最大值与最小值

1、3.3.3最大值与最小值学习目标：1.能够区分极值与最值两个不同的概念2.掌握用导数求函数的极值与最值的步骤，会求闭区间上函数的最大值与最小值(重点、难点)自 主 预 习·探 新 知1函数的最大值与最小值如果在函数定义域I内存在x0，使得对任意的xI，总有f(x)f(x0)(f(x)f(x0)，则f(x0)为函数f(x)在定义域上的最大值(最小值)2求函数yf(x)在区间a，b上的最值的步骤第一步，求f(x)在区间(a，b)上的极值；第二步，将第一步中求得的极值与f(a)，f(b)比较，得到f(x)在区间a，b上的最大值与最小值基础自测1判断正误：(1)函数的最大值一定是函数的极大值

2、()(2)开区间上的单调连续函数无最值()(3)函数f(x)在区间a，b上的最大值和最小值一定在两个端点处取得()【解析】(1)×.反例：f(x)x3x22x1在0,10的最大值是f(10)，而不是其极大值f(1)(2).因为函数是单调函数，故无极值，又因为是开区间，所以最值不可能在区间端点上取到，故正确(3)×.反例：f(x)x2在1,1上的最大值为f(0)0，不在区间端点取得【答案】(1)×(2)(3)×2已知函数yx3x2x，该函数在区间0,3上的最大值是_【解析】y3x22x1，由y0得3x22x10，得x1，x21.f(0)0，f(1)1，f(

3、3)279315，该函数在0,3上的最大值为15.【答案】15合 作 探 究·攻 重 难求函数的最值求函数f(x)2x312x(x1,3)的最值思路探究求f(x)，研究f(x)在1,3上的极值，并与f(1)，f(3)比较确定最值【自主解答】f(x)6x2126(x22)6(x)(x)由f(x)0得x或x.当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：x1(1，)(,3)3f(x)0f(x)10818由上表知函数f(x)的最小值是8，最大值是18.规律方法求一个函数在闭区间上的最值，只需先求出函数在闭区间上的极值，然后比较极值与区间端点处的函数值的大小，其中最大的就是函数的最大值，最

4、小的就是函数的最小值.跟踪训练1求函数f(x)x(1x2)，x0,1的最值. 【导学号：95902236】【解】易知f(x)13x2.令f(x)13x20，则x±. 当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表： x01f(x)0f(x)00由上表知f(x)的最大值为，最小值为0.含参数的函数最值问题a为常数，求函数f(x)x33ax(0x1)的最大值思路探究此题是求函数在闭区间上的最值问题，要注意对参数a进行分类讨论【自主解答】 f(x)3x23a3(x2a)若a0，则f(x)0，函数f(x)单调递减，所以当x0时，有最大值f(0)0.若a0，则令f(x)0，解得x±.

5、因为x0,1，所以只需考虑x的情况(1)01，即0a1时，当x时，f(x)有最大值f()2a.(如下表所示)x(0，)(，1)f(x)0f(x)2a(2)1时，即a1时，f(x)0，函数f(x)在0,1上单调递增，当x1时，f(x)有最大值，f(1)3a1.综上可知，当a0时，x0时，f(x)有最大值0.当0a1时，x时，f(x)有最大值2a.当a1时，x1时，f(x)有最大值3a1.规律方法求函数在闭区间上的最值时，如果含有参数，则应进行分类讨论，由于函数的最值只能在极值点或端点处取得，所以只需比较极值点和端点处的函数值的大小即可，最后再将讨论的情况进行合并整理.跟踪训练2已知函数f(x)g

6、(x)·h(x)，其中函数g(x)ex，h(x)x2axa.(1)求函数g(x)在(1，g(1)处的切线方程；(2)当0a2时，求函数f(x)在x2a，a上的最大值； 【导学号：95902237】【解】(1)g(x)ex，故g(1)e，所以切线方程为yee(x1)，即yex.(2)f(x)ex·(x2axa)，故f(x)(x2)(xa)ex，令f(x)0，得xa或x2.当2a2，即0a1时，f(x)在2a，a上单调递减，在a，a上单调递增，所以f(x)maxmaxf(2a)，f(a)由于f(2a)(2a2a)e2a，f(a)(2a2a)ea，故f(a)f(2a)，所以f(x

