实验1-华工电信数学实验-大二下

1、实验名称：斐波那契数列 专业：电子科学与技术班级：序号：36提交日期：2022年4月16日实验目的与要求1. 认识Fib on acci数列，体验发现其通项公式的过程；2. 了解matlab软件中进行数据显示与数据拟合的方式；3. 掌握matlab软件中plot, polyfit 等函数的根本用法;4. 提高对数据进行分析与处理的能力。问题描述1.讨论数列an 1 an 1 an, a 1的变化规律。1在平面坐标系中画出数列变化的折线图；2观察图形，你认为数列的极限是什么；3观察图形，寻找恰当的函数去拟合这个数列；1画出局部和数列 Sn 变化的折线图，观察变化规律；2引入数列：Hn S2n ,

2、 Sn图观察其变化，猜想是否有极限；3引入数列：Gn S2作图观察其变化，寻找恰当的函数拟合;4调和级数的局部和数列的变化规律是什么？三、 问题解决第一题：讨论数列 an 1 an 1 an, a1 1的变化规律。1在平面坐标系中画出数列变化的折线图；2观察图形，你认为数列的极限是什么；3观察图形，寻找恰当的函数去拟合这个数列；解:1为了研究题设数列的变化规律，我们分别取此数列的前 50 项、前 100 项、前 200 项和前 500 项来观察。利用 Matlab 软件的数据可视化 功能，将这些数据显示在平面坐标系中，观察其中蕴涵的函数关系。具体 的实现流程为： 1定义数组 fn ； 2显示数

3、组 fn 。具体的代码如下：for i=3:n%fn的第三项到第n项fn=fn,fn(i-1)+1/fn(i-1);%将第i项添加到数组fn中end%循环结束plot(fn)%将装有数列前n项的数组显示出来114 -3 -2 -/501JICL051015202530354045n=500 Jt I IL1000102030405060708090n=1002515100 1J11111020406080100120140160180n=200302520151050 III050100150200250300350400450500n=500综上：从图像看来，该数列是递增数列。2丨从图像看来

4、，随着n的增大，数列趋向于无穷大。即极限为无穷大3经过上一步的观察，觉得这些数据应该是幕函数的形式。为了进一步验证 这个结论是否正确，可以利用幕函数取对数后，将lnx作为x轴，如果这些数据确实是幕函数的形式，那么经过变化后应该是一个线性关系，即一阶多项式， 从图形上看应该象一条直线。因此，再利用Matlab软件的数据可视化功能，将这些数据取对数后显示在平面坐标系中，观察它是否象一条直线。具体的实 现流程为：1定义数组fn ; 2数组fn取对数；3丨显示数组fn。具 体的代码如下：for i=2:n%fn 的第 2 项到第 n 项fn=fn,fn(i-1)+1/fn(i-1);将第 i 项添加到

5、数组 fn 中end循环结束fn=log(fn);将原来的数据取对数x=1:n;x=log(x);plot(x,fn)% 将装有数列前 n 项的数组显示出来经观察，觉得它确实象一条直线。可以改变参数 n 的值，反复观察。1.50.50.51.52.53.5n=502.51.50.50 I11J11111JL00.511.522.533.544.55n=1002.521.50.5n=20021.50.5n=500经过以上第一步的观察，确定数列的数据是幕函数的关系，第二步验证了 第一步得到的结论，因此我们认为数列的数据关系就是幕函数，乘方后就是线 性函数，即一阶多项式。利用 Matlab软件的数据

6、拟合功能，通过取对数后的 数据，用一阶多项式拟合出它的函数关系式，可以得到数列通项公式的一个近 似表达式。具体的实现流程为：1定义数组fn ； 2丨数组fn取对数；3用一阶多项式拟合数组fn。具体的代码如下：fn=1;%for i=2: n%fnfn=fn,fn(i-1)+1/fn(i-1);%end%将数列的第一项放到数组fn上的第2项到第n项将第i项添加到数组fn中循环结束fn=log(fn);xn=1:n;xn=log(xn);polyfit(xn,fn,1)%拟合装有数列前 n 项的数组为了提高精度，可以加大n的值。取n = 10000时得到结果:将原来的数据取对数从上面的表达式，可以

