二次项定理10大典型例题

1、2.基本概念:(1)知识点的梳理二项式定理:(ab)nCanC：an1bLC；anrbrLC：bn(nN), 二项式展开式：右边的多项式叫做(ab)n的二项展开式。 二项式系数：展开式中各项的系数C：(r0,1,2,n).项数：共(r1)项，是关于a与b的齐次多项式通项：展开式中的第r1项Cnranrbr叫做二项式展开式的通项Tr1Cnranrbr表示。3. 注意关键点： 项数：展开式中总共有(n1)项。 顺序：注意正确选择a,b,其顺序不能更改。(ab)n与(ba)n是不同的。指数：a的指数从n逐项减到0,是降籍排列。b的指数从0逐项减到n,是升籍排列。各项的次数和等于n.系数：注意正确区分

2、二项式系数与项的系数，二项式系数依次是C0,C；,C2,C；,况.项的系数是a与b的系数(包括二项式系数)。4. 常用的结论：令a1,bx,(1x)nCC：xC：x2LC；xrLC；xn(nN)n0122.rrnnn令a1,bx,(1x)CnCnxCnxLCnxL(1)Cnx(nN)5.性质:二项式系数的对称性：与首末两端“对距离”的两个二项式系数相等，即况，C：C：二项式系数和令ab1,则二项式系数的和为Cn0C1C；LC；LCT2n,变形式c；c；lC；LCnn2n1 奇数项的二项式系数和=偶数项的二项式系数和:在二项式定理中，令a1,b1,则C；CnCnC3L(1)nC；(11)n0,1

3、1i-A-t彳耳苓11.c0c2c4c2rc1c3ic2r11cncn1 从叩侍到：CnCnCnCnCnCnLCn222奇数项的系数和与偶数项的系数和:(ax)n(xa)n令x令x1,C0anx0C：a0则a1,则aaC：an1xC：axn1a3La2a2a3n0nLCnaxnn0LCnax1)n(a1)n得,a。a2a4LanC；an2x2C2a2xn2an(aLan(a1)n(a叶(奇数项的系数和a0a1xanxnL2a2x2a2xnanx1a1xa0得,a1a3aLan2(aV(a(偶数项的系数和二项式系数的最大项：如果二项式的籍指数n是偶数时，则中间一项的二项式n系数C2取得最大值。如

4、果二项式的籍指数n是奇数时，则中间两项的二项式系数Cn2,Cn2同时取得最大值。系数的最大项：求(abx)n展开式中最大的项，一般采用待定系数法。设展开式中各项系数分别一.A-A为A，A2,An1,设第r1项系数最大，应有，从而解出r来。Ar1Ar2(2)专题总结题型一：二项式定理的逆用;1c2ac32nn1例：CnCn6Cn6LCn6/Z.7J/a厂nc0c1厂c2厂2c3厂3cn厂nr_-I/rn冬Ar/r口匚解：(16)CnCn6Cn6Cn6LCn6与已知的有一些差距,_1_2CnCn6(c032nn11122nn6Cn6LCn6(Cn6Cn6LCn6)6122nn1n1C：6C262L

5、C16n1)-(16)n1-(7n1)66练：Cn3C29C3L3n1Cnn.屈；7:JLo八1OC2CC3Ion1cnIrTrf角牛：SnCn3Cn9CnL3Cn3SnCn3C：32C；33LCn3nC0C13C232C333LV./nv./noV./nv./nOnnnCn31(13)1Sn(13)n13例：在二项式（41题型二：利用通项公式求xn的系数;x2）n的展开式中倒数第3项的系数为45，求含有x3的项的系数?解：由条件知C；245,即C245,n2n900，解得n9(舍去)或n10,由1210r2Tr1C；(x4)10r(x3)rC1rx3，由题意12r3,解得r6,43则含有x3

6、的项是第7项T61C0x3210x3,系数为210。练：求（x2土）9展开式中x9的系数?1席刀t/2、9/1r/r1o2r/解：Tr1C9(X)()C9x(2x1)rxrC9()rx183r,令183r9,则22故为c；（：）3号题型三：利用通项公式求常数项;例：求二项式（X2二）10的展开式中的常数项?2、x5_r9inr1rr1r20m一一.解：TriC；o(x2)10r(土)rC；(-)rx2,令205r0,得r8,所以2.-X22LG80（!）8余22561练:求二项式（2x）6的展开式中的常数项?2x11.r,CV、6rrrrrc6rr62rOOrn/旦rQFjfC用牛：Tr1C6

