第一章行列式

1、线性代数线性代数课程概况课程概况n学时：48n内容：理论讲授（36）+习题课（12）n上课时间及地点：n答疑时间及地点日期日期节数节数教室教室周二3,4节 B301周四3-4节B208（双周）周五5,6节通院大楼235安全系办公室考核形式考核形式n考核形式：校考n考核成绩：平时成绩+期末笔试u平时成绩(30%)平时作业（20%）考勤（10%）u期末考试(70%) 2022-3-123参考资料参考资料n教材u工程数学线性代数（第五版），同济大学数学系编，高等教育出版社，2007年。n辅导书u线性代数A练习册，自编（电子版）课程群共享文件u线性代数附册学习辅导与习题全解（同济第5版），同济大学数学

2、系编，高等教育出版社，2007年。2022-3-124学习从来就不是一件轻松的事，全世界都一样有一些家长以为国外的教育就是快乐的，其实在国外，优秀的学生他们一样要很努力学习才能取得好的学习成绩。没有经过无聊和苦逼的学习过程，就不可能有快乐的学习成绩快乐是体现在学习的结果上，当你们取得优秀的成绩，辛苦的努力得到回报时，学习的快乐才会显现出来。努力学习是一种责任你们的主要任务就是学习，努力学习就是你们的社会责任。52022-3-12课程定位课程定位n自然科学基础课之一u面向我校理工科所有专业的大一学生开设n信息安全专业“工程数学”之一u线性代数u复变函数u概率论与数理统计信息安全还需要学习的数学课

3、程：信息安全数学基础I-离散数学信息安全数学基础II-初等数论、抽象代数62022-3-12课程背景课程背景n数学是什么？数学是什么？u古典定义：研究数数（数量关系）与形形（空间形式）的科学u现代定义：研究抽象的形式系统形式系统与关系结构关系结构的科学n代数是什么？代数是什么？u古典定义：数数的科学以算术与解方程为核心u现代定义：研究抽象的代数运算与代数结构的科学n线性代数是什么？线性代数是什么？u研究有限维线性空间的线性关系有限维线性空间的线性关系的代数学72022-3-12数学数学代数代数几何几何初等代数初等代数抽象代数抽象代数高等代数高等代数分析分析实分析实分析泛函分析泛函分析复分析复分

4、析初初等等几几何何高高等等几几何何微微分分几几何何拓拓扑扑学学微积分微积分实变函数实变函数多项式理论多项式理论线性代数线性代数复变函数复变函数数论数论概率论概率论初等数论初等数论解析数论解析数论代数数论代数数论群、环、域群、环、域点集拓扑点集拓扑微分拓扑微分拓扑代数拓扑代数拓扑微分方程微分方程算术算术低次方程低次方程欧氏几何欧氏几何非欧几何非欧几何射影几何射影几何解析解析几何几何集合论集合论数理逻辑数理逻辑数学数学代数代数几何几何初等代数初等代数抽象代数抽象代数高等代数高等代数分析分析实分析实分析泛函分析泛函分析复分析复分析初初等等几几何何高高等等几几何何微微分分几几何何拓拓扑扑学学微积分微积

5、分实变函数实变函数多项式理论多项式理论线性代数线性代数复变函数复变函数数论数论概率论概率论初等数论初等数论解析数论解析数论代数数论代数数论群、环、域群、环、域点集拓扑点集拓扑微分拓扑微分拓扑代数拓扑代数拓扑微分方程微分方程算术算术低次方程低次方程欧氏几何欧氏几何非欧几何非欧几何射影几何射影几何解析解析几何几何集合论集合论数理逻辑数理逻辑102022-3-12代数学的发展代数学的发展n最简单的方程n复杂化两个不同的方向u增加次数增加次数u增加未知量个数增加未知量个数0 (0)axba2324320 (0)0 (0)0 (0).axbxcaaxbxcxdaaxbxcxdxea 1111221121

6、1222221122nnnnnnnnnna xa xa xba xa xa xba xa xa xb 低次方程可以通过根式求解五次以上方程没有根式解抽象代数的诞生线性代数的研究对象之一122022-3-12132022-3-12课程内容课程内容n线性方程组n行列式n矩阵n向量n线性空间142022-3-12第一章第一章 行列式行列式在以往的学习中，我们接触过二在以往的学习中，我们接触过二元、三元等简单的线性方程组元、三元等简单的线性方程组. .但是，从许多实践或理论问题里但是，从许多实践或理论问题里导出的线性方程组常常含有相当导出的线性方程组常常含有相当多的未知量，并且未知量的个数多的未知量，

