第七章_响应面回归设计

1、回归设计回归设计回归设计概述回归设计概述回归模型回归模型因素水平编码因素水平编码BoxBenhken设计设计二次回归正交设计二次回归正交设计概述概述回归设计也称为响应面设计。是一种通过少量试验，获得数据，估计参数，有效地建立试验指标和连续变量之间的定量关系的方法。它是由英国统计学家G.Box在20世纪50年代初真对化工生产提出的，后来这一方法得到了广泛的应用。概述概述广泛应用于化工、钢铁、机械、制药、农业等领域。根据建立的回归方程的次数不同，回归设计有一次回归设计、二次回归设计。二次回归的正交试验设计是用于寻求最佳工艺、最佳配方和建立生产过程数学模型的很好方法。回归模型回归模型响应面分析响应面

2、分析（Response Surface Analysis）主要包括回归方程的估计和检验，模型欠拟检验，回归参数的估计和检验，因素效应的检验，模型决定系数的计算，最优水平组合的估计及其附近的响应面特征。回归模型回归模型1. 二次响应面（多元二次多项式）二次响应面（多元二次多项式）模型描述：模型描述： pjpjNxxxxxfYpjjjjpjjjjj jpjjj, 2 , 1, 2 , 1, 021210，Y 响应变量；xj 第j个自变量；正态随机误差；0 回归截距；j jjjj 回归系数；回归模型回归模型三元二次响应面模型描述：二次响应面模型描述：Y 响应变量；x 第j个自变量；正态随机误差；0

3、回归截距； 回归系数；22333222221113223311321123322110, 0NxxxxxxxxxxxxY回归模型回归模型二次响应面模型的矩阵描述：二次响应面模型的矩阵描述：Y 响应变量；X 结构矩阵；正态随机误差；n 数据组数；0 nx1的元素全是0的向量；nnINXY2, 0回归模型回归模型2. 回归系数的最小二乘估计，应满回归系数的最小二乘估计，应满足以下正规方程：足以下正规方程：XbXYXXbY当当(XX)-1存在时，解得存在时，解得估计估计b bYXXXb1 H0： H1： 不全为不全为0回归模型回归模型3. 回归方程的显著性检验：回归方程的显著性检验：021p记：记：

4、p,21nixbxbbyippii, 2 , 1110，回归模型回归模型REniiniiiniiTSSyyyyyyS121212) ()()(有方和分解式：有方和分解式：iiiEyyS2)(1pnfE2)(yySiRpfR其中：其中：残差平方和残差平方和回归平方和回归平方和自由度自由度自由度自由度回归模型回归模型) 1,(),(/pnpFffFfSfSFEREERR) 1,(1pnpFF当当H0为真时，有为真时，有给定显著性水平给定显著性水平，则拒绝域为则拒绝域为1FF1FF接收接收H0拒绝拒绝H0，接受，接受H1回归模型回归模型4. 失拟检验：失拟检验：在某些点上有重复试验数据，可以对Y的期

5、望是否是x线性函数进行检验。残差平方和SE分解为组内（误差）平方和Se与组间（失拟）平方和SLf。即：LfeESSS回归模型回归模型式中：式中：nimjiijeiyyS121)(nNmfie) 1(imjijiiymy11niiiiLfyymS12)(1pnfLf自由度自由度自由度自由度 H0： H1：回归模型回归模型假设：假设：ppxxEy110ppxxEy110统计量：统计量：eeLfLfLffSfSF/当拒绝当拒绝H0时，需要寻找原因，改变模型时，需要寻找原因，改变模型否则认为线性回归模型合适，可以将否则认为线性回归模型合适，可以将Se与与SLf合并作为合并作为SE检验方程是否显著。检验

6、方程是否显著。回归模型回归模型5. 回归系数的检验：回归系数的检验：0010jjjjHH：，：对每一个回归系数进行对每一个回归系数进行F或或t检验检验222/jjjjjcbtF给定的显著性水平给定的显著性水平当当 时拒绝假设时拒绝假设H0j，即认，即认为为0j0j显著不为零，否则认为显著不为零，否则认为0j0j为为零，可以将对应的变量逐一从回归方零，可以将对应的变量逐一从回归方程中删除。程中删除。Cij为(XX)-1的第j+1个对角元 是模型2的无偏估计回归模型回归模型式中：式中：EEfS / ), 1 (1EjfFF因素水平编码因素水平编码 在回归问题中各因子的量纲在回归问题中各因子的量纲不