7、)maxf(a)当2a2，即1a2时，f(x)在2a，2上单调递增，在2，a上单调递减，在a，a上单调递增，所以f(x)maxmaxf(2)，f(a)由于f(2)(4a)e2，f(a)(2a2a)ea，故f(a)f(2)，所以f(x)maxf(a)综上得，f(x)maxf(a)(2a2a)ea.由函数的最值求参数的值(范围)探究问题1. (1)若对任意的x1,2，都有ax成立，则实数a的取值范围是什么？(2)若对任意的x1,2，都有ax成立，则实数a的取值范围是什么？【提示】(1)a2(2)a1.2(1)若存在x1,2，使ax成立，实数a的取值范围是什么？(2)若存在x1,2，使ax成立，实数

8、a的取值范围是什么？【提示】(1)a1(2)a2.3已知函数yf(x)，xm，n的最大值为ymax，最小值为ymin，(1)若对任意的xm，n，都有af(x)成立，实数a的取值范围是什么？(2)若对任意的xm，n，都有af(x)成立，实数a的取值范围是什么？【提示】(1)aymax(2)aymin4已知函数yf(x)，xm，n的最大值为ymax，最小值为ymin，(1)若存在xm，n，使af(x)成立，实数a的取值范围是什么？(2)若存在xm，n，使af(x)成立，实数a的取值范围是什么？【提示】(1) aymin(2)aymax已知f(x)xln x，g(x)x2ax3，对一切x(0，)，2

9、f(x)g(x)恒成立，求实数a的取值范围；思路探究把a分离出来，转化为求函数的最值问题【自主解答】由题意知2xln xx2ax3对一切x(0，)上恒成立，则a2ln xx，设h(x)2ln xx(x0)，则h(x).当x(0,1)时，h(x)<0，h(x)单调递减，当x(1，)时，h(x)0，h(x)单调递增，所以h(x)minh(1)4，对一切x(0，)，2f(x)g(x)恒成立，所以ah(x)min4.即实数a的取值范围是(，4规律方法1“恒成立”问题向最值问题转化是一种常见的题型，一般地，可采用分离参数法进行转化f(x)恒成立f(x)max；f(x)恒成立f(x)min.对于不能

10、分离参数的恒成立问题，直接求含参函数的最值即可2此类问题特别要小心“最值能否取得到”和“不等式中是否含等号”的情况，以此来确定参数的范围能否取得“”跟踪训练3已知函数f(x)xcos xsin x，若存在实数x0,2，使得f(x)t成立，则实数t的取值范围是_【解析】f(x)(xcos x)(sin x)cos xxsin xcos xxsin x.x0,2，当x0，时，f(x)0，f(x)在0，单调递减当x，2时，f(x)0，f(x)在，2单调递增f(x)minf()，t的取值范围t.【答案】(，)构建·体系 当 堂 达 标·固 双 基1函数f(x)x312x8(3x3)

11、的值域是_【解析】令f(x)3x2120，得x±2，而f(3)1，f(3)17，f(2)8，f(2)24，则f(x)max24，f(x)min8.【答案】8,242设函数g(x)x(x21)，则g(x)在区间0,1上的最小值为_. 【导学号：95902238】【解析】g(x)x3x，由g(x)3x210，解得x1，x2(舍去)当x变化时，g(x)与g(x)的变化情况如下表：x01g(x)0g(x)0单调递减极小值单调递增 0所以当x时， g(x)有最小值g.【答案】3函数f(x)exsin x在区间上的值域为_【解析】f(x)ex(sin xcos x)，x，f(x)0，f(x)在上是单调增函数，f(x)minf(0)0，f(x)maxfe.【答案】4函数f(x)x3x2xa在区间0,2上的最大值是3，则a的值为_【解析】f(x)3x22x1，令f(x)0，解得x(舍去)或x1， 又f(0)a，f(1)a1，f(2)a2，则f(2)最大，即a