微积分-经管类-第四版-吴赣昌-习题全解-第六章定积分的应用

1、第六章定积分的应用内容概要名 称主要内容疋b积定积分的元素法是一种简单记忆定积分Aa f (x)dx丨三步骤的方法：分 的i、将 Af ( i) xi 记为 dA f (x)dx元nb素法2、将 lim0i 1写为a平直角坐标系X-型Y-型面x bd图DaaDa：c y形f1(X)y f2 (x)g1(y) xg2(y)的bd面Aa (f2(X)fgdxAc (g2(y) g(y)dy积极坐标系Da0 rr()A打2( )d体旋转体体积平行截面面积的立体体积积b绕x轴旋转：垂直于x轴垂直于y轴的a da :xb的平面截立体所得平面截立体所得截DA： 0yf(x)Vf2 (x)dx截面面积为 A

2、(x),面面积为A(y),a立体又被夹于立体又被夹于绕y轴旋转：x a和x b两y c 和 y db平面间，那么：两平面间，那么：V2 xf(x)dxVbdaA(x)dxVA(y)dyd绕y轴旋转：accyDA :0xg(y)Vd 2c g2(y)dy平直角坐标参数方程极坐标面(t)(曲L : y f(x)，x a,bx L :t)L : r r()， ；线y(t)r2 yds J，r2 ()r 2( )d ；的 弧 长ds v1dx ；ds V2(t)2(t)dts飞y2dxsJr2()r 2( )das/2(t)2(:t)dt物理应用：1、变力沿直线作功2、水压力3 、引力课后习题全解习题

3、6-2 1求由曲线y x与直线yx所围图形的面积知识点：平面图形的面积X-型还是Y-型，解法都较简单，所以选其一做即可思、路：由于所围图形无论表达为解：见图6-2-1y丁所围区域D表达为X-型:或D表达为Y-型：0yx)dx2(3X1 22X)Sd10(y2)dy 2 .求在区间0 ,/2上，曲线ysin x与直线x 0、y1所围图形的面积知识点：平面图形面积思、路：由于所围图形无论表达为X-型还是Y-型，解法都较简单，所以选其一做即可解军：见图6-2-2图 6-2-2丁所围区域D表达为X-型：° Xsin x2 ，或D表达为Y-型：y 10 y 10 x arcs inySd

4、76;2(1sin x)dx (xcosx)*- 1Sdiarcs in ydy102 3.求由曲线y2匕2x与yx4所围图形的面积知识点：平面图形面积思路：由于所围图形表达为Y-型时解法较简单，所以用 Y-型做解军：见图6-2-3图 6-2-3丁两条曲线的交点2y x2y x 4所围区域D表达为Y-型:、2 y 、2 y2 x 4 y2-反SD A y2 y2)dy (4y 2y3)l 异由于图形关于X轴对称，所以也可以解为:SD2o(4y2)dy2 ty3)o 4.求由曲线y x2、4y2x 、及直线y1所围图形的面积知识点：平面图形面积思、路：所围图形关于 Y轴对称，而且在第一象限内的图

5、形表达为Y-型时，解法较简单解军：见图6-2-4x2T第一象限所围区域D1表达为Y-型:12y，SD2SD10(2、y ,y)dy假设用X-型做,那么第一象限内所围区域DiDaDb,其中Dax2'12Db:x_41 ；SD2SD1120(x21(1x2严 5.求由曲线y2所围图形的面积1与直线y x及xx知识点：平面图形面积思路：由于所围图形表达为X-型,解法较简单，所以用 X-型做解军：见图6-2-50 1 2图 6-2-51丁两条曲线y 和y x的交点为1, 1、-1 , -1，又这两条线和x 2分别交于(2, ?)、(2, 2)21 x 2 二所围区域D表达为X-型：1y xx1

