解三角形题型

1、目录第一部分：解三角形基础1.1 正弦余弦定理1.1.1 以正弦定理主体1.1.2 以余弦定理主体1.1.3 综合运用1.2 面积公式的应用1.3 判断三角形形状1.4 解三角形中的范围1.4.1 锐角三角形问题1.4.2 三角形的边角不等式1.4.3 结合三角函数1.4.4 结合均值不等式1.4.5 几何法（托密勒定理，旋转大法，阿斯圆）1.4.6 结合函数单调性1.6 证明恒等式第二部分：解三角形综合2.1 解三角形与向量综合2.2 解三角形与平面几何2.2.1 常见长度关系2.2.2 正余弦定理在图形中的综合应用2.3 解三角形实际问题【解三角形基础】1.1 正余弦定理1.1.1 以正弦

2、定理主体例1.（正弦定理的直接使用）4sinA在AABC中，角A, B, C所对边分别是a, b, c,若B=30 口，b=2,则例1-1.（注意角的范围）45在AABC中，若snA=_cosB,则B的值为例1-2.（合分比与等比定理）2后sinA sinB sinC在AABC中，A =60: a =3,则；例1-3.（大边对大角）请证明在任意MBC中，若AaB,则ab（i）在 AABC 中，a = &, b=2, sinB+cosB = J2,则角 A为，一，_ 45 一（ii）在 AABC 中，sinB= , cosA = ,贝UcosC = 513例1-4.（锐角与钝角三角形中不等式）请

3、证明在锐角 AABC中，有sinA acosB和cosA sinB同理，请证明在钝角 AABC中（2C为钝角），sinA cosB和sinB 0SinB !cosA -i0、cosB ) sinA -八l0、sinB ) sinA 1 八i0、cosB ) (ii)已知函数 f(x)满足，对任意 x1,x2 W(0,1)有 f(x1)-f(x2)0x1 - x2若AABC为钝角三角形，且 /C为钝角，则一定成立的是()A .f ( cosA) f ( cosB)BB.f ( sinA ) f ( sinB )例2.（正弦定理的应用 AA0 21/134 一 5在AABC中，cosA=, cos

4、C= , a = 1,则b = 513例 2-1. （AAS 5在AABC中，tanA =工，cosB =”10 .若三角形最长边长为1,则最短边长为 210例 2-2. （SSA单解）45在MBC中，ABC=3, AB =76,则角 C等于3例2-3. （SSA双解）在MBC中，ABC=5, AB=6,则此三角形有几种构 成情况？ 3例2-4. （SSA特殊单解），.一一 62一 一在 AABC 中，A =75 , BC =, AB = 2,则/C =2例2-5. (SSA无解)在 MBC中，b = 4j3, C = 30 1则c的取值范围是例2-6. （SSA技用）已知AABC中，B=60

5、 口，c = 2,若满足条件的三角形 有一个，则b的取值范围为例3.（边角转换）在 AABC 中，acosC + d3asinC - b-c = 0,求A。例3-1.（边化角）在 AABC 中，b+c =2acosB,证明 A =2B例3-2.（边化角中的射影定理）在 AABC 中,2cosC （acosB + bcosA） = c,求 C例3-3.（射影定理应用）2b-c cosC在 AABC 中，=,求 Aa cosB例3-4.（边化角+范围问题）在锐角 MBC中，C = 2B,则c的取值范围 b例3-5.（边化角+判断三角形形状）在AABC中，若cos2B = W,则AABC形状是2 2

6、c 例3-6.（正弦平方差公式）JTJXJT（i）在 MBC 中，b2 -a2 =ac,函数 f （x） = cos （2x - -）-2sin （一 +x） sin （ - x）344则f （B）取值范围是(ii)在锐角AABC中，b2-a2=ac,则L的取值范围是tanA tanB1.1.2以余弦定理主体例 1. (SSS在 AABC 中，a： b: c=2:3:4,则 cosC =例 1-1 (SSA在AABC中，b=j3, c=3, B=30口，解此三角形；例1-2 (SSA中余弦定理的应用)在AABC中，c = V3, B=30 口，求b的取值范围；例 1-3 (SAS1 .一在AA

7、BC中，a=1, b = 2, cosC = ,则c=; sinA =.4 例2.(余弦定理变形的应用) 在 MBC 中，若 a2 +b2 -c2 = J3ac,则 B为.(ii)在 AABC 中，(a+b 2 - c2 =4,且 C =60 :则 ab =例2-1 (余弦定理在三角形形状的应用)(2J3,2底已知锐角 ABC边长分别为2,4, x,则x的取值范围是例2-2 (判断锐角、直角、钝角三角形) 在&ABC中，(a+b) : (b+c) : (c + a) =7:9:10,则AABC一定是 三角形(ii)如果把RTAABC三边都增加m (m0),则得到三角形形状 为(iii)某人要制