7、并且未知量的个数与方程的个数也不一定相等与方程的个数也不一定相等. .2022-3-1216我们先讨论未知量的个数与方程我们先讨论未知量的个数与方程的个数相等的特殊情形的个数相等的特殊情形. .在讨论这一类线性方程组时，我在讨论这一类线性方程组时，我们引入行列式这个计算工具们引入行列式这个计算工具. .2022-3-1217本章内容本章内容n内容提要内容提要1 1 二阶与三阶行列式二阶与三阶行列式2 2 全排列及其逆序数全排列及其逆序数3 3 n 阶行列式的定义阶行列式的定义4 4 对换对换5 5 行列式的性质行列式的性质6 6 行列式按行（列）展开行列式按行（列）展开7 Cramer法则法则

8、行列式的概念行列式的概念. .行列式的行列式的性质及计算性质及计算. . 线性方程组的求解线性方程组的求解. . 行列式是线性代行列式是线性代数的一种工具！数的一种工具！学习行列式主要学习行列式主要就是要能计算行就是要能计算行列式的值列式的值. .2022-3-12181 二阶与三阶行列式二阶与三阶行列式我们从最简单的二元线性方程组出发，探我们从最简单的二元线性方程组出发，探求其求解公式，并设法化简此公式求其求解公式，并设法化简此公式. .一、二元线性方程组与二阶行列式一、二元线性方程组与二阶行列式二元线性方程组二元线性方程组 11112212112222a xa xba xa xb 由消元法

9、，得由消元法，得211211221122211)(abbaxaaaa 212221121122211)(baabxaaaa 当当 时，该方程组有唯一解时，该方程组有唯一解 021122211 aaaa211222112122211aaaabaabx 211222112112112aaaaabbax 2022-3-1220求解公式为求解公式为11112212112222a xa xba xa xb 122122111221221112121211221221b aa bxa aa aa bb axa aa a 二元线性方程组二元线性方程组 请观察，此公式有何特点？请观察，此公式有何特点？分母相同

10、，由方程组的四个系数确定分母相同，由方程组的四个系数确定.分子、分母都是四个数分成两对相乘再分子、分母都是四个数分成两对相乘再 相减而得相减而得.2022-3-1221求解公式为求解公式为11112212112222a xa xba xa xb 122122111221221112121211221221b aa bxa aa aa bb axa aa a 二元线性方程组二元线性方程组 我们引进新的符号来表示我们引进新的符号来表示“四个四个数分成两对相乘再相减数分成两对相乘再相减”. .1112112212212122aaDa aa aaa 11122122aaaa记号记号 11122122a

11、aaa数表数表 表达式表达式 称为由该称为由该数表所确定的数表所确定的二阶行列式二阶行列式，即，即11221221a aa a 其中，其中， 称为称为元素元素. .(1,2;1,2)ijaiji 为为行标行标，表明元素位于第，表明元素位于第i 行；行； j 为为列标列标，表明元素位于第，表明元素位于第j 列列. .2022-3-1222二阶行列式的计算二阶行列式的计算 11122122aaaa11221221a aa a主对角线主对角线 副对角线副对角线 即：主对角线上两元素之积减去副对角线上两元素之积即：主对角线上两元素之积减去副对角线上两元素之积 对角线法则对角线法则 2022-3-122

12、3二元线性方程组二元线性方程组 11112212112222a xa xba xa xb 若令若令 11122122aaDaa 1211222bbaDa 1221121baDab ( (方程组的系数行列式方程组的系数行列式) )则上述二元线性方程组的解可表示为则上述二元线性方程组的解可表示为1122122111221221DDb aa bxa aa a 1121212211221221a bb aDxa aa aD 2022-3-1224例例1 求解二元线性方程组求解二元线性方程组 1212232121xxxx解解 因为因为 1223 D07)4(3 14)2(12112121 D212431

13、21232 D所以所以 11142,7DxD 222137DxD 2022-3-1225二、三阶行列式二、三阶行列式定义定义 设有设有9个数排成个数排成3行行3列的数表列的数表引进记号引进记号称为称为三阶行列式三阶行列式. .111213212223313233aaaaaaaaa 112233122331132132132231122133112332a a aa a aa a aa a aa a aa a a111213212223313233aaaaaaaaa主对角线主对角线 副对角线副对角线 高阶行列式的对角线法则高阶行列式的对角线法则并不适用！并不适用！2022-3-12三阶行列式的计

14、算三阶行列式的计算 对角线法则对角线法则 111213212223313233aaaDaaaaaa 132132a a a 112233a a a 122331a a a 132231a a a 122133a a a 112332a a a 注意：注意：对角线法则只适用于二阶与三阶行列式对角线法则只适用于二阶与三阶行列式. . 实线上的三个元素的乘积冠正号，实线上的三个元素的乘积冠正号， 虚线上的三个元素的乘积冠负号虚线上的三个元素的乘积冠负号. .2022-3-122712-4-221-34-2D 例例2 计算行列式计算行列式 解解按对角线法则，有按对角线法则，有 D4)2()4()3(1

