu为v(x,y) = -dx + dy +C”(0，0)勾ox(x,y)22*=I。,。)6xydx+(3x -3y)dy+C TeTmxy 22=(6x 0dx + J0(3x -3y )dy +C=3x2 y - y3 C所以 f (z ) = x3 -3xy 2 i (3x 2y - y 3

12、 C ),再由条件f (0) = i ,可得C =1.故 f (z) = x3 -3xy 2 i (3x2y -y 3 1)=z3 i方法2 (微分方程中的常数变异法或称偏积分法)由 CR 条件得 = =3x2 -3y2(I )；:y ；:x.:vFu=-=_(-6xy ) = 6xy ( 口 ).:x；:y由(i )积分得 v(x, y) = J(3x2 -3y2)dy= 3x2y y3 +*(x)(m )求(出)对x的偏导数代入(n )得6xy十9'(x)=6xy ,即叫x) =0, 所以5(x)=C (常数)，从而 v(x,y) =3x2y - y 3 C ,所求解析函数为f (

13、z) =x3 -3xy 2 - i (3x2y -y 3 C).再由条件f (0) =i ,可得C =1.故 f (z) = x3 - 3xy 2 i (3x 2 y - y 3 1) = z 3 i,. C.R. 方法3(不定积分法)：f'(z)=£u+i里 =三一i£u,exexex二 y1 1其中 x = _(z z), y 二一(z -z)2 2iu c 2 c 20 u因为=3x -3y ,=-6xy ,:xjy. C.R. .由解析函数的导数公式：f '(Z)=£u+i £v = £ui £u得；x；:x

14、：:x：:yu . fuf二-ix二 y_2_2_2_2_=3x2 -3y2 -i(-6xy) =3x2 -3y2 i6xy1 1将x =(z +z), y =一(z -z)代入上式整理得 22if '(z) = 3x 2 -3y 2 +i 6xy = 3z2 ,所以 f (z ) = z3 +C再由条件f (0) = i ,可得C=i.故f(z)=z3+i.说明：从例1中所给的三种方法中，大家不难体会到，三种方法各有特点：方法1利用了高数中的第二型曲线积分的计算方法；方法2利用了求解微分方程的方法(常数变异法)；方法3是纯粹的复变函数的方法.在实际计算时可以根据具体的问题选择合适的方

15、法计算.例2设f (z) =u(x, y +iv(x, 丫)为z = x + iy的解析函数，且已知u(x, y) v(x, y) =x + y ,求函数 f(z).解：方程u(x, y)v(x, y) =x + y两边分别对x, y求偏导数得： UXVX=1CE方程 Ux Uy =1 l ux 04= S=4，Uy -Vy =1-Ux Uy =1Uy =1由 Ux=0 得：U(x,y)=g(y)代入 Uy=1 得：g'(y)=1, g(y)=y+c(C为任意常数)从而 u(x, y) = y +C , v(x, y) =u(x, y) (x + y) = x +C , 所求函数为：f

16、 (z) = u iv = y C i(-x C) = -iz (1 i )C 练习：(1)已知调和函数u =2(x1)y, f (2) =i ,求解析函数f (z) = u iv .解：用不定积分法求解如下：ux=2y, Uy=2x 2,f (z尸Ux -iUy 2 -i (x2-2)- i Z2-(f (z) = -2i(z -1)dz = 2i - (z -1)2 C = -i(z-1)2 C 2由 f(2)=-i 得i(2 1)2+C =i , C = 0, 所以：f (z) - -i(z -1)2(2)已知f(z)=u+ 2yi 2是解析函数,且f (2) =0,求f (z). x

17、y22解.7 证明因为且=_J,更 22:xx y二 y _y 72xy解, ux -vy 2 , 22，Uy - vx _ 2 , 2、2(x y )(x y )对此，用偏积分求 u比较方便:,xxdy2, 、 x ,、u = Uydy g(x) = 2-2 - g(x) = -_2 g(x)(x y )x y将积分结果求对x的偏导数得 u(x, y) = - 2 x 2+g (x) ， x yUx 二-122x y2x ,、一r g (x), g(x) =0,g(x)(x y )所以xyif (z)=- -22 c 2 x y x y1111f(2)=-一+c= 0得 c = , f (z