8、作一个三角 形，要求它三条高线长 度分别为工,工，则此三角形形状为13 11 5例2-3 (边角互化)(i)在 AABC 中，cosA+cosB =snC,请证明 sinAsinB =sinC a b c且若 b2 c2 - a2 = bc,求 tanB5b a 八 八 tanC tanC(ii)在锐角 AABC 中，+=6cosC,则+=a btanA tanB例2-4 (余弦定理选择性使用)(i)在 AABC 中，b =c, a2 =2b2(1-sinA), A =1(ii)在AABC中，BBC边上的图等于BC,则cosA =43例2-5 (余弦定理使用时机)(i)在 AABC 中，a2

9、- c2 = 2b,且 sinAcosC = 3cosAsinC，则 b =(ii)在 AABC 中，a2-c2=2b,且 sinB = 6cosAsinC ,则 b =(iii)在AABC中，cosB = -b,贝1JB =cosC 2a c1.1.3正余弦定理综合使用例1.(比值的计算)(i)在 AABC 中，a=4, b=5, c = 6, sn =sin2A，,，2- a(ii)在 AABC 中，sinAsinB+sinBsinC+cos2B = 1, C=-,贝(J = 3 ba c(iii)在AABC中，bsinA-0,则 MBC 一定为锐角三角形(3)若 cos (A-B) co

10、s (B-C) cos (C-A) =1,则 AABC 一定是等边三角形(iii)在 AABC 中，已知(a2 + b2 sin(A - B )= (a2 - b2 sin (A + B)，其形状为 bcosC 1 cos2C(iv) &ABC#两足,=, 其形状为ccosB 1 cos2B例4.(几道复杂的形状判断问题) 在 AABC 中，若 sinA + sinB = sinC (cosA + cosB)(1)判断AABC形状(2)在上述AABC中，若角C的对边c = 1,求该三角形内切圆半 径取值范围(ii)在AABC中，若三边满足a3+b3=c3,则AABC形状是 (iii )在 AA

11、BC 中，a2 +b2 +c2 =2j3absinC,则 AABC 形状为1.4解三角形中的范围1.4.1 锐角三角形问题(i)设在锐角三角形 ABC中，满足a=2bsinA,求cosA + sinC的取值范围 (ii)在锐角AABC中，AC =6, B=2A,则BC的取值范围是 (iii)设锐角三角形ABC中，C = 2B,则c的取值范围是bAC(iv)在锐角 AABC 中，BC=1, B=2A,则=?cosA且AC的取值范围为？(v)在AABC 中，B=2A, cosAcosBcosC 0),则 asinA的取值范围是 b1.4.2 三角形边角不等式(i)钝角三角形ABC的面积是J, AB

12、=1, BC=J2,则AC =其余题目见例1-3和例1-41.4.3 结合三角函数例1.(已知一边及其对角) 在MBC中，ZABC=V3,求该三角形周长的范 围3(ii)在AABC中，已知a = J3,且AABC外接圆半径为1,求bc的最大值 (iii)在AABC中，a =2, ZA求b2+c2的取值范围3(iv)在AABC中，a=3,1+tanA=生，则b+c的取值范围 tanB b例2.(化为三角函数型最值) 在AABC中，AB边上的高为h,若c = 2h,则与+9的取值范围b a1 一一 1(ii)已知 MBC ,?两足面积为一，且asinB = bcosA,则 一 +cosC的取值氾围

13、2 ab(iii)已知MBC,面积为S,若3a2 = 2b2+c2,则2 S 2的最大值b2 2c2(iv)在直角 MBC中，两条直角边分别是 a, b,斜边是c,周长为2则斜边最小值为1.4.4 (结合均值不等式)例1.(已知一边及其对角)见1.4.3例1例2.(余弦定理+不等式)(i)在 AABC 中，a2 +b2 =2c2,求 cosC的最小值 (ii)在 AABC 中，已知 sinA +v12sinB =2sinC,求 cosC的最小值 (iii )已知等腰三角形 ABC的腰AC的中线BD长为2,则AABC的周长最小值为(iv)在 MBC中，ZACB =90口，BC=3, AC = 4

14、, P是线段AB上的点，则 P到AC,BC的距离 的乘积的最大值为， 一_-1(v)在 AABC 中，/ACB =60 1 BC 1, AC=AB+,当 AABC 的周长最短时，BC =1.4.5几何法(托勒密定理，旋转大法，阿斯圆)例1.(阿斯圆)(i)已知AABC , AB =2, AC = V2BC的&ABC的面积的最大值为(ii)在等腰三角形AABC中，AB=AC, BD是腰AC的中线，且BD =、值则S ,ABC的最大值是例2.(托勒密定理)(i)已知在三角形 ABC中，AB =2, AC =3, D为三角形 ABC外一点，且 DB = DCDB .LDC,求AD最大值(ii)凸四边