6、(X-)dxx(1x2Inx)1In 2 6.抛物线y 2 2x分圆x22y28的面积为两局部，求这两局部的面积知识点：平面图形面积思、路：所围图形关于X轴对称，而且在第一象限内的图形表达为Y-型时，解法较简单解：见图6-2-6，设阴影局部的面积为Sq，剩余面积为SD22 2 2丁两条曲线y 2x、x y8的交于(2,2)舍去x4的解，所围区域D1表达为Y-型:2 y 22 ；又图形关于 x轴对称,x 8 y2：(8 y)dy2(2 082(2-)232 . 2 costdtcos2t lx dt2 y 2 Jsint _其中 0 .8 y dyQ4 2.2 cost4Sd28 263 7.求

7、由曲线yxe、y43xe与直线x 1所围图形的面积知识点：平面图形面积思路：由于所围图形表达为X-型时，解法较简单，所以用X-型做角军：见图6-2-7丁两条曲线yex和y e x的交点为o, 1，又这两条线和 x 1分别交于(1, e)和(1, e 1)0 x 1所围区域D表达为X-型：,xxe y e1 1 SD0ex e xdx ex e x oe e12 8 .求由曲线y In x与直线y Ina及y In b所围图形的面积b a 0 知识点：平面图形面积思路：由于所围图形表达为 Y-型时，解法较简单，所以用Y-型做解军：见图6-2-8y In x图 6-2-8丁在In x的定义域范围内

8、所围区域D :In a y In b0 xey SdIn bIn aeydyeyIn bIn a 9求通过0, 0， 1, 2的抛物线，要求它具有以下性质：1它的对称轴平行于 y轴，且向下弯；2它与x轴所围图形面积最小知识点：平面图形面积和求最值再求最值时的参变量思、路：首先根据给岀的条件建立含参变量的抛物线方程,角军：由于抛物线的对称轴平行于y轴，又过0， 0，所以可设抛物线方程为y2axbx，由于下弯，所以a 0，将1，2代入y ax2bx，得到a b2，因此ax2(2 a) x该抛物线和X轴的交点为X所围区域D :2axa(2a)x(2a) x dxfa 3(a 2)36a21 26a得

9、到唯一极值点：aSd (a)3(a2)2(a2)33(2a )2(a 2) (a4)所求抛物线为：y4x26x 10.求位于曲线 yex下方,该曲线过原点的切线的左方以及x轴上方之间的图形的面积知识点：切线方程和平面图形面积思、路：先求切线方程，再作岀所求区域图形，然后根据图形特点，选择积分区域表达类型解：yexy ex，在任一点xx0处的切线方程为y ex0e" (x x0)而过0，0的切线方程就为：y e e(x1)，即 y ex所求图形区域为DD1D2 ,见图 6-2-10exx-型下的 D1:x f，D2 :00 y exex0 1二 SDexdxo(ex ex)dxx 1e

10、 2eee-xe -20221 11.求由曲线r2a cos所围图形的面积知识点：平面图形面积思、路：作图可知该曲线是半径为 a、圆心a, 0的圆在极坐标系下的表达式，可直接求得面积为a2,也可选择极坐标求面积的方法做。解：T作图6-1-11解：D1 :0 -60 r a cos3图 6-2-12二 SD 6SD1126 06 1(acos3 ) d3a2(1si n66 13.求由曲线r2a(2 cos )所围图形的面积知识点：平面图形面积思、路：作图可知该曲线围成的图形关于极轴对称，因此选择其中一半区域D1求其面积知所求图形区域D :220 r 2acos-1 2 2 1 1 2 2 二

11、SD 2 -(2acos ) d 2a (sin2 ) a2 2 2 22 2 12求三叶玫瑰线r a si n3 的面积S知识点：平面图形面积 思、路:三叶玫瑰由三瓣面积相等的叶片组成图6-2-12中所画是三叶玫瑰中的一叶,r a sin 3而一叶图形又关于一对称，6因此选择其中一叶的一半区域 D1求其面积解：T所围区域D :0aeSD-(ae )2d2 a1 2 e2a / 22、(ee )2224 15.求由曲线 r 3cos及r1 cos所围图形的面积图 6-2-1300 r 2a(2 cos )2SD!12 0严2cos3 )2d4a244si n31 si n6 1218 a2 1