15、2)2(21 )3(2)4()2()2(2411 24843264 .14 2022-3-1228方程左端方程左端解解由由 得得2111230.49xx 例例3 求解方程求解方程 1229184322 xxxxD, 652 xx2560 xx 3.2 xx或或2022-3-12292 全排列及其逆序数全排列及其逆序数引例引例用用1、2、3三个数字，可以组成多少个没三个数字，可以组成多少个没有重复数字的三位数？有重复数字的三位数？解解1 2 3123百位百位3 3种放法种放法十位十位1231个位个位12 32 2种放法种放法1 1种放法种放法种放法种放法. .共有共有6123 问题问题 把把 n

16、 个不同的元素排成一列，共有多少种不同的个不同的元素排成一列，共有多少种不同的 排法？排法？定义定义 把把 n 个不同的元素排成一列，叫做这个不同的元素排成一列，叫做这 n 个元素个元素的的全排列全排列. n 个不同元素的所有排列的种数，通常用个不同元素的所有排列的种数，通常用Pn 表示表示.(1) (2)3 2 1!nPnnnn 显然显然 即即n 个不同的元素一共有个不同的元素一共有n! 种不同的排法种不同的排法.2022-3-1232所有所有6种不同的排法中，只有一种排法种不同的排法中，只有一种排法（123）中的数字是按从小到大的自然）中的数字是按从小到大的自然顺序排列的，而其他排列中都有

17、大的顺序排列的，而其他排列中都有大的数排在小的数之前数排在小的数之前. .因此大部分的排列都不是因此大部分的排列都不是“顺序顺序”，而是存在而是存在“逆序逆序”. . 3个不同的元素一共有个不同的元素一共有3! =6种不同的排法种不同的排法123，132，213，231，312，3212022-3-1233对于对于n 个不同的元素，可规定各元素之间的标准次序个不同的元素，可规定各元素之间的标准次序.n 个不同的自然数，规定从小到大为标准次序个不同的自然数，规定从小到大为标准次序.定义定义 当某两个元素的先后次序与标准次序不同时，当某两个元素的先后次序与标准次序不同时，就就称这两个元素组成一个称

18、这两个元素组成一个逆序逆序.例如例如 在排列在排列32514中，中，3 2 5 1 4逆序逆序 逆序逆序 逆序逆序 思考题：思考题：还能找到其它逆序吗？还能找到其它逆序吗？答：答：2和和1，3和和1也构成逆序也构成逆序.34定义定义 排列中所有逆序的总数称为此排列的排列中所有逆序的总数称为此排列的逆序数逆序数.排列排列 的逆序数通常记为的逆序数通常记为 . .1 2ni ii1 2()nt i ii奇排列：奇排列：逆序数为奇数的排列逆序数为奇数的排列. .偶排列：偶排列：逆序数为偶数的排列逆序数为偶数的排列. .思考题：思考题：符合标准次序的排列是奇排列还是偶排列？符合标准次序的排列是奇排列还

19、是偶排列？ 答：答：符合标准次序的排列（例如：符合标准次序的排列（例如：123）的逆序数）的逆序数等于零，因而是偶排列等于零，因而是偶排列. .2022-3-1235计算排列的逆序数的方法计算排列的逆序数的方法则此排列的逆序数为则此排列的逆序数为12ntttt 设设 是是 1, 2, , n 这这n 个自然数的任一排列，个自然数的任一排列，并规定由小到大为标准次序并规定由小到大为标准次序. 先看有多少个比先看有多少个比 大的数排在大的数排在 前面，记为前面，记为 ；再看有多少个比再看有多少个比 大的数排在大的数排在 前面，记为前面，记为 ;最后看有多少个比最后看有多少个比 大的数排在大的数排在

20、 前面，记为前面，记为 ;12np pp1p1p1t2p2p2tnpnpnt2022-3-1236例例1：求排列求排列 32514 的逆序数的逆序数.解：解：(32514)010315t 练习：练习：求排列求排列 453162 的逆序数的逆序数.9t 解：解：2022-3-12373 n 阶行列式的定义阶行列式的定义一、概念的引入一、概念的引入111213212223313233aaaDaaaaaa 112233122331132132132231122133112332a a aa a aa a aa a aa a aa a a规律：规律： 三阶行列式共有三阶行列式共有6项，即项，即3!项项