15、形ABCD中，AB=1, BC = J3, &ACD为正三角形，当/ABC变化时BD的最大值为4(iii)在平面四边形中，已 知CD =9, BD =16, /BDC = , sinA =,则AC的25最大值为1.1 .6结合函数单调性例1.(结合二次函数) 在AABC中，若AB =1, tanB=2tanC,则AABC面积的最大值是(ii)在AABC中，若a2 +b2 +2c2 =8,则&ABC面积的最大值为 (iii)等腰三角形ABC中，AB =AC, AC边上的中线BD =6,则当&ABC面积取得最大值时AB =例2.(结合导数)在 AABC 中，b=1, c + b=2acosB,当

16、AABC 的面积最大时，cosA =1.5证明恒等式cos2A cos2B 11(1) 在 AABC 中, 证明：2 -2 2 - -2 b a bsin (A -B)Ca2,2(ii)在AABC中，证明：三b- c2.1 解三角形与向量综合例1.(向量与三角形五心结合) O是平面上一定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P满足 AB AC ,OP =OA + M+),九w 0,一),则点P的轨迹一定通过AB ACABC的心(ii) O是平面上一定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P满足OPABAB|coBAC._-),九w 0尸)，则点P的轨迹一定通过 AABC的AC c o

17、C(iii)已知O是平面上的一定点，A B, C是平面上不共线的三个点，动点 P满足OB OCOP 二2ABAB cosB+ TACAC cosC,九w(0, +笛)，则动点P的轨迹一定通过 ABC的心、一， _ 1rll(iv)已知。是 ABC所在平面上的一点， 若PO = g(PA+PB+PC)(其中P为平面上任意一点),则O点是 ABC的心G为乙ABC的重心，且(v)已知 a, b, c分别为 ABC 中/ A, / B, Z C的对边,三角形a GA +b GB +c GC = 0,贝U4ABC 为 例2.(向量法求面积)在mbc中，若AB，BC=4,Bc-Ba = 3,则mbc面积最

18、大值为 1.2 解三角形与三角函数及变换综合例1.(结合恒等变换)(i)在 AABC 中，a + b = 3c,贝U cosA cosB cosC的最大值为 (ii)在 AABC 中，已知 c2 =3(a2-b2)且 tanC=3,则/B=例2.(结合三角函数有界性)(i)在 AABC 中，满足 a2-2a (sinB + 3cosB) +4=0, b = 2&,求 AABC面积(ii)在 AABC 中，a2 +b2 +c2 =2v3absinC,则 AABC 的形状是 (iii)在 AABC 中，a2 =3b2 +3c2 -2V3bcsinA,则C=1.3 解三角形与平面几何综合1.3.1

19、常见长度关系例1.(常见长度关系)在三角形AABC中已知三边长a, b, c,则(1)求三角形的中线的长 AD(2)求三角形的高AH(3)求三角形的角平分线长AE(4)求三角形外接圆半径 R(5)求三角形内切圆半径 r例2.(中线长公式的应用)(i)在 MBC 中，AB =7, AC =6, M 为 BC中点，且 AM =4,则 BC =(ii)在 AABC 中，M 是 BC 中点，AM =3, BC =10,则 AB AC =(iii)在AABC中，/B = , a + c = 4,求AC边上中线长的最小值3例3.(角平分线的应用)(i)在 AABC 中，D是BC上的点，AD 平分/BAC,

20、 BD=2DCsinB(a)二sinC(b)若/BAC =603求/B(ii) AABC 中，满足 9c-a=9bcosA(a)求cosB1 1(b)若角B的平分线与AC父于点D,且BD=1,求-+-a c(iii)在AABC中，/ABC =120工/ABC的平分线交 AC于点D ,且BD = 1 则4a +c的最小值为例4.(高线的应用) 在AABC中，已知ABC的面积为V2+1, 且+-=1,求AC最小值_ tanA tanB(ii)在AABC中，若但nB=3, c = 1,则AABC的面积最大值为 tanA 21 一.(iii) AABC 中，/C=90。，M 是 BC 边上中点，若 s

21、in/BAM =，WJsin/BAC =3(iv)在MBC中，满足asinAb.3cosB= AC,若 M 为 BC 中点，则 sin/BAC =2一 3 .、(v)在锐角 AABC 中，AB边上的(jh= c,且cosA = ,求sinB35(vi)在面积为2的MBC中，a2 +2b2 +c2的最小值为 2.3.2正余弦定理在图形中综合应用例1.(复杂三角形)3(i)在 AABC 中，A =3 n, AB = 6, AC = 3、：2,点D在BC上，AD = BD ,求AD的长4(ii)在 AABC 中，已知 B =45 口，D 是 BC 边上的一点，且 AD=10, AC =14, DC = 6则AB =，. ABC .3(iii)在AABC中，sin=一，AB =2,点D在线段AC上，且AD=2DC,23BD =4-3,则 BC =3i(iv)在 AABC 中，AB =V2,点 D在边BC上，BD=2DC, cosDAC = 3110102 5 cosC =,贝UAC+BC =5(v)在&ABC中，D是AB的中点，/ACD与/CBD互为余角，AD = 2, AC = 3, 则 sinA = n