7、得到数列通项公式的近似：fn -经过第三步的拟合，得到了题设数列近似的通项公式，为了观察其吻合程度，我们将数列的拟合数据与原始数据的图形显示出来，进行比照观察。具体的实现流程为：1 定义数组 fn1,fn2 ； 2 显示数组 fn1,fn2 。具体的代码如下：fn1=;% 装拟合数据的数组for i=1:n%fn1 的第 1 项到第 n 项fn仁fn1,1.424*L0.4991;%将第i项添加到数组 fn1中endfn2=1;% 将数列的第一项放到数组 fn2 上for i=2:n%fn2的第2项到第n项fn2=fn2,fn2(i-1)+1/fn2(i-1);%将第i项添加到数组fn2中en

8、d% 循环结束x=1: n;%定义横坐标plot(x,fn1,x,fn2,r*)%显示，fn1:兰线，fn2 :红星n=500102030405060708090100n=100从图上可以看出可以用函数y=近似拟合。第二题：讨论调和级数的n 1 n变化规律。1画出局部和数列 Sn变化的折线图，观察变化规律；2引入数列：Hn S2n,俺图观察其变化，猜想是否有极限；3弓I入数列：Gn S作图观察其变化，寻找恰当的函数拟合;4调和级数的局部和数列的变化规律是什么？解：1为了研究Sn数列的变化规律，我们取此数列的前 50项、前100项、前200项和前500项来观察。利用Matlab软件的数据可视化功

9、能，将这些数据显示在平面坐标系中，观察其中蕴涵的函数关系。具体的代码如下：S=；%装拟合数据的数组S(1)=1；%将数列的第一项放到数组 S上for n=2:n.%S的第二项到第n项S=S,S( n-1)+1/n;%将第i项添加到数组fn中end%循环结束x=1: n;% x的范围plot(x,S,x,S,r*)%将装有数列前n项的数组显示出来得到图像:n=50n=10065.554.543.532.521.51020406080100120140160180200n=200654311050100150200250300350400450500n=500观察得到局部和数列开始增长极快，随后上

10、升趋势慢慢减缓，增长越来越慢。依照图猜想其极限为正无穷。2同上我们取此数列的前 50项、前100项、前200项和前500项来 观察。利用Matlab软件的数据可视化功能，将这些数据显示在平面坐标系 中，观察其中蕴涵的函数关系。具体的代码如下：Hn=1/2,7/12;for i=3: nHn=H n,Hn( i-1)+1/(2*i*(2*i-1);endplot( Hn)图形如下:n=50n=100n=2000.70.680.660.640.620.60.580.560.540.520.5050100150200250300350400450500n=500由上图猜想该数列有极限为 0.7.3引

11、入GnS作图观察其变化，寻找恰当的函数拟合:代码如下：Gn=1.5;for j=2:nSn=1;for i=2:2AjSn=Sn+1/i;endGn=Gn,Sn;endplot(Gn)图像如下:2345678910n=108101214161820n=2087654321151050观察发现， Gn 的图像近似于一条直线，利用拟合代码如下：Gn=1.5;for j=2:20Sn=1;for i=2:2AjSn=Sn+1/i;endGn=Gn,Sn;endx=1:20;polyfit(x,Gn,1)返回：即：下面观察拟合数据与原始数据的吻合程度。经过第三步的拟合，得到了 gn 数列近似的通项公式，为了观察其吻合程 度，我们将 gn 数列的拟合数据与原始数据的图形显示出来，进行比照观察。 具体代码如下：Gn=1.5;for j=2:nSn=1;for i=2:2AjSn=Sn+1/i;endGn=Gn,Sn;endfn1=;for i=1:nfn1=fn1,0.6871*i+0.6369;endx=1