21、 每一项都是位于不同行不同列的三个元素的乘积每一项都是位于不同行不同列的三个元素的乘积 每一项可以写成每一项可以写成 （正负号除外），其中（正负号除外），其中 是是1、2、3的某个排列的某个排列. . 当当 是是偶排列偶排列时，对应的项取时，对应的项取正号正号； 当当 是是奇排列奇排列时，对应的项取时，对应的项取负号负号. . 123123pppaaa123p p p123p p p123p p p2022-3-1239所以，三阶行列式可以写成所以，三阶行列式可以写成 123123123()123( 1)t p p ppppp p paaa 其中其中 表示对表示对1、2、3的所有排列求和的所有

22、排列求和. 123p p p 二阶行列式有类似规律二阶行列式有类似规律.下面将行列式推广到一般的情形下面将行列式推广到一般的情形. 111213212223313233aaaDaaaaaa 112233122331132132132231122133112332a a aa a aa a aa a aa a aa a a2022-3-1240二、二、n 阶行列式的定义阶行列式的定义 n 阶行列式共有阶行列式共有 n! 项项 每一项都是位于不同行不同列的每一项都是位于不同行不同列的 n 个元素的乘积个元素的乘积 每一项可以写成每一项可以写成 （正负号除外），其中（正负号除外），其中 是是1, 2

23、, , n 的某个排列的某个排列. . 当当 是是偶排列偶排列时，对应的项取时，对应的项取正号正号； 当当 是是奇排列奇排列时，对应的项取时，对应的项取负号负号. . 1212nppnpaaa12np pp12np pp12np pp1212121112121222()1212( 1)nnnnnt p ppppnpp ppnnnnaaaaaaDaaaaaa 简记作简记作 ，其中其中 为行列式为行列式D的的( (i, j) )元元det()ijaija2022-3-1241思考题：思考题： 成立成立吗？吗？答：答：符号符号 可以有两种理解：可以有两种理解： 若理解成绝对值，则若理解成绝对值，则

24、； 若理解成一阶行列式，则若理解成一阶行列式，则 . .11 1 11 11 注意：注意：当当n = 1时，一阶行列式时，一阶行列式|a| = a，注意不要与，注意不要与绝对值的记号相混淆绝对值的记号相混淆. 例如：一阶行列式例如：一阶行列式 . 11 2022-3-1242111213142223243333444000000aaaaaaaDaaa 例：例：写出四阶行列式中含有因子写出四阶行列式中含有因子 的项的项. . 2311aa例：例：计算行列式计算行列式解：解：11233244a a a a 11233442.a a a a和和142323241000000000000aaDaa 1

25、12213344000000000000aaDaa 112122432323341424344000000aaaDaaaaaaa 2022-3-12解：解：112213344000000000000aaDaa 142323241000000000000aaDaa 11223344a a a a (4321)14233341( 1)ta a a a 14233341a a a a (4321)0123t 3 46.2 其中其中 2022-3-1244111213142223243333444000000aaaaaaaDaaa 112122432323341424344000000aaaDaaaa

26、aaa 11223344a a a a 14233341a a a a 2022-3-124512,11nnnaaDa 1122nnaaDa 四个结论：四个结论：(1) (1) 对角行列式对角行列式 nnaaa2211 (2) (2) (1)212,11( 1)n nnnna aa 2022-3-1246nnnnaaaaaaD21222111000 nnnnaaaaaaD00022211211 (3) (3) 上三角形行列式上三角形行列式 （主对角线下侧元素都为（主对角线下侧元素都为0 0）nnaaa2211 (4) (4) 下三角形行列式下三角形行列式 （主对角线上侧元素都为（主对角线上侧元

27、素都为0 0）nnaaa2211 2022-3-1247思考题：思考题：用定义计算行列式用定义计算行列式解：用树图分析解：用树图分析111 13 33 31 12 23 31122221112134）（22143）（31423（）41324（）491223D故故1130230021011210D2022-3-1248思考题思考题已知已知 ，求，求 的系数的系数. 1211123111211xxxxxf 3x2022-3-1249故故 的系数为的系数为1.解解含含 的项有两项，即的项有两项，即3x 1211123111211xxxxxf 对应于对应于 124311223443( 1)ta a a

28、 a (1234)11223344( 1)ta a a a (1234)311223344( 1),ta a a ax 1243311223443( 1)2ta a a ax 3x2022-3-12504 对换对换111lmnaabbcb ca一、对换的定义一、对换的定义定义定义 在排列中，将任意两个元素对调，其余的元素在排列中，将任意两个元素对调，其余的元素不动，这种作出新排列的手续叫做不动，这种作出新排列的手续叫做对换对换将相邻两个元素对换，叫做将相邻两个元素对换，叫做相邻对换相邻对换例如例如 11lma baabb11lmb aaabb111lmnaabbca cb2022-3-1252