12、4求对数螺线ae (知识点：平面图形面积)及射线所围图形的面积思路：作图可知该曲线围成的图形是由ae ， 从到一段曲线及射线所围，由此可确定、 的范围图 6-2-14知识点：平面图形面积D，而D又关于极思、路：作图可知两条闭围线围成的图形由三局部组成，其中一局部为两图形重叠局部轴对称，设在0,内的曲线和极轴围成的半个 D为D1区域2,/3r 3cosr 1 cos图 6-2-15r解：两条曲线r 3cos 、r 1 cos交于一处,3因此分割区域D1DaDb，其中Da00r 13cos，Db30 r23 cosSD2SD1-12 03-(1cos )2!d2!(3cos)2d 3 231391

13、1252-(2si n-sin2 )(二sin 2)2 3402 26 443 16求由曲线r2sin 及r2 cos2 所围图形的面积知识点：平面图形面积思、路：作图可知两条闭围线围成的图形由三局部 组成，其中一局部为两图形重叠局部D ,而D又关于射线一对称，设两条曲线2在o,丨围成的半个D为D1区域2解：两条曲线r2sin 、r2cos2交于因此分割区域D1DaDb，其中Da:06， Db :6、2sin0 r , cos 21Sd2Sd12 062C2sin )2d立cos26 22Isin2641sin22和书后答案不同 17.求由摆线x a(tsint),a(1cost) (0t 2

14、 )及x轴所围图形的面积知识点：平面图形面积思、路：在直角坐标系下作图可知所围图形的 x、y变化范围，先求出直角坐标系下积分 表达式，再将积分变量代换成解：T所围区域y y(x)Dx a(t sin t)y a(1 cost)作代换y(x)为摆线ay(x)dx,图 6-2-17a(t sint)，那么Sd20 a(1 cost)da(t si nt)223 2a (1 cost) dt3a23 a2习题6-31.求以下平面图形分别绕 x轴、y轴旋转产生的立体体积: (1) 曲线y x与直线x 1、x4、y 0所围成的图形;知识点：旋转体体积 思路：作出平面图形 代入相应的公式。或求岀该平面区域

15、的x、y范围，解：平面图形D:x 4厂，见图y x6-3-1-1绕x轴旋转产生的立体体积:,C. X)2dx 15绕y轴旋转产生的立体体积：V42 x.xdx12124(和书上答案不同)5 (2) 在区间0 一上，曲线，2sin x与直线x 、y 0所围成的图形;2解:平面图形D：0 x2，见图 6-3-1-20 ysinx绕x轴旋转产生的立体体积：V2 (sinx)2dx1 2 04绕y轴旋转产生的立体体积：方法一 ：Vo22 xsinxdx2 o2 ( x)d cosx2 ( xcosx02 sin 冈了)2方法二：V可看作由0矩形0y 1丨绕y轴旋转而成的体积 V1，减去由D2arcsi

16、n y丨绕y轴旋转而成的立体体积 /所得-V(2)20 (arcsin y)2dy3曲线y x与直线x2、y 0所围成的图形。解：平面图形D:0x23，绕x轴旋转产生的立体体积:0 y x3(x3)2dx1287绕y轴旋转产生的立体体积：V绕y轴旋转产生的立体体积如同32 xx dx6452也有两种计算法22 2求由曲线y x、x y所围成的图形绕y轴旋转一周所产生的旋转体体积。知识点：旋转体体积思路：该平面图形绕0 y 1y轴旋转而成体积 V可看作D1 :绕y轴旋转而成的体积 V1，减去0 x Vy0 y 1D2 :2绕y轴旋转而成的立体体积V2所得，见图6-3-20 x y解:1V Vi