18、)=-.222 z例3 证明v(x,y ) =arctany ( x >0)在右半平面内是调和函数 x二2：一 v 2xy-_2 _ /22.2x (x y )F2y _-2xy2 /22.2-y (x y )并求以此为虚部的解析函数 .2.2-v 二 v 从而一2 ' 2 = 0 ,22x y故v(x,y ) =arctany 是右半平面内的调和函数下面用方法2(微分方程中的常数变异法)来求解析函数的实部u(x, y).I)由 CR 条件得 uL = vL= 2x 2 (二 x二 yx y.:u:x:yyy2n)， 一1 o o由()得u(x ,y ) =ln(x +y )+(

19、y)2代入(n)得 2y 2 +勺(y)= 2y 2，即/y) = 0,2222x yx y从而 中(y)=C(常数)，u(x , y )=1ln(x 2+y 2)+C .2故 所求解析函数为 f (z) = 1ln(x 2+y 2)+C +i arctan 2x(x >0) =ln z +C 十i argz =lnz +C ( Rez >0).例4已知调和函数 v =ex(ycosy+xsin y)+x + y ,求一个解析函数 f (z) =u +iv 使 f (0) =0.解(不定积分法)因为 且=ex(ycosy+ xsin y+sin y)+1 , 二 x =ex(cos

20、 y -y sin y xcosy) 1 yu . ：v C.R. ：v . ：v所以 f(z)= i 一 二 一 i二 x二 x二 y二 x=ex (cos y y sin y X cos y) 1iex( y cos y xsin y sin y) 1= zez +ez +1 +i ,积分得 f (z) = zez+(1+i)z+C ,由 f(0)=0得C=0,故 f (z) = zez ez 1 i.例5已知调和函数u = x2 - y2 +xy ,求一个解析函数 f (z) = u +iv使f (i) = 一1 + i .解包= 2x+y,，=2y+x:x：yu二v C.R . u :

21、 u=f (z)=+i=-i=2x + y+i(2yx) = 2z iz , :x：:x：:x：:y1 2.一 i积分得 f (z) = (2 i)z2+C ,由 f(i) = 1+"HC=一,2 2故 f (z) = 1 - - z2 -.22练习： 已知 u+v = (x-y)(x2+4xy + y2) - 2(x + y),试确定解 析函数f (z ) =u iv .r, 9.9.,、.一.、 一ux +vx =(x +4xy+ y ) +(x-y)(2x + 4y) -2解：uy+vy =(x2+4xy+ y2)+(x y)(4x + 2y)2Ux =Vx ,Uy =V|Vx

22、 =6xy-_ 2_ 2_jVy 3x - 3 y - 2一 . V V 222= f (z)=+i=3x -3y 2+i6xy=3z 2, 二 yex3积分得f(z)=z -2z，C.例6若f (z ) =u +iv为解析函数，且满足 8u+9v = 2003,试证：f(z)必为常数.解 对8u +9v =2003分另1J求对x, y的导数得8ux 9vx =08uy 9vy =0 =C -西程产Ux =Uy =0vx =vy =0二«u C1 3 f (z) =C (常数) v =C2例7求调和函数®(x, y) =xy的共轲调和函数提示设解析函数f (z) = (x,

23、 y) iv(x, y) , vx(x, y) =x,vy(x, y) = x = y2v(x,y)=型xdy =1ydy =±+g(x), 22 x Vx(x, y)= g (x):-x = - y= g(x) = c 2199故 (x, y)=xy 的共轲倜和函数 v(x, y)= (y x )+c.222x例8 证明：函数u=x - y ,v=都是调和函数，但 x2y2f (z) =u +iv不是解析函数.证明：= ux = 2x, u =-2yuxx=2,Uvv =-2,xyxxyy22x -y-2xyvx 二, vv 二x2 y2 2 yx2 y2 22y3-2y3v 二v