7、(2x)(1)()(1)C62()x，勺62r0，侍r3,rn2x2以T4(1)3C320c1-练：若(x21)n的二项展开式中第5项为常数项，则nx1，hE-T/4/2、n4/4/42n12c_acc/曰c解：T5Cn(x)()Cnx，令2n120,得n6.x题型四：利用通项公式，再讨论而确定有理数项;例：求二项式（&扳）9展开式中的有理项？1127r解：Tr1C；(x2)9r(x3)r(1)C；x亍，令芝工Z,(0r9)得r3或r9,6所以当r3时，纭工4,T4(1)3C93x484x4,627r3933少r9时，3,Tw(1)Cgxxo6题型五：奇数项的二项式系数和=偶数项的二项式系数和

8、;例：若（女二）n展开式中偶数项系数和为.X256,求n.）n展开式中各项系数依次设为a0,a，an,令x1,则有a。an0,，令x1,则有a0aia2a3(1)nan2n，将-得：2(aia3a5)2,aia3a52,有题意得，2n125628,n9。练：若(Rg)n的展开式中，所有的奇数项的系数和为1024，求它的中间项。0242r132r19n19n1用半-QCnCnCnCnCnCnLCn2,21024,解得n11所以中间两个项分别为n6,n7,T51Cn(3/1)6(5/-1r)5462x4,X.X61T61462x15题型六：最大系数，最大项；,1c，.一，一，一，一，一例：已知（1

9、2x）n,若展开式中第5项，第6项与第7项的二项式系数成等差数列，求展开式中二项式系数最大项的系数是多少？解：QC4C62C；,n221n980,解出n7或n14,当n7时，展开式135中二项式系数最大的项是T4和T5丁4的系数C7（2）235,T5的系数C；（1）32470,当n14时，展开式中二项式系数最大的项是Ts,27177Ts的系数C；4（）7273432。2练：在（ab）2n的展开式中，二项式系数最大的项是多少？解：二项式的籍指数是偶数2n,则中间一项的二项式系数最大，即T2nLi,_12也就是第n1项。练：在（三M）n的展开式中，只有第5项的二项式最大，则展开式中的常数项23x是

10、多少？解：只有第5项的二项式最大，则n15，即n8,所以展开式中常数项为第七21C项等丁Cs（-）72练：写出在（ab）7的展开式中，系数最大的项？系数最小的项？解：因为二项式的籍指数7是奇数，所以中间两项（第4,5项）的二项式系数相等,且同时取得最大值，从而有T4C；a4b3的系数最小，T5C；a3b4系数最大。练：若展开式前三项的二项式系数和等丁79,求（12x）n的展开式中系数最大2的项?解:由C0_1_2CnCn79,解出n12,假设Tr1项最大,_1121121Q(12x)(项(14x)ArArArAr2C1r24r箱4：化简得到9.4C1r24r隽彳1r10.4,乂Q0r12,r1

11、0，展开式中系数最大的项为T11,有T11（1）12勇。4%10168裁。练：在（12x）10的展开式中系数最大的项是多少?解：假设Tri项最大，QTr1Cir02rxr-r.rAr1ArC102Ar1Ar2房2Cir012rCi012ri1解得2(11r)r，化简得到r12(10r)6.3k7.3,乂Q0r10,r7,展开式中系数最大的项为TsCw27x715360x7.题型七：含有三项变两项；例：求当(x23x2)5的展开式中x的一次项的系数?解法：(x23x2)5(x22)Rr25rr3x,Tr1C5(x2)(3x)，当且仅当r1时，Tr1的展开式中才有x的一次项，此时Tr1T2C5(x

12、22)43x,所以x得一次项为C；C：243x它的系数为C；C：243240。解法：2555_05_14_5_05_14_55X3x2)(x)(x2)(C5xC5xC5)(C5xC5x2C52)故展开式中含x的项为C；xC：25C；x24240x,故展开式中x的系数为240.练：求式子(x2)3的常数项?解：(x|宜2)3(国才)6，设第r1项为常数项，则_rr6r1r6_r62rTr1C6(1)|x(口)(1)C6x，得62r0,r3,x3_3T31(1)C620.题型八：两个二项式相乘;例：求(12x)3(1x)4展开式中x2的系数.解：Q(12x)3的展开式的通项是c(2x)m02mxm