17、V2: (.、y)2dy(y2)2dy310 3.求由曲线y sinx 0 X 丨与x轴围成的平面图形绕 y轴旋转一周所产生的旋转体体积。知识点：旋转体体积思路：作出平面图形或求出该平面区域的x、y范围，代入相应的公式解：平面图形D:0 x0 y si n x绕y轴旋转产生的立体体积:02 xsinxdxy卓图 6-3-4解：平面图形D:ach，见图 6-3-4，绕y轴旋转产生的立体体积如同 12也有两种计算法x 4求由曲线y ach，x 0，x a，y 0 a 0丨所围成的图形绕x轴旋转而成的立 a体体积。知识点：旋转体体积思路：作岀平面图形或求岀该平面区域的 x、y范 围，代入相应的公式(

18、ach )2dxaa22x ch a_a_1 -dxa2ash2x4 a3(24sh2)绕x轴旋转产生的立体体积:成的旋转体体积。知识点：旋转体体积思路：假设设所围区域为D ,那么该平面图形 绕y 2a旋转而成体积V可看作矩形区域D1 :2a2a旋转而成的体积 V，减去区域D2 :0y(x)2a2a旋转而成的立体体积V2所得，其中，y(x)表示摆线的函数式，见图6-3-5解：v VV2(2a)2 2 aa(2a2y) dx，作代换x a(tsin t)，那么V 8a32(a a cost) ad(tsint)8a232,a sin t(1cost)dt8a2 2cos2t lx dt2sin2

19、td sint)2a 6.求x2b a 0丨旋转而成的旋转体体积。知识点：旋转体体积思路：由图形的对称性可知所求体积22V1，其中V是由x0局部，绕x b旋转而成的旋转体体积，又根据元素法,V1是由图形中的线段 y 0y a2x2 丨绕 x转一周所得的圆柱面叠加而成，见图6-3-6图 6-3-6解：V 2V12aa2&b). a2 x2dx4 b .a2 x2dx 2 2a2ba7.由心形线4(1cos 和射线0及所围图形绕极轴旋转而成的旋转体体积。2知识点：旋转体体积思、路：极坐标中的此平面图形绕极轴旋转相当于直角坐标系下的该图形绕x轴旋转解：平面区域D : 04(1 cos )0见

20、图6-3-74(1 cos )图 6-3-7T心形线4(1cosx4(1cos)cosy4(1cos)sin88V20 ydx0 (x 4(1cos )cos016(122的直角坐标表示:x2)dxcos )2d4(1，根据直角坐标下的体积计算及x2y22dx 833cos )cos 832, 得:0_642(1cos2 2)d(1 cos )d(1cos)8364 1(12cos)4 3(1 cos )383160 8.计算底面是半径为 R的圆，而垂直于底面上的一条固定直径的所有截面都是等边三角形的立体体 积。知识点：平行截面面积的立体体积 思、路：首先以固定直径为x轴确立圆方程：x2 y2

21、 R2，再求垂直于x轴的截面面积，然后代入公式。见图6-3-8R2，在圆内，垂直于x轴的截面面积 A x 丄22y3T2y-3(R2 x2)，-VR .3(R2 x2)dx 4 R3R3 9.求曲线xy a a 0与直线x a，x 2a 及 y0所围成的图形分别绕 ox轴、oy轴旋转一周所产生的旋转体体积。知识点：旋转体体积思路：作岀平面图形或求岀该平面区域的y范围，代入相应的公式a x解：平面图形D:小0 y2aa，绕x轴旋转产生的立体体积:2a：2血 1 a ；角军：以固定直径为x轴圆心为坐标原点，那么圆方程为:2a a2绕y轴旋转产生的立体体积:2 xdx 2 a2 x绕y轴旋转产生的立

22、体体积如同2也有两种计算法 10.设直线 y ax b与直线xy0所围成的梯形面积等于 A，试求a、b，0丨。使这个梯形绕x轴旋转所得旋转体体积最小 知识点：旋转体体积，以及最值问题思路：作岀平面图形或求岀该平面区域的，进而求岀以 a,b为变量的旋转体体积，再求最小值。解：梯形区域D: 0 x 1 ， 0 yaxT由条件1-l(b a b)2A，二 V(b)4 2-Ab b2)33V (b)2 (b A)30，得 b A, a0习题6-4 1 .用定积分表示双曲线 xy1上从点1, 1到点2, 1/2丨之间的一段弧长。-V ； (ax b)2dx1思、路：曲线表达为或x 1丨代入相应公式计算弧