7、同，其取值的范围也不同，为了不同，其取值的范围也不同，为了数据处理的方便，对所有的因子作数据处理的方便，对所有的因子作一个线性变换，使所有因子的取值一个线性变换，使所有因子的取值范围都转化为中心在原点的一个范围都转化为中心在原点的一个“立方体立方体”中，这一变换称为对因中，这一变换称为对因子水平的编码。子水平的编码。因素水平编码因素水平编码设计变量初选试验范围设计变量初选试验范围zj的最的最大值编码大值编码xjM为为1，最小值编码，最小值编码xjm为为-1，中间值编码，中间值编码xj0为为0。 2/ )(210jjjzzzjjjjzzx02/ )(12jjjzz因素水平编码因素水平编码三因素响

8、应面设计的试验点及分布三因素响应面设计的试验点及分布(1,1,-1)(-1,1,-1)(-1,1,1)(-1,-1,1)(-1,-1,-1)(1,-1,1)(1,-1,-1)(1,1,1)x1x2x3o中心点主轴点基试验点BoxBenhken设计设计由BoxBehnken 提出的中心组合设计是一种较常用的回归设计法，适用于2 至5 个因素的优化实验。BoxBehnken设计首先假定实验范围内存在二次项，其试验点的选取为编码立方体的每条棱的中点。BoxBenhken设计设计例题例题：对超高压杀灭枯草芽孢杆菌效果Y的研究发现：温度、压力、保压时间是灭活枯草芽孢杆菌显著影响因子。研究结果表明杀灭6个

9、数量级的枯草芽孢杆菌的杀菌条件，温度为：X1=31.1059.03，压力为X2=235.23562.21 MPa，保压时间为X3=10.1119.53min，试分析最优杀菌工艺参数。BoxBenhken设计设计题解题解：本试验采用本试验采用Box-Behnken模型，模型，以压力以压力X1 ，温度，温度X2 ，保压时间，保压时间X3 三个三个外界因子为自变量，并以外界因子为自变量，并以+1、0、-1分分别代表自变量的高、中、低水平，对别代表自变量的高、中、低水平，对自变量进行编码，超高压杀灭菌的数自变量进行编码，超高压杀灭菌的数量级量级Y为响应值为响应值(Y=-log10 Nt/N0 ，即经超

10、高，即经超高压作用后枯草芽孢杆菌死亡的数量级，压作用后枯草芽孢杆菌死亡的数量级，Nt为超高压处理后为超高压处理后1ml菌液中的活菌数，菌液中的活菌数，N0为对照为对照1ml菌液中的活菌数菌液中的活菌数) BoxBenhken设计设计实验因素水平及编码表实验因素水平及编码表FactorFactorSymbolsSymbolsLevelLevelCodedCoded UncodedUncoded-1-10 01 1温度温度()()X X1 1X X1 1303045456060压力压力(MPa(MPa) )X X2 2X X2 2200200400400600600保压时间保压时间(min)(mi

11、n)X X3 3X X3 3101015152020BoxBenhken设计设计实验设计与结果表实验设计与结果表Trial No.X1X2X3Response1-10-14.27210-15.443-1015.1141015.795-1-102.1161-103.217-1106.0481106.8790-1-12.70100-113.441101-16.23120116.43130005.45140005.32150005.67160005.43170005.23二次回归正交设计二次回归正交设计应用二次回归正交设计法，所得的回归系数的估计之间相互独立，因此删除某些因子时不会影响其它的回归系数

12、的估计，从而很容易写出所有系数为显著的回归方程。 二次回归正交设计的试验点由正交点、主轴点和中心点组成。二次回归正交设计二次回归正交设计两个变量的试验点组合方案 0000n9 42 , 0000876542),2(111111114321023421mpmLxxc中心点星号点用试验号二次回归正交设计二次回归正交设计二次回归正交设计的参数值表二次回归正交设计二次回归正交设计例题例题：在研究在某提纯工艺中，发现杂质Y的产生量受温度、压力、提取时间显著影响。研究结果表明这种提纯工艺的的工作条件，其温度为：X1=5090，压力为X2=48 MPa，提取时间为X3=13hour，试分析最优提纯工艺参数。

13、二次回归正交设计二次回归正交设计查表三因子，中心点重复两次的查表三因子，中心点重复两次的=1.2872=1.2872=(Z=(ZM M-Z-Zm m)/2)/2, X, X1 1=Z0+=Z0+, X, X-1-1=Z0-=Z0-实验因素水平及编码表实验因素水平及编码表编码编码温度（温度（） 压力（压力（MPa）提取时间（提取时间（hour）上水平上水平185.547.552.78基准水平基准水平07062下水平下水平-054.464.451.22+1.27829083-1.27825041二次回归正交设计二次回归正交设计实验设计与结果表实验设计与结果表NoX1X2X3TempPresHourY111185.547.552.780.0947211-185.547.551.220.090331-1185.544.452.780.098741-1-185.544.451.220.09075-11154.467.552.780.09026-11-154.467.551.220.08927