24、 二xx x2 y22，yyx2y2 2uxx u yy = 0vxx vyy =0即U是复平面上的调和函数，V除原点外在复平面上调和。但Ux =Vy ,Uy #Vx,即不满足C-R方程，故f(z)=u + iv不是解 析函数.练习.求调和函数*(x,y) =2(x -1)y的共轲调和函数.例9 已知f (z ) =u +iv是一个解析函数，试证明 if(Z)也是解 析函数.证因为f (z) =u +iv是解析函数，所以 -u是v的共轲调和函数.又因为i f (z) =i(uiv) =v+iu = viu ,故 i f (z)也是解析函数.练习：1 .验证下列函数u = u(x ,y )是调和

25、函数，并求出满足指定条件的解析函数f (z) =u ivu =x -i 21f (z) =z i .22+xy -y2,且 f(i) = -1+i ；(2)u =e:y (x cosy y sin y),且 f(1)=e.证明(1) 因为.：u.:u一二x:y-2u o-2y，=2,二 x.2u2 =2 cy2 一+xy - y是平面上的倜和函数 .2.2 u二u所以一7 - 2-2由解析函数的导数公式f (z):：u . v C.R. ：:u 一i 一 二一:x Fx ：:x-i 得二 yf (z)二卫一i.x ；:y二2xy -i (x -2y )1 1代入上式整理得二-(z z), y

26、= (z -z)2 2i(z) =2x y -i (x -2y ) = (2 -i )z2 - i 2 _ _所以f (z)=2Lz2 +C ,又 f (i ) = -1+i ,得C2(2)因为=ex(x +1)cos y y sin y, jx ：u xr =e (x 1)sin y -y cosy ,:y.2二 U xr 2 =e (x 2)cos y -y sin y ,.:xUu 2 =ex-(x2)cosy y sin y , :y-2-2u ux /所以2+2=0, 即 u =e (x cosy -y sin y )是平面:x cy上的调和函数.由柯西一黎曼条件得-：v：u x.=

27、e (x +1)cos y -y sin y ( I ).:y；:x.:v.:ux,、=一=-e -(x +1)sin y -y cosy ( n ).xt y由(i )得 v (x , y) =exxsin y +y cosy +9(x) 代入(n)得ex (x 1)sin y y cosy ： (x ) - -ex -(x 1)sin y - y cos y ,即"(x) =0,从而中(x)=C (常数),v(x,y) =exx sin y +y cosy +C ,所求解析函数为f (z):ex (x cosy y sin y) i (exx sin y y cosy C ).再

28、由条件f (1)=e，可得C =0.故 f (z) =ex (x cosy -y sin y ) iexx sin y y cosy .2.若函数f (z) =u +iv在区域D内解析，则(;x222)f (z) =4f '(z).证明因为 f (z)|2 =u2 +v 2-2(；：x：u 2 1. V 2： V 2f (z) =(一)2 ( 一)2 =(一)2二 x二 x二 y_2_2_2_2=2u*咨2v梏 /:x二 y二 x 二 y；:u 2 v 2；:u 2.:v 22(一)() 2()(一)二 x :x t y cy而f (z) =u +iv在区域D内解析，所以u和v都是区域

29、D内的调和-2-2-2.2 u 二 u- V 二 v c函数，即 一2 +一尸=0,一2+一2=0-2-22-2x二y二xcy-：u:yp.:uV又 f (z)=i 二 x:X2_2(2-T) f(z)=:x二 y2(包)2 +(当2 +2(当2 +(当2 =4|。 二 x二 x二 y:4.设f (z)=u +iv在复平面上解析,并且满足22. 一u +v =(x -y )(x +4xy +y ) -2(x + y ),试求 f (z) = u +iv的表达式.解由题设条件得-：UV 22 =(x 4xy y )-2 (x - y )(2x 4y).xFx(1).：U:V22二 一(x4xy

30、y ) 2 (x y )(4x 2y)-:yy(2)又由柯西一黎曼条件得.:v；:u；:v；:u(3)= =- :y仅：:x：:y-:u 22、 c -：v7-=3(x -y ) -2,- =6xy-x:x由解析函数的导数公式：f'(z)=£u+i£v 得 二 x：xf (z) =3(x 2 -y 2) -2 6xyi-1-将 x (z z),2y =一(z -z)代入整理得 2if (z) =3z2 -2故 f (z) =z3 -2z C .作业讲评：P532.6试证卞西一黎曼方程的极坐标形式为.u 1 ; v v 1 1 u一才 r r r .1r fu . ；