23、长y2佇 ab b2)1 y 2dx2 111 x4dx 2.计算曲线yIn x上相应于3,8的一段弧的弧长。思、路：曲线表达为ln x或 x ey代入相应公式计算弧长112dx8 x 1 x23x2Qdx2)x2乜亠dtt2u222 u-du1|u1|u12(U如丄ln32 2 3.计算曲线y1 Jx(3 x)上相应于3x 3的一段弧的弧长。12、xa1 ydx3 1 J"'耳dx) £(2依2.x 22、3 4计算曲线x1 -y 41ln y 1 y2的弧长。 5.y丄2 2y(y1 x 2dy1 4(y ；)2dy2lny)e y2 11dy 一 1 2y2计

24、算抛物线y22px p 0丨从顶点到其上点 M(x,y)的弧长。思、路：抛物线表达为22px或 x 2p代入相应公式计算弧长解：xx 2dxy 1 _220. p y dy, y0 p0122 .-JP y dy, y y py2dyp tanty arcta n_P0p sec3 tdtP(sectta n t2In secttan t)arcta n=PInp或通过公式sb1 y 2dxa -xp ,02xdx 计算 6.证明曲线ysin x的一个周期0x2丨的弧长等于椭圆x2 2y22的周长。思路：分别求出y sin x的弧长s1及椭圆的周长 s，求椭圆周长时采用参数式求解解: y si

25、nx的弧长q2 2dx , 1 cos xdx04 02 J COS2xdxjf24 2 1 sin xdx 0s2.224 2 x0y 2dt 4 2、2sin210cos2 tdt4 2 1 sin2 tdt0二 s1S2 7.求对数螺线rea相应于自0至的一段弧的弧长。椭圆方程表达为:x 2 cost, ysin t ；代入公式得弧长思路：曲线是极坐标的表达式 rea因此代入公式s.r2( ) r 2( )d解：s . r2( ) r 2( )d.e2a0<1a2 ( a(e 8.求曲线r 1相应于自-至-的一段弧的弧长431思、路：曲线是极坐标的表达式r ，因此代入公式s.r2(

26、 ) r2( )dr2( )d1433412其中ta ntsecttan21sec tdt1 dt sin tcostcost(sect si)dtIn sect1 9求曲线 x arctant， y 2思路：曲线是参数表达式 x (t), y解：s2(t)2(t)dtlnt J1 t21ln(10习题6-5 1 设一质点距原点 x米时，受x 3，力所做的功有多大？ 知识点：微元法在物理上的应用思、路：当变力沿直线作功，质点从解：dW F (x)dx (x2-W x2 2x)dx1 2 某物体作直线运动，速度为求物体在前10s内的平均速度。 知识点：微元法在物理上的应用2丄2-sin t co

27、s t lx2 dt sin tcost<1 2tantC lnVi2si ntln(1t2)相应于自t0至t1的一段弧的弧长。(t)，因此代入公式sJ 22(t)(t)dt112 2t )t2dt (1 t )1 10：¥2)F(x) x22x)dx3(x思、路：变速直线运动物体在t至t解：t dS V(t)dt J tdt2x牛顿力的作用，问质点在 F作用下，从x 1移动到dx段所作功的微元dW F (x)dx。x2)350.1 t(m/S)，求该物体自运动开始到10s末所经过的路程，并dt时间段内所经过路程的微元 dS V (t )dt。- Sio 2o -Jtdt 3(