29、备注备注相邻对换是对换的特殊情形相邻对换是对换的特殊情形. . 一般的对换可以通过一系列的相邻对换来实现一般的对换可以通过一系列的相邻对换来实现. . 1.1. 如果连续施行两次相同的对换，那么排列就还原了如果连续施行两次相同的对换，那么排列就还原了. . m 次相邻对换次相邻对换 111lmnaabbcb ca111 lmnaabbcbca111 lmnaabbca cbm+1次相邻对换次相邻对换 m 次相邻对换次相邻对换 111 lmnaabbcacb111 lmnaabbcb cam+1次相邻对换次相邻对换 2022-3-1253二、对换与排列奇偶性的关系二、对换与排列奇偶性的关系定理定

30、理1 1对换改变排列的奇偶性对换改变排列的奇偶性. . 证明证明先考虑相邻对换的情形先考虑相邻对换的情形 11 lma baabb11 lmb aaabb11lmabaabbttttttt 11lmbaaabbrrtttrt 2022-3-125411 lma baabb11 lmb aaabb11lmabaabbttttttt 11lmbaaabbrrtttrt 注意到除注意到除 外，其它元素的逆序数不改变外，其它元素的逆序数不改变. ., a b2022-3-125511 lma baabb11 lmb aaabb11lmabaabbttttttt 11lmbaaabbrrtttrt 当当

31、 时，时， ， ， . . ab 当当 时，时， ， ， . . ab 因此相邻对换改变排列的奇偶性因此相邻对换改变排列的奇偶性. . 1aartbbrt aart 1bbrt1rt 1rt 2022-3-1256既然相邻对换改变排列的奇偶性，那么既然相邻对换改变排列的奇偶性，那么 2m+1次相邻对换次相邻对换因此，一个排列中的任意两个元素对换，排列的奇偶性改变因此，一个排列中的任意两个元素对换，排列的奇偶性改变. .111lmnaabbcb ca111 lmnaabbca cb推论推论 奇排列奇排列变成标准排列的对换次数为变成标准排列的对换次数为奇数奇数， 偶排列偶排列变成标准排列的对换次数

32、为变成标准排列的对换次数为偶数偶数. . 由定理由定理1 1知，对换的次数就是排列奇偶性的变化次知，对换的次数就是排列奇偶性的变化次数，而标准排列是偶排列数，而标准排列是偶排列( (逆序数为零逆序数为零) )，因此可知推论，因此可知推论成立成立. .证明证明 2022-3-12571 12122121122,nnnni ji ji jqpqnpnpqaaaaaaaaa 因为数的乘法是可以交换的，因为数的乘法是可以交换的，所以所以 n 个元素相乘的次个元素相乘的次序是可以任意的，即序是可以任意的，即 每作一次交换，元素的行标与列标所成的排列每作一次交换，元素的行标与列标所成的排列 与与 都同时作

33、一次对换，即都同时作一次对换，即 与与 同同时改变奇偶性，但是这两个排列的逆序数之和的奇偶性时改变奇偶性，但是这两个排列的逆序数之和的奇偶性不变不变. . 1 2ni ii12nj jj12nj jj1 2ni ii2022-3-1258于是于是 与与 同时为奇数或同时为偶数同时为奇数或同时为偶数. . 即即 是偶数是偶数. . 因为对换改变排列的奇偶性，因为对换改变排列的奇偶性， 是奇数，是奇数， 也是奇数也是奇数. . 设对换前行标排列的逆序数为设对换前行标排列的逆序数为 ，列标排列的逆序数为，列标排列的逆序数为 . . st s t所以所以 是偶数，是偶数， ss tt ()()sstt

34、 ()()stst ()st ()st 因此，交换因此，交换 中任意两个元素的位置后，其中任意两个元素的位置后，其行标排列与列标排列的逆序数之和的奇偶性不变行标排列与列标排列的逆序数之和的奇偶性不变. .1 12 2,n ni ji ji jaaa设经过一次对换后行标排列的逆序数为设经过一次对换后行标排列的逆序数为 列标排列的逆序数为列标排列的逆序数为2022-3-12591 21 21212()()(12)()()( 1)( 1) ( 1)nnnnt i iit j jjtnt p ppt p pp 经过一次对换是如此，经过多次对换还是如此经过一次对换是如此，经过多次对换还是如此. . 所以

35、，所以，在一系列对换之后有在一系列对换之后有2022-3-12601 21 21 21 2()()()(12)()( 1)( 1) ( 1)nnnnt i iit j jjt q qqtnt q qq 定理定理2 n 阶行列式也可定义为阶行列式也可定义为 121212()12( 1)nnnt p ppppp np ppDaaa 定理定理3 n 阶行列式也可定义为阶行列式也可定义为 1 21 21 12 21 21 2()()( 1)nnn nnnt i iit j jji ji ji ji iij jjDaaa 2022-3-1261例例1 试判断试判断 和和142331425665a a a