31、:v1 .；:uf (z) =一( i ) =一(- i ).z 二r二r z ：1.1x = r cos?证由于，所以y = rsin 二I ；u 二 u :x二 u 二 y二 uu二一二cos 1 - sin 1二r:x 二r二y 二rex二 y二 vcvexv二 yv.二vr二一一r一-二一一rsin 71 -r cos71C -R方程_包_ ：u-x：u:x.y：ux：ycos - -u sin ：:yr cos - - rsin -二 yLL|L/ L一N二u ：山 1 0 vK - r '-I-.:rfr r F_旦2+贝鱼=acos”更sine严er对_erexcy包 1

32、包改-rrna cyu十 1=rsin 0+ T cos 日演c0火用ex勾-:vN v > . r=cos1 sin 1.:r:xc9.xyr Ar cos 一 一 r sin：:y：U=la：Yfr1 Fur 7Vr二 Vxcos 二 Uycos 二 vysin 二sin 二CR方程 ux =ur cosi vr sin 1XII二« ,1r1rvx = vr cos? - ur sin 二二vf (z)=1 = ur cos? vr sin1' i(vr cos:x：x(ur vr) r ：:u：:v二 (UrVr)(cos-isin=(cos.,sin.)-(-

33、 i-)-u -1 - -Ux r sin - - Vx r cos - V? - ux r cos? - vy r sin i1.ux = -(-u-i sin 二 q cos) rvx = 一工(u： cosv： sin)'u1 fv fv由=,=.rr 二口 .rr fuVf (z) =-( i z 二 r二 r1代入上述求得的导数公式得r 二r 1 ；:v i ：:u1 :vfu=()=-(-i -)-z r 二口 r 二1z ：二:二另求(方法不好，麻烦)-：u：:vf (z)二一i 一二 x二 x1. i .二一(一u sin V cos -) 一一 cos - V sin

34、 -)rr二-u (cos - -sin1) 1 v(cos - -sin -) = - (V T u).r 'r 'z ： . rP532.1 1证明：一对共轲调和函数的乘积为调和函数证 设中(x, y)是平(x, y)的共轲调和函数，则甲(x, y),中(x, y)具有二阶连续偏导数又设H (x, y)=邛甲，则H (x, y)=53有二阶连续偏导数，且Hx(x,y) =：x= Hxx (x,y)= 2 ：xx J x xxx同理可求Hyyx, y) = : 2''二；'二 y所以Hxx (x, y) Hyy (x,y)h器;:h +2：d ，二.，

35、_： D, 2- -J :xx / xxxx yy/ yyyy；：.+q、一 )Y二+2 D .xx yyxx yy/xxyy- , , x ：y y x=2(x y) = = - 0.故结论成立.P532.10设v=epxsiny,求p的值，使v为调和函数，并求出解析函数f (z) = u iv .解 v =epxsin y = x vy_ _ px _ . _=pe sin ypx=e cosy2 px ._Vxx = p e sin y'»pxVyy = -e sin yP - -1vxxvyy =0= p2epxsin y-epxsin y =0二所以 p=±

36、;1时，v为调和函数.px _ px _f (z) =Vy iVx =e cosy ipe sin y当p=1时，f (z) = vy 1vx = ex cosy iex sin y = ez = f (z) = ez c.当 p = 1时，f (z) = vy ivx = e' cosy -ie* sin y = e" : f (z) = -e" c.小结：已知调和函数u(x, y) ,v(x, y),求解析函数f(z)=u+iv的常用方法又三种：偏积分法(常数变异法)，第二型曲线积分 法，不定积分法.一般情况下用不定积分法较为简单.易犯错误：求解析函数的方法不得当，运算错误多.讲评作业讲评 P301.14试将函数 x2-y2-i(xyx)写成z的函数(其中z = x + iy ).解 x2 -V T (xy。x) = z2。3i xy ixc2- 2-2 z z z -z . z z z - 3(z) z z.二 z 3ii二1 .2 2i 242az bP522.3(2)确定函数f(z)=(c,d至少有一个不为零).cz ddad -bc(cz d)2.且斛 当c#0时，由cz+d=0= z = 为函数的奇点.解析区域为 c除点z =