28、13t)21020(11.111)m；3V 2(11 J1 1) m/s1030 3.直径为20cm,高为80cm的圆柱体内充满压强为10N / cm2的蒸汽，设温度保持不变，要使蒸汽V，根据物理学原理，当温度不变时压强和体积成反比，因此当圆柱体的高体积缩小一半，问需要作多少功？ 知识点：微元法在物理上的应用 思路：设P为压强、体积为10 102 80。k为h时，P102h解：T压力P=压强面积,当圆柱体的高为 h时压力p800102，h功的微元dW 80000 dh h8080000dh 800 In 2 , ( Nm)40 h要把池内的水全部吸尽，需作多少功? 4半径为R的半球形水池充满了

29、水，知识点：微元法在物理上的应用思路：设半球形水池的方程为 x2 y22R z 0，见图6-5-4，那么将z至z dz薄片体积的水吸出，克服重力所作的功为dW223(R z )dz g z, 是水的比重，可取1 kg/m图6-5-4解：丁 dW(R2z2)dz g z，0Rg z(R 5设有一半径为 R，长度为丨圆柱体平放在深度为 2R的水池中圆柱体的侧面与水面相切，设圆柱体的比重为(1)，现将圆柱体从水中移出水面，问需要作多少功？知识点：微元法在物理上的应用思路：设圆柱体的方程为(x R)2 y2 R2，见图6-5-5，那么将x至x dx段薄圆台为底高为丨的 柱体移岀水面，浮力减重力所作的功

30、为dW,21 . R2仪R)2dxg x 2丨.R2(x_R)2dx g x，另外，因要求整个柱体出水，因此该局部还需在空中移动2R x距离，该局部的功dW2 21 . R2(xR)2dxg(2R x)图 6-5-5解：t dWdW,dW221g . R2 (x R)2(2Rx)dx，-W2R021g(2R x R u rx) . R2 (x R)2dx 21g(2RRu R)、R2 u2 du1)g , (Nm)2m求闸门上所受的水压力R 21g(21)R R2 u2duR31(2R 6有一闸门，它的形状和尺寸如以下列图所示，水面超过门顶知识点：微元法在物理上的应用 思路：由物理知识可知，水

31、深h处的压强为p h , 为水的比重以门顶中心为原点向下建立 x轴, 见图6-5-6，那么在x至x dx段门条上所受的水压力为 dP (x 2) 2dx/At X图 6-5-6解：dP (x 2) 2dx,3P q2 (x 2)dx 21 7洒水车的水箱是一个横放的椭圆柱体，尺寸如上图所示，当水箱装满水时计算水箱的一个端面所受的压力。知识点：微元法在物理上的应用2思路：设椭圆方程为 一y21,见图6-5-7，那么在x至x dx的一条端面上所受的水压力为0.75dP(x 0.75) 2 12x0.752dx图 6-5-7解：t dP' 2(x 0.75) 21 0款，1 0.752dX0

32、.751.5 . 10.750帥5 20.751.77(kg) 17.3(kN)100m 8.以等腰梯形闸门与铅直平面倾斜 30角置于水中，其闸门顶部位于水面处，上下底宽分别为和10m,高为70m,求此闸门一侧面所受到的水的静压力。 知识点：微元法在物理上的应用思路 :以上底中心为坐标原点，垂直向下建立X轴，等腰梯形腰的方程那么为:兰x 5070，见图dP/A70mx dx9y x 501410m图 6-5-89x 50)xdx，1470943( x 50)xdx 8.379 10kg14 9设一旋转抛物面内盛有高为H cm的液体，把另一同轴旋转抛物面浸沉在它里面，深达问液面上升多少？知识点：

33、旋转体体积解：t dP .3(h cm,思、路：设两个旋转抛物面2 22的方程分别为由yoz面上曲线z ay 和z by c绕z轴旋转而6-5-8，因此在X至X dX的闸门条带上，所受的静压力为45 2( x 50)dx x cos3070100m成，见图6-5-9，可通过排开液体的体积和液面上升后增加的体积相等，计算液面上升的数值HH解：高为H的2旋转面所占的体积V2y2dzz c dz(H c)22b液面从H上升至h两个旋转抛物面所夹的体积:z c,.=dZ2 2(h c) H2a2 2h (H c)2b由ViV2可得:aH 2 h2b2 a 2h c H h ,液面上升的高度为 h c