36、 a a a324314512566a a a a a a 是否都是六阶行列式中的项是否都是六阶行列式中的项.解解下标的逆序数为下标的逆序数为 4312650122016t 142331425665a a a a a a所以所以 是六阶行列式中的项是六阶行列式中的项.142331425665a a a a a a 行标和列标的逆序数之和行标和列标的逆序数之和(341526)(234156)538tt 324314512566a a a a a a 所以所以 不是六阶行列式中的项不是六阶行列式中的项.324314512566a a a a a a 2022-3-1262例例2 用行列式的定义计算

37、用行列式的定义计算 0001000200100000000nDnn 2022-3-1263 1221!nnnDn 解解 1,12,21,11 1 1 21 1!tnnnnnnttDaaaannn 12212321122 tnnnnnnn2022-3-12641. 对换改变排列奇偶性对换改变排列奇偶性2. 行列式的三种表示方法行列式的三种表示方法三、小结三、小结121212()12( 1)nnnt p ppppnpp ppDaaa 121212()12( 1)nnnt p ppppp np ppDaaa 1 21 21 12 21 21 2()()( 1)nnn nnnt i iit j jji

38、 ji ji ji iij jjDaaa 2022-3-12655 5 行列式的性质行列式的性质一、行列式的性质一、行列式的性质111212212212, nnnnnnaaaaaaaaDa 行列式行列式 称为行列式称为行列式 的的转置行列式转置行列式. . TDD若记若记 ，则，则 .det(), det()TijijDaDb ijjiba 记记性质性质1 行列式与它的转置行列式相等行列式与它的转置行列式相等, ,即即 .TDD 212211121212nnnnTnnaaaaaaDaaa 2022-3-1267121212()12( 1)nnnt p ppTppnpp ppDbbb 性质性质1

39、 行列式与它的转置行列式相等行列式与它的转置行列式相等. .证明证明根据行列式的定义，有根据行列式的定义，有若记若记 ，则，则det(), det()TijijDaDb ,1,2,ijijbai jn 1121221()2( 1)nnnppt p ppp ppp naaa D 行列式中行与列具有同等的地位行列式中行与列具有同等的地位, ,行列式的性质凡是对行行列式的性质凡是对行成立的对列也同样成立成立的对列也同样成立. .68性质性质2 互换行列式的两行（列）互换行列式的两行（列）, ,行列式变号行列式变号. .验证验证12366235212335266226 26 推论推论 如果行列式有两行

40、（列）完全相同，则此行列式为零如果行列式有两行（列）完全相同，则此行列式为零. .证明证明互换相同的两行，有互换相同的两行，有 ，所以，所以 . DD 0D 备注：交换第备注：交换第i行（列）和第行（列）和第j行（列），记作行（列），记作 . .()ijijrr cc2022-3-1269于是于是123123662352352662 性质性质3 行列式的某一行（列）中所有的元素都乘以同一个行列式的某一行（列）中所有的元素都乘以同一个倍数倍数 ，等于用数，等于用数 乘以此行列式乘以此行列式. .验证验证kk111213212223313233,aaaDaaaaaa 我们以我们以三三阶行列式为例阶

41、行列式为例. . 记记 根据三阶行列式的对角线法则，有根据三阶行列式的对角线法则，有1112131212223313233kkaaaDaaaaaak 备注：第备注：第 行（列）乘以行（列）乘以 ，记作，记作 . .ki()iirk ck2022-3-12701112131212223313233kkaaaDaaaaaak 112233122331132132132231122133112332()()()()()()aaaaaaaaaaaaaaakkkkkkaaa 112233122331132132132231122133112332a a aa a aa a aa a aa a aaaka

42、 Dk 推论推论 行列式的某一行（列）中所有元素的公因子可以提行列式的某一行（列）中所有元素的公因子可以提到行列式符号的外面到行列式符号的外面备注：第备注：第 行（列）提出公因子行（列）提出公因子 ，记作，记作 . .ki()iirk ck71212223242122232431323334111213141112311121314111213213333431141400aaaaakkkakaaaaaaaaaaaaaaaakakaaaaaaaaa验证验证我们以我们以4阶行列式为例阶行列式为例. . 性质性质4 行列式中如果有两行（列）元素成比例，则此行列行列式中如果有两行（列）元素成比例，则

43、此行列式为零式为零2022-3-1272性质性质5 若行列式的某一列（行）的元素都是两数之和若行列式的某一列（行）的元素都是两数之和, ,例如例如：121222221113212331332323aaDaaabababaa 则则111311132123212331331212222232331323aaaaDaaaabababaaaaa2022-3-1273121222221113212331332323aaDaaabababaa 221231312322()13( 1)()ppt p p pppp p pabaa 123123131312322123()()132213( 1)( 1)t p