13、,(1x)4的展开式的通项是c4(x)nc41nxn,其中m0,1,2,3,n0,1,2,3,4,令mn2,则m0且n2,m1且n1,m2且n0,因此(12x)3(1x)4o一nnooddddoonn楠nm,山v2楠玄籽笑十p0Q0221q1112q200们展川工十x们示双寺丁C32C4(1)C32C4(1)C32C4(1)6.练：求(1扳)6(1)10展开式中的常数项.mn4m3n(13/x)6(1)10居并我的涌面为Cmx3Cnx2CmCnx12用牛(lvx)(l4)工口JyJC6xC10xC6C10x、xm0,m3,m6其中m0,1,2,6,n0,1,2,10,当且仅当4m3n,即成成n

14、0,n4,n8,时得展开式中的常数项为C?C00C63C10c6C*4246.练：o1已知(1xx2)(x-3)n的展开式中没有常数项，nN且2n8,则n.x解：(x%)n展开式的通项为c：xnrx3rcnxn4r,通项分别与前面的三项相乘可得xrn4rrn4r1rn4r2Cnx,Cnx,Cnx,Q展开式中不含吊效项，2：8n4r且n4r1且n4r2,即n4,8且n3,7且n2,6,n5.题型九：奇数项的系数和与偶数项的系数和；例：在(xJ2)2006的二项展开式中，含x的奇次蓦的项之和为S,当x72时,S角牟：设(x72)2006=a0a1x1a2x2a3x3La2006x2006(x72)

15、2006=a0a1x1a2x2a3x3La2006x2006得2(%xa3x3a5x5La2005x2005)(xV2)2006(xV2)2006(x也严展开式的奇次蓦项之和为S(x)1(x72)2006(x而)2006232006当x.2时，S(、2)；(、2一2)2006(.22)20062-23008题型十：赋值法；例：设二项式(3Vx1)n的展开式的各项系数的和为p,所有二项式系数的和为s,若ps272,则n等丁多少？解：若(3泼1)na。axa2x2anxn，有Pa。aan,xSC0C：2n,令x1得P4n,乂ps272,即4n2n272(2n17)(2n16)0解得2n16或2n1

16、7(舍去)，n4.n练：若3&-1的展开式中各项系数之和为64，则展开式的常数项为多少？解：令xn1,贝u3依二的展开式中各项系数之和为x2n64，所以n6,练:则展开式的常数项为C；(3、X)3(1)3540.、x2009123.有(12x)a0a1xa2xa3xL2009a1a2a2009a2009x(xR),则一2009的值为222解：令x?可得a0122a2009220090,在令x0可得a1,因而爻君222a200922009a2歹1.a2009220093g/c554321练：有(x2)a5xa4x&xa?xax32a3a4a5解：令x0得a。32,令x1得a。aa2a3a4a51

17、,a1a2a3a4a531.题型十一：整除性；例：证明：32n28n9(nN*)能被64整除证：32n28n99n18n9(81)n18n9CQn1n1Qncn1a2cnQ1cn1Cn18Cn18Cn18Cn18Cn18n90n11nn12Cn18Cn18Cn188(n1)18n90on11onn1a2Cn18Cn18Cn18由丁各项均能被64整除32n28n9(nN*)能被64整除1、(x1)11展开式中x的偶次项系数之和是10241、设f(x)=(x-1)11,偶次项系数之和是f(1)f(1)(2)11/222C03C132C23nCn22、Cn3Cn3Cn3Cn22、4n一1.3、(以5

18、亍)20的展开式中的有理项是展开式的第项.53、3,9,15,214、(2x-1)5展开式中各项系数绝对值之和是4、(2x-1)5展开式中各项系数系数绝对值之和实为(2x+1)5展开式系数之和，故令x=1，则所求和为35*5、求(1+x+x2)(1-x)10展开式中x4的系数*5、(1xx2)(1x)10(1x3)(1x)9,要得到含x4的项，必须第一个因式中的1与(1-x)9展开式中的项C；(x)4作积，第一个因式中的一x3与(1-x)9展开式中的项c9(x)作积，故x4的系数是c9C4135*6、求(1+x)+(1+x)2+-+(1+x)10展开式中x3的系数.10112、10(1x)1(1x)(x1)(x1)6、(1x)(1x)(1x)=L,原式中(1x)xx3实为这分子中的x4,则所求系数为C71*7、若f(x)(1