34、H b io.设有长度为丨、线密度为的均匀细直棒，在于棒的一端垂直距离为 a单位处有一质量为 m的质点m试求该细棒对质点 m的引力。知识点：微元法在物理上的应用思路：以棒的一端为坐标原点， 棒置于X轴正向上，建立平面直角坐标，见图6-5-10，质点M位于0, a 处，那么x至x dx段的细棒对质点 M的引力为：dFkmdM2rdxkm 2 -八 2，dFx adFx2a2xx dx图 6-5-10dFdFxx2dFx，dFy,lkm0xdxFyikm0(x22、3/2a )km (丄al2adx/223/2(x a )kma(x211.长为2l的杆质量均匀分布，其总质量为 求它们之间引力的大小

35、。知识点：微元法在物理上的应用思、路：以棒的中点为坐标原点,质点M位于0，h丨处，那么dFkmdM2 ra2)'x2、1/2a )km l aF1/2a )M，在其中垂线上高为 h处有一质量为m的质点,棒置于x轴的1,1上，中垂线为y轴，建立平面直角坐标,x至x dx段的细棒对质点M的引力为:kmMdx2 22l(x2 h2)，dFMJ 2 h2h-X2h h2图 6-5-11见图 6-5-11，解：t dF- FFydFx.x2 h2kmMxdx1 2l(x2x2h2dFx，dFy，km Mhdxkm Mx1kmMc、 f 2. 2、3/22l(x h )2 2 1 /2lh(x2h

36、2)02 2 1/2h(|2 h2)2、3/2a )l总习题六 1 求由曲线y2(4 x)3与纵轴所围图形面积。思路：曲线y2(4 x) ,(x4)关于x轴对称，又曲线的一条分支y (4 x)3/2是关于x的减函- S82/382/38(4 y2/3)dy 20(4 y2/3)dy2(325/3y01285数，见图6-1可知用y型或用对称性求图形面积较为简单。8° yri04x81 !图6-1解：曲线表达为x 4 y2/3，它和y轴的交点：0, 8sin x 和 y2解：S0sin x cosxdx/45 / 42sin x)dx 4J20 (cos xsin x)dx/4(sin

37、xcosx)dx § COSX3.直线y x将椭圆2 x3y26y分成两块，设小块面积为A，大块面积为B，求A/ B的 2求介于直线x 0, x 2 之间、由曲线yCOSX所围成的平面图形的面积值2 2思路：由于y x和x 3y 6y的交点为(0,0)及(3/2,3/2) , 3/21，因此面积较小的一局部用y型做较简单，见图6-3yby x3/2图6-3角军：较小局部区域表达为:Da :y _3/2_6y 3y23/2那么A0(6y3y2：3cos tsi nty)dy/6 .3cos2tdt/2，二 A/B 4.求椭圆x213y1公共局部的面积。D1面积思路：由图形的对称性可得所

38、求面积是X1 2 2y X及 y X 1所围在第一象限内区域的8倍，见图6-4解:Di:S 8Sd1图6-4?33 5求由曲线 x a cos t, y3a sin t所围图形面积思、路：图形为星形线，所以由图形的对称性可得所求面积是第一象限内区域D1面积的4倍解：D1:S 4Sd12/2 3a203a2 6.y y(x)ax0y(x)dxy，设y y(x)是星形线函数a cos3ti 3t4a sin t0 a2sin3t 3cos2t(/2 '2 的勺 cos2ts2t)dt/21 cos4t lx dt 0 2亜 "si n22td(si n2t)-4081被心形线思、

39、路：设分割成的右边图形为6-6sin t)dt1 cos分割成两局部，求这两局部的面积D，由图形的对称性可得所求面积是极轴上半局部D1面积的2倍，见图D1 cosr02图6-6解：1和1 cos相交于/2，0/2 /2-D1由A、B两局部组成，A :，B :01 0 1cos二 Sd2丄 (1 cos )2d52，左边局部的面积SD2 42 /2447.设 ysin x , 0x问t取何值，右图中阴影局部的面积S与S2之和S最小？最大?S2Sisint12图6-7t解：So(sintsin x) dx, S，/2t (sinx sint)dx，S(t)S(t) (tsi nt)/2比拟S(0)