44、 p pt p p pppppp p pp p pppaaaaba 111311132123212331333131212222223332aaabaabaaaaaaabaaa验证验证我们以我们以三三阶行列式为例阶行列式为例. . 2022-3-1274性质性质6 把行列式的某一列（行）的各元素乘以同一个倍数把行列式的某一列（行）的各元素乘以同一个倍数然后加到另一列然后加到另一列( (行行) )对应的元素上去，行列式不变对应的元素上去，行列式不变则则1.DD 验证验证122211132123313323,aaDaaaaaaa 我们以我们以三三阶行列式为例阶行列式为例. . 记记 1112131

45、212213233323313233aaaDaaakakakaaaa 备注：以数备注：以数 乘第乘第 行（列）加到第行（列）加到第 行（列）上，记作行（列）上，记作 . .ki().ijijrkr ckc j2022-3-1275例例2101044614753124025973313211 D二、应用举例二、应用举例计算行列式常用方法：利用运算把行列式化为计算行列式常用方法：利用运算把行列式化为上三角形行列式，从而算得行列式的值上三角形行列式，从而算得行列式的值ijrkr 3 2022-3-12762101044614753124025973313211 D3 解解21010446147531

46、24022010013211312 rr2022-3-12772101044614753140202010013211 2101044614753124022010013211312 rr 2 3 312rr 4 2022-3-127842rr 2220020100140203512013211 2220035120140202010013211 514rr413rr2022-3-12792220001000211003512013211 34rr 2220020100211003512013211 23rr 2 2022-3-12806000001000211003512013211 612

47、 454rr .12 6400001000211003512013211 352rr 4 2022-3-1281例例2 计算计算 阶行列式阶行列式nabbbbabbbbabbbbaD 解解 abbbnababbnabbabnabbbbna1111 D将第将第 列都加到第一列得列都加到第一列得n, 3 , 22022-3-1282 11(1)11bbbabbanbbabbba 1(1)bbbabanbabab 00 1(1) ().nanb a b 2022-3-1283例例3 设设 1111111111110kkkkknnnknnnaaaaDccbbccbb ,)det(11111kkkkij

48、aaaaaD ,)det(11112nnnnijbbbbbD .21DDD 证明证明 2022-3-1284证明证明1111110;kkkkkpDpppp对对 作运算作运算 ，把，把 化为下三角形行列式化为下三角形行列式 1Dijrkr 1D设为设为对对 作运算作运算 ，把，把 化为下三角形行列式化为下三角形行列式 2Dijckc 2D1121110.nnnnkqDqqqp设为设为2022-3-1285对对 D 的前的前 k 行作运算行作运算 ，再对后，再对后 n 列作运算列作运算 ，把把 D 化为下三角形行列式化为下三角形行列式,01111111111nnnnknkkkkqqqccccppp

49、D 1111kknnDppqq 12.D D ijrkr ijckc 故故2022-3-1286 ( (行列式中行与列具有同等行列式中行与列具有同等的地位的地位, , 凡是对行成立的性质对列也同样成立凡是对行成立的性质对列也同样成立).).l 计算行列式常用方法：计算行列式常用方法：(1)(1)利用定义利用定义; ;(2)(2)利用性质把行列式化为上三角形行列式，从利用性质把行列式化为上三角形行列式，从而算得行列式的值而算得行列式的值三、小结三、小结行列式的行列式的6 6个性质个性质2022-3-1287计算计算4 4阶行列式阶行列式 思考题思考题 11111111111122222222dd

50、ddccccbbbbaaaaD 1abcd 已已知知2022-3-1288思考题解答思考题解答解解111111112222dddcccbbbaaaD 1111111111112222dddcccbbbaaa 2022-3-1289dddcccbbbaaaabcd1111111111112222 dddcccbbbaaa111111111111122223 . 0 2022-3-12906 行列式按行(列)展开对角线法则只适用于二阶与三阶行列式对角线法则只适用于二阶与三阶行列式. .本节主要考虑如何用低阶行列式来表示高本节主要考虑如何用低阶行列式来表示高阶行列式阶行列式. .一、引言122331

51、111221221333332132132231112332a a aa a aaa a aaaaa aa aa 111213212223313233aaaaaaaaa 122331321311222322331213332123aa aaaaaa aaaaaaa 222321232122111213323331333132aaaaaaaaaaaaaaa 结论结论 三阶行列式可以用二阶行列式表示三阶行列式可以用二阶行列式表示. .思考题思考题 任意一个行列式是否都可以用较低阶的行列式表示？任意一个行列式是否都可以用较低阶的行列式表示？2022-3-1292例如例如 11121314212223