40、0si nt si nt ( t)si nt (2t) cost2 2sin xdx 1,S()-2 1,S() 1，4220，得 t 4Smax1, Smin 8.由曲线y21 x (0 x 1)与x, y轴围成的区域，被曲线y2ax (a 0)分为面积为相等的两局部，求a的值，见图6-8ax解：两曲线2ax11 a (10由SD1Dix2(0x 1)，y2ax (a 0)交于:-丨，aD2：ax2)dx31Sd2，计算可得a1 yadyf(13/2y)23?ay3/2 )3.ra 9.求星形线x2/32/3y2/3a (a0)所围图形绕x轴旋转而成的旋转体体积。知识点：旋转体体积思路：由于

41、星形线关于x、y轴都对称，因此所求旋转体体积V是第一象限内星形线及坐标轴围成的图形绕x轴旋转一周形成的旋转体积V的两倍解军：根据旋转体积的公式：V2V1233° y dx，利用星形线的参数方程 x a cos t, y asin t进行变量代换,可得V/26 -sin t3a cos2 td cost6 a30/2(1 cos2 t)3 cos2 td cost32105a3 10求由圆2(y 5)16绕x轴旋转而成的环体体积。思路：可以对照yf(x)绕y轴旋转的旋转体体积求法，见图6-10x 16一(y；5产图 6-10角军：该体积是曲线x ,16 (y 5)2, (19)及x轴所

42、围图形绕x轴旋转一周所得体积的两倍-V 2 2 y 16 (y 5)2dy44®5).16 u2du 2042.16 u du4160 2 11.证明：由平面图形 0 ab,0 yf (x)绕y轴旋转而成的旋转体体积为ba xf (x)dx知识点：元素法的应用证明：由平面图形0b,0y f (x)绕y轴旋转而成的旋转体体积，可看作 y f (x)绕y轴旋转所得的侧面积在b范围内叠加而成，dV 2 xf (x)dxb二 V 2 a xf (x)dx。 12.曲线 y (x 1)(2x)和x轴围成一平面图形，计算此平面图形绕y轴旋转而成的旋转体体 积。思、路：用y f(X)绕y轴旋转的旋

43、转体体积求法及x轴所围图形的面积为1/3，求a , b ,c，使此图形绕x轴旋转一周而成的旋转体的体积V最小解：平面图形为：曲线 y(x 1)(2 x) , 1 x 2丨和x轴围成2二 V 1 2 x(x 1)(2x)dx 2 13.设抛物线y ax2 bx c过原点，当0 x 1时，y 0 ,又该抛物线与直线 x 1角军：因为抛物线y ax2 bx c过原点，所以c 0，又当0 x 1时，y 0，所以该抛物线与直线x1及x轴所围图形的面积s1(ax20 bx)dx-，得 b -(1 a)，33又此图形绕x轴旋转一周而成的旋转体的体积V(a,b)1220 (ax bx) dxab b2)，-3

44、2将 b 2(13a)代入可得V(a)2(05a(1 a)324(1 a) ) ,V(a)27a5 27得到：a5，因为只有一个驻点,4可得满足所给条件的2 14.在由椭圆域 x21绕y轴旋转而成的椭球体上，以4轴为中心轴打一个圆孔，使剩下局部的体积恰好等于椭球体体积的一半，求圆孔的直径。知识点：旋转体体积思路：打一个以y轴为中心轴的圆孔后，剩下的椭圆局部的体积V是由xoy坐标面上，如下列图的平面图形D1绕y轴旋转而成立体体积的两倍，见图6-14解：设圆孔的半径为r那么在xoy面上曲线x1和x r的交点r2丨，2.1平面图形由D1 D2减D2局部组成，D1D2 :r2D2:212 1 r2-VV1 V2可得:1 r212