52、243132333441424344aaaaaaaaDaaaaaaaa 11121423313234414244aaaMaaaaaa 2 32323231AMM 把把 称为元素称为元素 的的代数余子式代数余子式 1ijijijAM ija在在n 阶行列式中，把元素阶行列式中，把元素 所在的第所在的第 行和第行和第 列划后，列划后，留下来的留下来的n1阶行列式叫做元素阶行列式叫做元素 的的余子式余子式，记作，记作 . ijijMijaija结论结论 因为行标和列标可唯一标识行列式的元素，所以因为行标和列标可唯一标识行列式的元素，所以行列行列式中每一个元素都分别对应着一个余子式和一个代数余子式式中

53、每一个元素都分别对应着一个余子式和一个代数余子式. .2022-3-1293引理引理 一个一个n 阶行列式，如果其中第阶行列式，如果其中第 行所有元素除行所有元素除 外都为零，那么这行列式等于外都为零，那么这行列式等于 与它的代数余子式的乘与它的代数余子式的乘积，即积，即 ijijDa A 11121314212223243341424344000aaaaaaaaDaaaaa 1112143 3332122244142441aaaaaaaaaa 例如例如 3 3333333331a Aa M 11121433212224414244aaaaaaaaaa iijaija2022-3-129411

54、212221200nnnnnaaaaDaaa 即有即有1111.Da M 又又 1 11111111,AMM 从而从而1111.Da A 下面再讨论一般情形下面再讨论一般情形.分析分析 当当 位于第位于第1 1行第行第1 1列时列时, ,ija（根据（根据P.14例例10的结论）的结论）2022-3-129511121314212223244142434434000aaaaaaaaaaaaa我们以我们以4阶行列式为例阶行列式为例. . 2334111213142122232441424344000( 1)rraaaaaaaaaaaaa121112131421222324414243344420

55、00( 1)rraaaaaaaaaaaaa1112131421222324414243434(3 14)000( 1)aaaaaaaaaaaaa 思考题：思考题：能否以能否以 代替上述两次行变换？代替上述两次行变换？13rr2022-3-1296231234234414243444142434411121212223314111213142421222324000( 1)000rrrraaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa思考题：思考题：能否以能否以 代替上述两次行变换？代替上述两次行变换？133434411112142314111434441421222324212223221

56、323414444000( 1)000rraaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa答：答：不能不能. .13rr2022-3-12971112131421222324414243434(3 14)000( 1)aaaaaaaaaaaaa 342312141112132421222344434(3 1)331424000( 1)( 1)ccccccaaaaaaaaaaaaa 14111234(13 1)32421222344414243(4 1)000( 1)( 1)aaaaaaaaaaaaa 3 4 2( 1) 3 434( 1)a 3434a A 被调换到第被调换到第1行，第行，

57、第1列列34a11121321222341424334aaaaaaaaaa34M11121314212223244142434434000aaaaaaaaaaaaa2022-3-1298二、行列式按行（列）展开法则定理定理3 行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积之和，即应的代数余子式乘积之和，即 11221,2,iiiiininDa Aa Aa Ain 2022-3-1299111213111213212223212223313233313233000000aaaaaaaaaaaaaaaaaa 1112132122232122232

58、12223313233313233313233000000aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa1111a A 1212a A 1313a A 212122222323a Aa Aa A313132323333a Aa Aa A同理可得同理可得2022-3-12100例例（P.12例例7续）续）3112513420111533D 51111113100105530 312 cc 34cc 3 3511( 1)1111550 511620550 21rr 1 362( 1)55 8205 40. 2022-3-12101 证明证明 用数学归纳法用数学归纳法21211Dxx 21()ijijx

59、x 例例 证明范德蒙德证明范德蒙德( (Vandermonde) )行列式行列式1222212111112111().nnnijn ijnnnnxxxxxxDxxxxx (1)所以所以n=2时时(1)式成立式成立.21xx2022-3-121022131122133112222213311111100()()()0()()()nnnnnnnnnxxxxxxxxxxxxxxxDxxxxxxxxx 假设假设(1)对于对于n1阶范德蒙行列式成立，从第阶范德蒙行列式成立，从第n行开始，后行行开始，后行减去前行的减去前行的 倍：倍：1x按照第按照第1列展开，并提出每列的公因子列展开，并提出每列的公因子

60、，就有，就有1()ixx 2022-3-12103213112()()()()nnijn ijDxxxxxxxx 1().ijn ijxx 232131122223111()()()nnnnnnxxxxxxxxxxxx n1阶范德蒙德行列式阶范德蒙德行列式2022-3-12104推论推论 行列式任一行（列）的元素与另一行（列）的对行列式任一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和等于零，即应元素的代数余子式乘积之和等于零，即11220,.ijijinjna Aa Aa Aij 111213212223AAaaa A212223313232122233aaaaaaaaa 分析分